Luciana ANGIULI

Luciana ANGIULI

Ricercatore Universitario

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05: ANALISI MATEMATICA.

Dipartimento di Matematica e Fisica "Ennio De Giorgi"

Ex Collegio Fiorini - Via per Arnesano - LECCE (LE)

Ufficio, Piano terra

Telefono +39 0832 29 7412

Area di competenza:

Analisi Matematica e Probabilita'

Orario di ricevimento

Mercoledì 14,00-15,30 nel periodo di svolgimento delle lezioni altrimenti per appuntamento previo accordo via e mail.

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Curriculum Vitae

Laurea in Matematica in data 24 Luglio 2003, presso l'Università del Salento, relatore il Prof. Diego Pallara. Dottorato di ricerca in matematica in data 3 Luglio 2008  presso l'Università del Salento, relatore il prof. Diego Pallara.  Vincitore della borsa di studio "E. De Giorgi" presso l'Universita' del Salento (durata annuale). Assegnista di ricerca presso l'Università di Parma (durata biennale). Professore a contratto presso la Facoltà di Farmacia e la Facoltà di Architettura dell'Università di Parma. Assegnista di ricerca presso l'Università del Salento (durata biennale). Professore a contratto per il corso di Laurea in Ottica e Optometria e per il corso di Laurea in Ingegneria Industriale dell'Università del Salento. Ricercatore a tempo determinato (tipo A) dal 29 Dicembre 2015. 

Membro del progetto PRIN-COFIN 2010 dal titolo ``Problemi differenziali di evoluzione: approcci deterministici e stocastici e loro interazioni" (coordinatore scientifico: M. Fuhrman), durata: 36 mesi.
Coordinatore del progetto GNAMPA - INDAM 2014 dal titolo "Equazioni ellittiche e paraboliche a coefficienti illimitati", durata: 12 mesi.
Membro del progetto PRIN 2015 dal titolo "Deterministic and stochastic evolution equations", (coordinatore scientifico: A. Lunardi), durata: 36 mesi.
Membro del progetto GNAMPA - INDAM 2016 dal titolo "Equazioni e sistemi di equazioni ellittiche e paraboliche associate ad operatori con coefficienti
illimitati e discontinui", durata: 12 mesi.
Coordinatore del progetto GNAMPA - INDAM 2017 dal titolo "Equazioni e sistemi di equazioni di Kolmogorov in dimensione
finita e non", durata: 12 mesi.
Vincitore del finanziamento annuale individuale delle attivit\à base di ricerca erogato dal M.I.U.R., durata:12 mesi.

Per la biografia dettagliata e l'elenco delle pubblicazioni si veda il curriculum vitae allegato

Scarica curriculum vitae

Didattica

A.A. 2019/2020

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 58.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2018/2019

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 58.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2017/2018

MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 60.0

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

A.A. 2016/2017

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 42.0 Ore Studio individuale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno di corso 3

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0 Ore Studio individuale: 98.0

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 60.0 Ore Studio individuale: 115.0

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

A.A. 2015/2016

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 48.0 Ore Studio individuale: 102.0

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Per immatricolati nel 2015/2016

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

A.A. 2014/2015

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I MOD. A

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 54.0 Ore Studio individuale: 96.0

Anno accademico di erogazione 2014/2015

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

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ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 23/09/2019 al 20/12/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B) (MAT/05)
MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 58.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 30/09/2019 al 17/01/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

Sono richieste le conoscenze di base della matematica vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Funzioni reali di variabile reale. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Matrici e sistemi lineari.

PROBABILITA' E STATISTICA: Probabilità discreta. Probabilità continua (cenni relativi alla distribuzione normale). La verifica delle ipotesi. Il test t per un campione: stima per la media e intervalli di confidenza. Regressione lineare

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere sistemi lineari anche in presenza di un parametro.

Gli studenti dovranno saper impostare e risolvere semplici problemi di probabilità e acquisire alcune tecniche di analisi per uno studio statistico.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi, e una seconda orale (anch'essa in forma scritta) mirata a valutare le conoscenze teoriche sulla base dello svolgimento di un tema tra quelli indicati in un elenco di domande disponibili nella sezione materiale didattico. Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove. La prova scritta ha validità pari all'intera sessione in cui si è superata la prova scritta.

MATEMATICA

Numeri reali e funzioni reali di variabile reale: Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite, limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri; limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari. Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle, Cauchy , Lagrange. Monotonia e derivabilità. Teorema di de l'Hopital. Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni.  Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito. Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie. Criteri d'integrabilità.

Matrici e sistemi lineari. Operazioni con le matrici: somma, prodotto per uno scalare e prodotto riga per colonna. Determinante di una matrice quadrata mediante lo sviluppo di Laplace: definizioni e proprietà. Rango di una matrice. Matrici invertibili e calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari: teorema di Rouchè- Capelli, teorema di Cramer.

PROBABILITA' E STATISTICA

Definizione di statistica; popolazioni e campioni; campione casuale e campione di convenienza. Tipi di dati e variabili. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità. Tipi di studi. La media campionaria; la varianza e la deviazione standard. Calcolo della media e della deviazione standard a partire da una tabella di frequenza. Calcolo di una proporzione. La probabilità di un evento. I diagrammi di Venn. Eventi incompatibili. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Somma di probabilità. Teorema della somma delle probabilità. La regola del prodotto. Indipendenza di più di due eventi. Alberi di probabilità. Eventi dipendenti. La probabilità condizionata. Teorema delle probabilità totali. Teorema di Bayes. verifica delle ipotesi:Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. La statistica test. La distribuzione nulla. Il P-value. La significatività statistica. Gli errori nella verifica delle ipotesi: errori di tipo I e di tipo II. I test unilaterali. Verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. La distribuzione binomiale. Il test binomiale. Le curve a campana e la distribuzione normale. La formula e le proprietà della distribuzione normale. La distribuzione normale standardizzata e le tavole statistiche. Il teorema del limite centrale. Approssimazione normale per la distribuzione binomiale. La distribuzione t di Student. L'intervallo di confidenza della media di una distribuzione normale. Il test t per un campione. Le assunzioni del test t per un campione. Il coefficiente di correlazione lineare. La regressione lineare. Gli intervalli di confidenza delle previsioni. L'estrapolazione. Verosimiglianza e la massima verosimiglianza

 

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e il testo

M. C. Whitlock e D. Schluter, “Analisi statistica dei dati biologici”, Zanichelli, 2009 per la parte di statistica

Altri testi di riferimento sono i seguenti

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

MATEMATICA E STATISTICA (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 24/09/2018 al 21/12/2018)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Gli argomenti del Corso di Analisi Matematica e Geometria I

Funzione di più variabili reali.  Successioni e serie di funzioni.  Integrazione multipla.  Equazioni differenziali. Curve e superfici. Geometria analitica e algebra lineare.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di nell'ambito dell'Analisi Matematica (funzioni di più variabili reali, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali) e completare la formazione nell'amibito della Geometria e dell'Algebra Lineare di base.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica e Geometria.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica II e Geometria (studi di funzione di più variabili,  studi di  successioni e serie di funzioni,  integrazione multipla, equazioni differenziali, geometria analitica e algebra lineare.) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica e la Geometria, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Una prova scritta su esercizi, una prova scritta su tre argomenti di teoria con eventuali domande orali. La prova di teoria può essere sostenuta dopo aver superato con la votazione di almeno 18/30 la prova di esercizi. Inoltre la prova di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Serie numeriche. Serie convergenti e condizione di Cauchy (con dim.). Serie divergenti positivamente e negativamente. Condizione necessaria per la convergenza (con dim.). Convergenza della serie armonica e della serie geometrica (con dim.). Serie a termini positivi. Carattere delle serie a termini positivi. Criterio del confronto (con  dim.) e del confronto asintotico. Criterio dell'integrale improprio.Criterio del rapporto (con dim.). Criterio della radice (con dim.). Serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti e proprietà (con dim.). Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz (con dim.).

 

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Studio della convergenza puntuale ed uniforme.  Continuità del limite uniforme (con dim.). Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (con dim.) e di derivata (con dim.)

Serie di funzioni.  Convergenza puntuale, uniforme ed assoluta di una serie di funzioni. Continuità della somma di una serie (con dim.)teorema di integrazione termine a termine (con dim.) e di derivazione termine a termine (con dim.). Convergenza totale di una serie di funzioni. Convergenza uniforme di una serie totalmente convergente. Criterio di Weierstrass.

Serie di potenze. Proprietà di convergenza assoluta (con  dim.).  Raggio di convergenza. Proprietà del raggio di convergenza (con dim.) . Teorema di Abel. Calcolo del raggio di convergenza; criterio del rapporto e della radice. Serie ottenute per derivazione e integrazione e loro raggio di convergenza (con dim.).

Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor (con dim.) e sviluppi delle funzioni elementari. 

Serie di Fourier. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppabilità in serie di Fourier.  Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario.

Struttura di RnBase canonica di Rn. Rappresentazione geometrica. Sfere aperte e chiuse. Distanza, intervalli e plurintervalli. Intorni di un punto e punti di accumulazione in Rn. Insiemi aperti, chiusi e insiemi limitati in Rn. Chiusura e proprietà. Interno e derivato di un sottoinsieme di Rn. Frontiera di un sottoinsieme di Rn. Direzioni, rette e segmenti in Rn. Rappresentazioni parametriche. Insiemi connessi, insiemi connessi per archi, insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Funzioni di più variabili. Determinazione dell'insieme di definizione. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi.

Differenziabilità. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili (con dim.). Gradiente. Relazioni tra differenziabilità ed esistenza di derivate direzionali. Teorema del differenziale totale (con dim.). Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz sull'inversione dell'ordine di derivazione. Formula di Taylor al secondo ordine. 

Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Componenti di una funzione a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivate direzionali, differenziale delle funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Teorema sulla differenziabilità delle funzioni composte. 

Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Massimi e minimi relativi (propri), assoluti e vincolati. Matrice hessiana e sue proprietà. Punti stazionari. Condizione necessaria sul gradiente (con dim.). Studio dei punti di massimo e minimo relativi ed assoluti utilizzando la matrice Hessiana (con dim.). Condizioni necessarie e sufficienti sui minori dell'Hessiano. Caso particolare delle funzioni di due variabili. Punti di sella. Studio di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati. Massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrali multipli. Misura di insiemi normali nel piano e nello spazio. Definizione di integrale di una funzione continua di più variabili. Suddivisioni, somme inferiori e superiori,  Definizione di integrabilità. Formule di riduzione. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Cambiamento di variabili in coordinate polari in R2. Cambiamento di variabili in coordinate sferiche e cilindriche in R3.



 Curve e superfici. Curve ed equazioni parametriche. Curve semplici e curve chiuse. Curve regolari. Curve, rettificabili e relativa lunghezza. Rettificabilità delle curve regolari. Lunghezza del grafico di una funzione. Integrale curvilineo di una funzione reale. Superfici regolari, integrali di superficie e area di una superficie regolare.

Campi vettorialiIntegrale curvilineo di  un campo vettoriale. Potenziali. Campi conservativi e caratterizzazione mediante gli integrali curvilinei (con dim.). Irrotazionalità dei campi conservativi (con dim.). Campi irrotazionali in domini stellati e semplicemente connessi. 

Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza. Formule di Gauss-Green. 

Equazioni differenziali. Definizione di soluzione e problema di Cauchy. Riduzione di un'equazione differenziale di ordine m ad un sistema di m equazioni differenziali del primo ordine. Riduzione di un sistema del primo ordine ad un'unica equazione differenziale vettoriale. Equivalenza del problema di Cauchy con il problema di Liouville (con dim.). Lemma di Gronwall  (con dim.) Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale (con dim.). Prolungamenti e soluzioni massimali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e di ordine n omogenee e complete. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine n. Wronskiano di n soluzioni e teorema del Wronskiano. Determinazione della soluzione particolare nel caso di termine noto particolare e nel caso generale con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Altri tipi di equazioni differenziali (a variabili separabili, di Bernoulli, omogenee, mancanti della x o della y).

 

Forme quadratiche: Definizioni. Matrici definite, semidefinite e indefinite.

Spazi euclidei. Definizione, norma, distanza e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e di Minkowski.

Complementi di Geometria analitica del piano:  Trasformazioni del piano. Coniche e loro classificazione 

Geometria analitica   dello spazio.  Rette, piani e sfere: equazioni cartesiane e parametriche e posizioni reciproche. Cenni sulle quadricheTrasformazioni nello spazio.

 

Testi consigliati:

  • A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, disponibile in rete

  • G. De Cecco, R. Vitolo, Note di Algebra e Geometria, disponibile in rete.

  • P.Marcellini-C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica 2, parte I e II, Liguori Editore,Napoli,1991.

  • G. Calvaruso, R.Vitolo, Esercizi di Geometria e Algebra, disponibile in rete

  • N.Fusco-P.Marcellini-C.Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori, Napoli, 1996.
  • Cosimo De Mitri, Raccolta di Esercizi di Analisi Matematica, Unisalento Press
ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MAT/05)
MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 58.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 01/10/2018 al 11/01/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

Sono richieste le conoscenze di base della matematica vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Funzioni reali di variabile reale. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali (cenni). Matrici e sistemi lineari.

PROBABILITA' E STATISTICA: Probabilità discreta. Probabilità continua (cenni).  Statistica test. Verifica delle ipotesi. Intervalli di confidenza.

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere sistemi lineari anche in presenza di un parametro.

Gli studenti dovranno saper impostare e risolvere semplici problemi di probabilità e acquisire alcune tecniche di analisi per uno studio statistico.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

MATEMATICA

Numeri reali e funzioni reali di variabile reale: Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazione. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite(*), limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri(*); limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi(*). Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari(*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat(*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle(*), Cauchy(*) , Lagrange(*). Monotonia e derivabilità(*). Teorema di de l'Hopital(*). Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale(*), teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie. Criteri d'integrabilità.

Funzioni reali di due variabili reali (cenni)

Equazioni differenziali (cenni).

Matrici e sistemi lineari. Operazioni con le matrici: somma, prodotto per uno scalare e prodotto riga per colonna. Determinante di una matrice quadrata mediante lo sviluppo di Laplace: definizioni e proprietà. Rango di una matrice. Sistemi lineari: teorema di Rouchè- Capelli, teorema di Cramer. Cenni sul metodo di eliminazione di Gauss.

 

PROBABILITA' E STATISTICA

Definizione di statistica; popolazioni e campioni; campione casuale e campione di convenienza. Tipi di dati e variabili. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità. Tipi di studi. La media campionaria; la varianza e la deviazione standard. Coefficiente di variazione. Calcolo della media e della deviazione standard a partire da una tabella di frequenza. Calcolo di una proporzione. La probabilità di un evento. I diagrammi di Venn. Eventi incompatibili. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Somma di probabilità. Teorema della somma delle probabilità. La regola del prodotto. Indipendenza di più di due eventi. Alberi di probabilità. Eventi dipendenti. La probabilità condizionata. Teorema della probabilità composta. Teorema di Bayes. Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. La statistica test. La distribuzione nulla. Il P-value. La significatività statistica. Gli errori nella verifica delle ipotesi: errori di tipo I e di tipo II. I test unilaterali. Verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. La distribuzione binomiale. Il test binomiale. La stima delle proporzioni. Le curve a campana e la distribuzione normale. La formula e le proprietà della distribuzione normale. La distribuzione normale standardizzata e le tavole statistiche. Approssimazione normale per la distribuzione binomiale. La distribuzione t di Student. L'intervallo di confidenza della media di una distribuzione normale. Il test t per un campione. Le assunzioni del test t per un campione. La stima del coefficiente di correlazione lineare. La regressione lineare. Gli intervalli di confidenza delle previsioni. L'estrapolazione. La verifica delle ipotesi sulla pendenza. Verosimiglianza e la massima verosimiglianza

 

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e il testo

M. C. Whitlock e D. Schluter, “Analisi statistica dei dati biologici”, Zanichelli, 2009 per la parte di statistica

Altri testi di riferimento sono i seguenti

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

MATEMATICA E STATISTICA (MAT/05)
MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 60.0

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 02/10/2017 al 12/01/2018)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Numeri reali e complessi. Funzioni. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali: generalità e metodi di risoluzione per alcuni tipi. Matrici e sistemi lineari.

PROBABILITA' E STATISTICA: Probabilità discreta. Probabilità continua (cenni).  Statistica test. Verifica delle ipotesi. Intervalli di confidenza.

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere alcune forme di equazioni differenziali. Tra le competenze che gli studenti devono acquisire anche la capacità si saper studiare sistemi lineari in presenza di un parametro.

Gli studenti dovranno saper impostare e risolvere semplici problemi di probabilità e acquisire alcune tecniche di analisi per uno studio statistico.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

MATEMATICA

Numeri reali e complessi Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazione. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Numeri complessi: introduzione. Definizione di C come RXR con le operazioni in C; C non ammette ordinamento totale. Modulo e coniugato di un numero complesso. Forma trigonometrica e forma esponenziale; significato geometrico di somma e prodotto. Radici n-esime di un numero complesso(*). Radici (o zeri) di un polinomio e loro molteplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Un polinomio a coefficienti reali ha le radici complesse a due a due coniugate.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite(*), limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri(*); limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi(*). Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari(*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat(*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle(*), Cauchy(*) , Lagrange(*). Monotonia e derivabilità(*). Teorema di de l'Hopital(*). Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale(*), teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie. Criteri d'integrabilità.

Funzioni reali di due variabili reali: definizione, dominio, rappresentazione cartesiana. Derivate parziali e gradiente. Massimi e minimi relativi e condizione necessaria e sufficiente per tali punti per funzioni di due variabili.

Equazioni differenziali Equazioni differenziali di tipo normale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Integrale generale. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy relativo ad equazioni del 1° ordine lineare . Integrale generale delle equazioni lineari del 1° ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore a coefficienti costanti, omogenee e non.

Matrici e sistemi lineari. Operazioni con le matrici: somma, prodotto per uno scalare e prodotto riga per colonna. Determinante di una matrice quadrata mediante lo sviluppo di Laplace: definizioni e proprietà. Rango di una matrice. Sistemi lineari: teorema di Rouchè- Capelli, teorema di Cramer. Cenni sul metodo di eliminazione di Gauss.

 

PROBABILITA' E STATISTICA

Definizione di statistica; popolazioni e campioni; campione casuale e campione di convenienza. Tipi di dati e variabili. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità. Tipi di studi. La media campionaria; la varianza e la deviazione standard. Coefficiente di variazione. Calcolo della media e della deviazione standard a partire da una tabella di frequenza. Calcolo di una proporzione. La probabilità di un evento. I diagrammi di Venn. Eventi incompatibili. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Somma di probabilità. Teorema della somma delle probabilità. La regola del prodotto. Indipendenza di più di due eventi. Alberi di probabilità. Eventi dipendenti. La probabilità condizionata. Teorema della probabilità composta. Teorema di Bayes. Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. La statistica test. La distribuzione nulla. Il P-value. La significatività statistica. Gli errori nella verifica delle ipotesi: errori di tipo I e di tipo II. I test unilaterali. Verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. La distribuzione binomiale. Il test binomiale. La stima delle proporzioni. Le curve a campana e la distribuzione normale. La formula e le proprietà della distribuzione normale. La distribuzione normale standardizzata e le tavole statistiche. Approssimazione normale per la distribuzione binomiale. La distribuzione t di Student. L'intervallo di confidenza della media di una distribuzione normale. Il test t per un campione. Le assunzioni del test t per un campione. La stima del coefficiente di correlazione lineare. La regressione lineare. Gli intervalli di confidenza delle previsioni. L'estrapolazione. La verifica delle ipotesi sulla pendenza. Verosimiglianza e la massima verosimiglianza

 

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e il testo

M. C. Whitlock e D. Schluter, “Analisi statistica dei dati biologici”, Zanichelli, 2009 per la parte di statistica

Altri testi di riferimento sono i seguenti

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

MATEMATICA E STATISTICA (MAT/05)
COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 42.0 Ore Studio individuale: 108.0

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Anno di corso 3

Semestre Secondo Semestre (dal 27/02/2017 al 26/05/2017)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0 Ore Studio individuale: 98.0

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 19/09/2016 al 16/12/2016)

Lingua

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce - Università degli Studi

Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Numeri reali e complessi. Funzioni. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali (cenni)

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere alcune forme di equazioni differenziali.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

MATEMATICA

Numeri reali e complessi Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazione. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Numeri complessi: introduzione. Definizione di C come RXR con le operazioni in C; C non ammette ordinamento totale. Modulo e coniugato di un numero complesso. Forma trigonometrica e forma esponenziale; significato geometrico di somma e prodotto. Radici n-esime di un numero complesso(*). Radici (o zeri) di un polinomio e loro molteplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Un polinomio a coefficienti reali ha le radici complesse a due a due coniugate.

Successioni Definizione, definizione di limite, unicità del limite(*), esempi di limiti. Teorema della permanenza del segno e confronto. Teorema dei due carabinieri(*). Ogni successione convergente è limitata(*). Se a_n converge ad a allora |a_n| converge ad |a|(*) . Le successioni monotone sono regolari. Definizione di sottosuccessione, se una successione ammette limite ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite, Esercizi e calcolo di limiti di alcune successioni. Monotonia della successione di Nepero e sua limitatezza. Numero e. Limiti notevoli per le successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass . Infiniti, infinitesimi e confronti asintotici.

Principio di induzione con applicazioni.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite(*), limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri(*); limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi(*). Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari(*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat(*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle(*), Cauchy(*) , Lagrange(*). Monotonia e derivabilità(*). Teorema di de l'Hopital(*). Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale(*), teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie. Criteri d'integrabilità.

Equazioni differenziali Equazioni differenziali di tipo normale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Integrale generale. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy relativo ad equazioni del 1° ordine lineare . Integrale generale delle equazioni lineari del 1° ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore a coefficienti costanti, omogenee e non.

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara

Altri testi di riferimento sono i seguenti

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 60.0 Ore Studio individuale: 115.0

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 03/10/2016 al 13/01/2017)

Lingua

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Numeri reali e complessi. Successioni. Funzioni. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali: generalità e metodi di risoluzione per alcuni tipi. Matrici e sistemi lineari.

PROBABILITA' E STATISTICA: Probabilità discreta. Probabilità continua (cenni).  Statistica test. Verifica delle ipotesi. Intervalli di confidenza.

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere alcune forme di equazioni differenziali. Tra le competenze che gli studenti devono acquisire anche la capacità si saper studiare sistemi lineari in presenza di un parametro.

Gli studenti dovranno saper impostare e risolvere semplici problemi di probabilità e acquisire alcune tecniche di analisi per uno studio statistico.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

MATEMATICA

Numeri reali e complessi Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazione. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Numeri complessi: introduzione. Definizione di C come RXR con le operazioni in C; C non ammette ordinamento totale. Modulo e coniugato di un numero complesso. Forma trigonometrica e forma esponenziale; significato geometrico di somma e prodotto. Radici n-esime di un numero complesso(*). Radici (o zeri) di un polinomio e loro molteplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Un polinomio a coefficienti reali ha le radici complesse a due a due coniugate.

Successioni Definizione, definizione di limite, unicità del limite(*), esempi di limiti.

Teorema della permanenza del segno e confronto. Teorema dei due carabinieri(*). Ogni successione convergente è limitata(*). Se a_n converge ad a allora |a_n| converge ad |a|(*) . Le successioni monotone sono regolari. Definizione di sottosuccessione, se una successione ammette limite ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite, Esercizi e calcolo di limiti di alcune successioni. Monotonia della successione di Nepero e sua limitatezza. Numero e. Limiti notevoli per le successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass . Infiniti, infinitesimi e confronti asintotici.

Principio di induzione con applicazioni.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite(*), limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri(*); limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass(*). Teorema di esistenza degli zeri(*). Teorema dei valori intermedi(*). Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari(*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat(*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle(*), Cauchy(*) , Lagrange(*). Monotonia e derivabilità(*). Teorema di de l'Hopital(*). Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale(*), teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie. Criteri d'integrabilità.

Funzioni reali di due variabili reali: definizione, dominio, rappresentazione cartesiana. Derivate parziali e gradiente. Massimi e minimi relativi e condizione necessaria e sufficiente per tali punti per funzioni di due variabili.

Equazioni differenziali Equazioni differenziali di tipo normale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Integrale generale. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy relativo ad equazioni del 1° ordine lineare . Integrale generale delle equazioni lineari del 1° ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore a coefficienti costanti, omogenee e non.

Matrici e sistemi lineari. Operazioni con le matrici: somma, prodotto per uno scalare e prodotto riga per colonna. Determinante di una matrice quadrata mediante lo sviluppo di Laplace: definizioni e proprietà. Rango di una matrice. Sistemi lineari: teorema di Rouchè- Capelli, teorema di Cramer. Cenni sul metodo di eliminazione di Gauss.

 

PROBABILITA' E STATISTICA

Definizione di statistica; popolazioni e campioni; campione casuale e campione di convenienza. Tipi di dati e variabili. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità. Tipi di studi. La media campionaria; la varianza e la deviazione standard. Coefficiente di variazione. Calcolo della media e della deviazione standard a partire da una tabella di frequenza. Calcolo di una proporzione. La probabilità di un evento. I diagrammi di Venn. Eventi incompatibili. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Somma di probabilità. Teorema della somma delle probabilità. La regola del prodotto. Indipendenza di più di due eventi. Alberi di probabilità. Eventi dipendenti. La probabilità condizionata. Teorema della probabilità composta. Teorema di Bayes. Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. La statistica test. La distribuzione nulla. Il P-value. La significatività statistica. Gli errori nella verifica delle ipotesi: errori di tipo I e di tipo II. I test unilaterali. Verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. La distribuzione binomiale. Il test binomiale. La stima delle proporzioni. Le curve a campana e la distribuzione normale. La formula e le proprietà della distribuzione normale. La distribuzione normale standardizzata e le tavole statistiche. Approssimazione normale per la distribuzione binomiale. La distribuzione t di Student. L'intervallo di confidenza della media di una distribuzione normale. Il test t per un campione. Le assunzioni del test t per un campione. La stima del coefficiente di correlazione lineare. La regressione lineare. Gli intervalli di confidenza delle previsioni. L'estrapolazione. La verifica delle ipotesi sulla pendenza. Verosimiglianza e la massima verosimiglianza

 

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e il testo

M. C. Whitlock e D. Schluter, “Analisi statistica dei dati biologici”, Zanichelli, 2009 per la parte di statistica

Altri testi di riferimento sono i seguenti

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

MATEMATICA E STATISTICA (MAT/05)
ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 48.0 Ore Studio individuale: 102.0

Per immatricolati nel 2015/2016

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 21/09/2015 al 18/12/2015)

Lingua

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce - Università degli Studi

Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Numeri reali e complessi. Funzioni. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali (cenni)

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere alcune forme di equazioni differenziali.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

MATEMATICA

Numeri reali e complessi Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazione. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Numeri complessi: introduzione. Definizione di C come RXR con le operazioni in C; C non ammette ordinamento totale. Modulo e coniugato di un numero complesso. Forma trigonometrica e forma esponenziale; significato geometrico di somma e prodotto. Radici n-esime di un numero complesso(*). Radici (o zeri) di un polinomio e loro molteplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Un polinomio a coefficienti reali ha le radici complesse a due a due coniugate.

Successioni Definizione, definizione di limite, unicità del limite(*), esempi di limiti. Teorema della permanenza del segno e confronto. Teorema dei due carabinieri(*). Ogni successione convergente è limitata(*). Se a_n converge ad a allora |a_n| converge ad |a|(*) . Le successioni monotone sono regolari. Definizione di sottosuccessione, se una successione ammette limite ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite, Esercizi e calcolo di limiti di alcune successioni. Monotonia della successione di Nepero e sua limitatezza. Numero e. Limiti notevoli per le successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass . Infiniti, infinitesimi e confronti asintotici.

Principio di induzione con applicazioni.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite(*), limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri(*); limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi(*). Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari(*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat(*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle(*), Cauchy(*) , Lagrange(*). Monotonia e derivabilità(*). Teorema di de l'Hopital(*). Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale(*), teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie. Criteri d'integrabilità.

Equazioni differenziali Equazioni differenziali di tipo normale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Integrale generale. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy relativo ad equazioni del 1° ordine lineare . Integrale generale delle equazioni lineari del 1° ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore a coefficienti costanti, omogenee e non.

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico)

Altri testi di riferimento sono i seguenti

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I MOD. A

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 54.0 Ore Studio individuale: 96.0

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno accademico di erogazione 2014/2015

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 29/09/2014 al 13/01/2015)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Numeri reali e complessi. Funzioni. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali: generalità e metodi di risoluzione per alcuni tipi. Matrici e sistemi lineari.

GEOMETRIA: Strutture algebriche e spazi vettoriali. Matrici. Sistemi Lineari. Applicazioni Lineari.

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali.

Inoltre si devono conoscere i concetti di strutture algebriche, spazi vettoriali e gli elementi base dell'algebra lineare utili ai fini della risoluzione dei sistemi lineari.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

ANALISI MATEMATICA

Equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni razionali, con radici, con valore assoluto e metodo grafico.

Numeri reali e complessi. Insiemi numerici N;Z;Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà (*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazioni (*). Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*). Proprietà archimedea. Densità di Q in R . Principio di induzione. Esempi (tra cui: disuguaglianze di Bernoulli (*), formula del binomio di Newton (*)).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: potenze intere e loro inverse, potenze razionali. Funzione esponenziale e logaritmo, funzioni iperboliche, funzioni trigonometriche e loro inverse. Numeri complessi: introduzione. Definizione di C come RXR con le operazioni somma e prodotto in C; C non

ammette ordinamento totale. Modulo e coniugato di un numero complesso. Identificazione di R con il sottoinsieme delle coppie (a;0). L'unità immaginaria (0; 1). Parte reale e parte immaginaria; un numero complesso z = (a; b) = (Re z; Im z) può essere scritto come Re z + i Im z dove i denota (0; 1). Forma trigonometrica e forma esponenziale; significato geometrico di somma e prodotto. Radici n-esime di un numero complesso (*). Radici (o zeri) di un polinomio e loro molteplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Un polinomio a coefficienti reali ha le radici complesse a due a due coniugate.

Successioni. Definizione, definizione di limite, unicità del limite (*), esempi di limiti, definizione di sottosuccessione, se una successione ammette limite ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite, teorema della permanenza del segno (*). Operazioni con i limiti. Teorema del confronto (*). Ogni successione convergente è limitata (*). Teorema dei due carabinieri (*). Le successioni monotone sono regolari (*). Esercizi e calcolo di limiti di alcune successioni, limite per n che tende a infinito per un polinomio in n, e per il rapporto tra due polinomi. Andamento all'infinito per a^n, n^k, a e k fissati.

Calcolo del limite di log n/n. Monotonia della successione di Nepero e sua limitatezza (*). Numero e. Limiti notevoli per le successioni (*). Teorema di Bolzano-Weierstrass (*). Criterio di Cauchy.

Limiti e continuità. Punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Limite di funzioni: caratterizzazione del limite tramite successioni (*), esempi, unicità, limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri; limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate: casi del rapporto tra la funzione esponenziale e un polinomio e tra il logaritmo e un polinomio all'infinito, prodotto tra logaritmo e una potenza in zero. Limiti notevoli (*).

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno (*). La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette massimo e minimo (*). Teorema di esistenza degli zeri (*). Una funzione continua trasforma intervalli in intervalli (teorema dei valori intermedi) (*). Controesempi. Una funzione continua trasforma intervalli chiusi e limitati in intervalli chiusi e limitati. Continuità della funzione inversa (*). Esempi e controesempi. Uniforme continuità: definizione, commenti, esempi. Una funzione uniformemente continua in X è continua in ogni punto di X, funzioni lipschitziane. Teorema di Heine-Cantor: una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua in tale intervallo (*).

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Se una funzione è derivabile in un punto è continua in tale punto (*). Date due funzioni derivabili in un punto: derivata della loro somma, del loro prodotto (*), del loro rapporto, derivata della funzione composta (*), derivata dell'inversa di una funzione (*), derivate delle funzioni elementari (*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat (*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle (*), Cauchy (*), Lagrange (*). Una funzione derivabile è crescente (decrescente) in un intervallo se e solo se la sua derivata è non negativa (non positiva)(*). Se una funzione ha la derivata positiva (negativa) in un intervallo allora è strettamente crescente (decrescente) (*). Teorema di de l'Hopital (*). Applicazioni. Derivate successive: funzioni di classe C^k con k in N. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde (*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor con resto di Peano (*), con resto di Lagrange. Sviluppi di alcune funzioni elementari (*). Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno (*).

Calcolo integrale. Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann. Caratterizzazione dell'integrabilità (*).

Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue (*), delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone (*). Proprietà delle funzioni integrabili, teorema della media integrale (*), teorema fondamentale del calcolo integrale (*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti (*) e per sostituzione (*). Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie: convergenza e convergenza assoluta. Criteri d'integrabilità.

 

GEOMETRIA

Strutture algebriche e spazi vettoriali. Leggi di composizione. Gruppi. Anelli. Campi. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali: somma e somma diretta di sottospazi, intersezione di sottospazi. Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza, insieme di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Basi di spazi vettoriali: proprietà ed esistenza, completamento ed estrazione, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassman (*).

Matrici. Definizioni. Operazioni su matrici. Definizione di determinante. Teorema di Laplace. Proprietà del determinante e regole di calcolo. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Caratterizzazione di matrici invertibili (*). Rango di una matrice e proprietà. Rango di un insieme di vettori.

Sistemi lineari. Compatibilità, numero delle soluzioni e calcolo esplicito. Teorema di Rouché-Capelli(*). Teorema di Cramer. Metodo di eliminazione di Gauss.

Applicazioni lineari. Funzioni tra spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Caratterizzazione di iniettività e suriettività. Teorema fondamentale(*). Isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Sistemi e applicazioni lineari. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico: polinomi caratteristici di matrici simili(*), realzione tra autovalori e radici del polinomio caratteristico (*). Endomorfismi semplici. Criterio di semplicità.

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e le dispense Note di Geometria e Algebra (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. G. De Cecco e R. Vitolo.

Altri testi di riferimento sono i seguenti

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I MOD. A (MAT/05)

Pubblicazioni

[ 1 ] L. Angiuli : “Short-time behavior of semigroups and functions of bounded variation”, Phd Thesis, Universit`a del Salento, 2008. Versione elettronica disponibile su: http://siba-ese.unisalento.it/index.php/stbehav/issue/current.
[ 2 ] L. Angiuli, M. Jr. Miranda, D. Pallara, F. Paronetto: “BV functions and parabolic initial boundary value problems on domains”, Ann. Mat. Pura et Applicata, 188, n.2, 2009, 297 – 328.
[ 3 ] L. Angiuli, D. Pallara, F. Paronetto: “Analytic semigroups generated in L1(Ω) by second order elliptic operators via duality methods”, Semigroup Forum, 80, n.2, 2010, 255 – 271.
[ 4 ] L. Angiuli, G. Metafune, C. Spina: “Feller semigroups and invariant measures”, Rivista di Matematica dell’ Universit`a di Parma (8), 4, 2010, 1–60.
[ 5 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “Compactness and invariance properties of evolution operators associated with Kolmogorov operators with unbounded coefficients”, J. Math. Anal. Appl., 379, n.1, 2011, 125 – 149.
[ 6 ] L. Angiuli, U. Massari, M. Jr. Miranda: “Geometric properties of the heat content”, Manuscripta Math., 140, 2013, n. 3-4, 497-529.
[ 7 ] L. Angiuli : “Pointwise gradient estimates for evolution operators associated with Kolmogorov operators”, Archiv der Mathematik (Basel), 101, 2013, n.2, 159–170.
[ 8 ] L. Angiuli, A. Lunardi, L. Lorenzi: “Hypercontractivity and asymptotic behaviour in nonautonomous Kolmogorov equations”, Comm. Part. Diff. Eqns., 38, 2013, n.12, 2049–2080.
[ 9 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “On improvement of summability properties in nonautonomous Kolmogorov equations”, Comm. Pure Appl. Anal., 13, 2014, n.3, 1237–1265.
[ 10 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “On the Dirichlet and Neumann evolution operators in Rd+”, Potential Analysis, 41, 2014, 1079–1110.
[ 11 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “Non autonomous parabolic problems with unbounded coefficients in unbounded domains”, Advances in Differential Equations 20, 2015, n. 11-12, 1067-1118.
[ 12 ] L. Angiuli, A. Lunardi: “Semilinear nonautonomous parabolic equations with unbounded coefficients in the linear part”, Nonlinear Analysis, 125, 2015, 468–497.

[ 13 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “On the estimates of the derivatives of solutions to nonautonomous Kolmogorov equations and their consequences”, Rivista di Matematica della Universit`a di Parma 7, 2016, 421–471.
[ 14 ] L. Angiuli, L. Lorenzi, D. Pallara: “Lp-estimates for parabolic systems with unbounded coefficients coupled at zero and first order”, J. Math. Anal. Appl., 444, 2016, n. 1, 110-135.
[ 15 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi, G. Tessitore: “On coupled systems of Kolmogorov equations with applications to stochastic differential games”, ESAIM: COCV 23, 2017, 937–976.
[ 16 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi: “Hypercontractivity, supercontractivity, ultraboundedness and stability in semilinear problems”, Advances in Nonlinear Analysis, (in corso di stampa), pubblicato on line, disponibile su https://doi.org/10.1515/anona-2016-0166.
[ 17 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi: “Invariant measures for systems of Kolmogorov equations”, Journal of Applied Analysis and Computation, 8, 2018, n.3, 764–804 .
[ 18 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi: “On invariant measures associated to weakly coupled systems of Kolmogorov equations”, sottomesso per la pubblicazione, disponibile su https://arxiv.org/abs/1705.03784.
[ 19 ] L. Angiuli, S. Ferrari, D. Pallara: “Gradient estimates for perturbed Ornstein- Uhlenbeck semigroups on infinite dimensional convex domains”,sottomesso per la pubblicazione, disponibile su https://arxiv.org/abs/1807.07780.

Temi di ricerca

Calcolo delle variazioni: funzioni a variazione limitata e insiemi di perimetro finito.

Equazioni e sistemi di equazioni di Kolmogorov

Risorse correlate

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