Luciana ANGIULI

Luciana ANGIULI

Professore II Fascia (Associato)

Dipartimento di Matematica e Fisica "Ennio De Giorgi"

Ex Collegio Fiorini - Via per Arnesano - LECCE (LE)

Ufficio, Piano terra

Telefono +39 0832 29 7412

Area di competenza:

Analisi Matematica e Probabilita'

Orario di ricevimento

Per appuntamento, in presenza o mediante piattaforma Teams, previo accordo via e mail.

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Curriculum Vitae

Laurea in Matematica in data 24 Luglio 2003, presso l'Università del Salento, relatore il Prof. Diego Pallara. Dottorato di ricerca in matematica in data 3 Luglio 2008  presso l'Università del Salento, relatore il prof. Diego Pallara.  Vincitore della borsa di studio "E. De Giorgi" presso l'Universita' del Salento (durata annuale). Assegnista di ricerca presso l'Università di Parma (durata biennale). Professore a contratto presso la Facoltà di Farmacia e la Facoltà di Architettura dell'Università di Parma. Assegnista di ricerca presso l'Università del Salento (durata biennale). Professore a contratto per il corso di Laurea in Ottica e Optometria e per il corso di Laurea in Ingegneria Industriale dell'Università del Salento. Ricercatore a tempo determinato (tipo A) dal 29 Dicembre 2015. 

Membro del progetto PRIN-COFIN 2010 dal titolo ``Problemi differenziali di evoluzione: approcci deterministici e stocastici e loro interazioni" (coordinatore scientifico: M. Fuhrman), durata: 36 mesi.
Coordinatore del progetto GNAMPA - INDAM 2014 dal titolo "Equazioni ellittiche e paraboliche a coefficienti illimitati", durata: 12 mesi.
Membro del progetto PRIN 2015 dal titolo "Deterministic and stochastic evolution equations", (coordinatore scientifico: A. Lunardi), durata: 36 mesi.
Membro del progetto GNAMPA - INDAM 2016 dal titolo "Equazioni e sistemi di equazioni ellittiche e paraboliche associate ad operatori con coefficienti
illimitati e discontinui", durata: 12 mesi.
Coordinatore del progetto GNAMPA - INDAM 2017 dal titolo "Equazioni e sistemi di equazioni di Kolmogorov in dimensione
finita e non", durata: 12 mesi.
Vincitore del finanziamento annuale individuale delle attivit\à base di ricerca erogato dal M.I.U.R., durata:12 mesi.

Per la biografia dettagliata e l'elenco delle pubblicazioni si veda il curriculum vitae allegato

Scarica curriculum vitae

Didattica

A.A. 2022/2023

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I (MOD.A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA BIOMEDICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2022/2023

Per immatricolati nel 2022/2023

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Anno accademico di erogazione 2022/2023

Per immatricolati nel 2022/2023

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea FISICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 8.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Anno accademico di erogazione 2022/2023

Per immatricolati nel 2022/2023

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2021/2022

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I (MOD.A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA BIOMEDICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea FISICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 8.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2020/2021

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea FISICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 8.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA III

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Docente titolare Giorgio Gustavo Ermanno METAFUNE

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 21.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA III

Corso di laurea FISICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 8.0

Docente titolare Giorgio Gustavo Ermanno METAFUNE

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 21.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 58.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2019/2020

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Docente titolare Giorgio Gustavo Ermanno METAFUNE

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 108.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 36.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 58.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2018/2019

MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 58.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

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ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I (MOD.A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA BIOMEDICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 108.0

Per immatricolati nel 2022/2023

Anno accademico di erogazione 2022/2023

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 19/09/2022 al 16/12/2022)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Il corso richiede le conoscenze previste nei test di ingresso alle Facoltà di Ingegneria e in particolare nozioni elementari di logica, teoria degli insiemi, algebra elementare, geometria euclidea, operazioni con polinomi e radici, i principali concetti di trigonometria, funzioni elementari (polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche) e lo studio di equazioni e disequazioni, in particolare razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.

Cenni di logica e teoria degli insiemi. 

Insiemi numerici.

La retta reale. 

Funzioni reali.

Funzioni elementari. 

Numeri complessi. 

Successioni. 

Limiti. 

Continuità. 

Calcolo differenziale.

Calcolo integrale. 

Strutture algebriche e spazi vettoriali. 

Matrici. 

Applicazioni lineari. 

Autovalori e autovettori. 

Sistemi di equazioni lineari. 

L'obiettivo del corso è quello di fornire una solida preparazione di base sui concetti fondamentali dell'analisi matematica e della geometria e in particolare per i capitoli che riguardano lo studio delle funzioni reali, i loro limiti, il calcolo differenziale, le strutture algebriche e l'algebra delle matrici. Le basi fornite sono finalizzate sia ai corsi successivi di matematica che ai corsi di ingegneria. Rispetto a tali conoscenze lo studente deve acquisirein particolare:

Knowledge and understanding. dovrà conoscere le definizioni e risultati fondamentali dell'analisi matematica in una variabile, della geometria e dell'algebra lineare ed essere in grado di comprendere come questi possono essere utilizzati nella risoluzione di problemi

Applying knowledge and understanding. dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.

Making judgements. dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti o fornitigli.

Communication. dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.

Learning skills. Lo studente dovrà essere in grado di impostare matematicamente e risolvere problemi riconducibili a conoscenze relative ai contenuti del corso.

Da definire

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale e tali prove si svolgono in giorni distinti e prefissati; le date sono disponibili nel calendario degli esami del proprio Corso di Studi. La prova orale viene sostenuta solo dopo aver superato la prova scritta. Per accedere ad entrambe le prove bisogna prenotarsi sull’apposito portale degli studenti. Non è possibile sostenere la prova scritta se è stato assegnato un debito formativo in Analisi Matematica o in Geometria e questi non sono stati ancora superati.

Prova scritta – Consiste nello svolgimento di esercizi relativi ai contenuti del corso.

Prova orale – Riguarda contenuti di carattere teorico (definizioni, teoremi e proprietà svolte a lezione); il contenuto è precisato dal programma del corso disponibile nella Scheda del corso (nell’elenco dei documenti disponibili nella sezione Corsi). Vengono richiesti solo gli argomenti effettivamente trattati a lezione (comprese le dimostrazioni svolte).

Gli argomenti contrassegnati con * indicano che per essi è stata fornita una dimostrazione durante le lezioni che può essere oggetto di verifica durante la prova orale.

Cenni di logica e teoria degli insiemi. Proposizioni ed enunciati. Connettivi logici. Quantificatori. Insiemi, sottoinsiemi, intersezione, unione, complementare e differenza. Prodotto cartesiano.

Insiemi numerici. L’insieme dei numeri naturali. Principio di induzione completa e applicazioni (fattoriale e coefficienti binomiali, formula di Newton(*)). L'insieme dei numeri interi. L'insieme dei numeri razionali. Non completezza dell'insieme dei numeri razionali. L'insieme dei numeri reali: descrizione assiomatica. Proprietà di completezza e conseguenze. Esistenza della radice n-esima.

La retta reale. Intervalli limitati, non limitati e centrati. Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Massimo e minimo di un sottoinsieme. Estremi inferiore e superiore. Caratterizzazione di sup e inf(*) Valore assoluto e proprietà (*)

Funzioni reali. Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzioni composte. Funzioni inverse. Equivalenza tra funzioni invertibili e biiettive. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni limitate superiormente e inferiormente. Massimi e minimi relativi ed assoluti. Estremi di una funzione. Funzioni monotone e proprietà.  Funzioni pari, dispari, periodiche.

Funzioni elementari. Definizioni e grafici e funzioni inverse. Operazioni con i grafici.

Numeri complessi. Forma algebrica e operazioni. Modulo e coniugato. Coordinate polari. Forma trigonometrica ed operazioni in forma trigonometrica. Forma di De Moivre. Forma esponenziale. Funzioni eponenziali, logaritmo, potenza, trigonometriche in C. Polinomi in C. Radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra e corollari(*).

Successioni. Successioni reali. Unicità del limite(*)Limitatezza delle successioni convergenti.(*). Limite di successioni e relazioni d’ordine(*) Teorema del confronto(*)Teorema sul limite delle successioni monotone(*)  Esistenza di estratte regolari e di estratte convergenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e criterio di convergenza di Cauchy. Limiti notevoli di successioni. Confronto tra infiniti. Successione geometrica(*). Teorema di Cesaro. Successione di Nepero(*)

Limiti. Punto di accumulazione e punto isolato. Definizione di limite. Teorema di caratterizzazione del limite mediante successioni(*).Unicità(*) e prime proprietà. Limiti destri e sinistri e proprietà. Teoremi di confronto per i limiti. Operazioni sui limiti: limite della somma, del prodotto, della reciproca e del quoziente. Limite delle funzioni composte. Limiti delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate. Limiti notevoli(*). Infinitesimi ed infiniti e regola di sostituzione.

Continuità. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Proprietà locali delle funzioni continue. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità eliminabili, di prima e di seconda specie. Teorema di Weierstrass(*). Teorema di esistenza degli zeri(*). Teorema dei valori intermedi (*)  Applicazioni alla risoluzione di equazioni. Uniforme continuità e teorema di Heine Cantor. Funzioni lipschitziane e relazioni con la uniforme continuità e la continuità.

Calcolo differenziale.Funzioni dotate di derivata e funzioni derivabili. Derivate sinistre e destre. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Punti di non derivabilità. Continuità delle funzioni derivabili(*). Regole di derivazione(*) e derivate delle funzioni elementari. Studio della derivabilità di una funzione reale. Estremi relativi. Teorema di Fermat(*) Teorema di Rolle(*), Cauchy(*) e Lagrange(*) e conseguenze.  Teorema di monotonia(*) Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Caratterizzazione della convessità(*): condizione necessaria perché un punto sia di flesso. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio del grafico di una funzione reale. Teorema di De L'Hopital(*) e applicazioni. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano(*). Condizioni sufficienti di estremalità(*) Applicazioni al calcolo dei limiti.

Calcolo integrale. Primitiva di una funzione. Funzioni integrabili secondo Riemann. Funzione di Dirichlet. Caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone e continue(*). Proprietà degli integrali. Interpretazione geometrica dell'integrale. Teorema della media integrale(*). Primitive di una funzione e proprietà. Integrale indefinito. Integrale definito e funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*) Metodi di integrazione. Integrali impropri. Esempio modello. Criteri di confronto e integrabilità.

Strutture algebriche e spazi vettoriali. Gruppi. Campi. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi. Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali. Somma e somma diretta di sottospazi, intersezione di sottospazi. Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza, insieme di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Basi di spazi vettoriali. Caratterizzazione di una base.  Metodo degli scarti successivi(*) Completamento ad una base. Esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale (*). Calcolo della dimensione di uno spazio vettoriale mediante il rango di una matrice Formula di Grassmann(*).

Matrici. Definizione, classi particolari di matrici. Operazioni tra matrici e proprietà. Matrici invertibili. Teorema della matrice inversa. Matrici ortogonali. Definizione di determinante e proprietà. Teorema di Laplace. Definizione di rango di una matrice. Calcolo del determinante e del rango mediante l’algoritmo di Gauss. Criterio dei minori orlati.

Applicazioni lineari. Definizioni, esempi e controesempi. Applicazioni lineari che associano ai vettori di una base dei vettori fissati(*). Nucleo e immagine.  Caratterizzazione di funzioni iniettive(*). Relazione fondamentale(*). Isomorfismi. Caratterizzazione di spazi isomorfi(*) Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. Cambiamento di base e matrici simili.

Autovalori e autovettori. Endomorfismi semplici. Matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico di un endomorfismo o di una matrice. Autovalori e autovettori di una matrice o di un endomorfismo. Caratterizzazione degli autovalori di una matrice(*) e di un endomorfismo(*). Matrici simili e loro caratterizzazione(*). Autospazi, molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criterio di semplicità. Teorema spettrale.

Sistemi di equazioni lineari. Definizione, matrice associata. Soluzioni (esistenza, numero e calcolo). Teorema di Rouché-Capelli(*). Dimensione dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Metodo di Cramer. Algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I (MOD.A/B) (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Per immatricolati nel 2022/2023

Anno accademico di erogazione 2022/2023

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 27/02/2023 al 09/06/2023)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Il corso è il naturale prolungamento del corso di Analisi Matematica I ed ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, studi di serie numeriche, integrazione) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 18 nella prova di esercizi.  La prova  di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta, comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione
d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività
rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di
funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale.
Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema
fondamentale del calcolo integrale (*). Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrali
impropri di prima specie. Criterio di confronto per integrali impropri di prima specie. Criterio d’integrabilità
per integrali impropri di prima specie. Integrali impropri di seconda specie. Criterio di confronto per
integrali impropri di seconda specie. Criterio d’integrabilità per integrali impropri di seconda specie. Esempi
e applicazioni.

Serie numeriche: Serie convergente, divergente e indeterminata. Carattere di una serie. Carattere di una
serie geometrica(*). Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*). Criterio di Cauchy per le
serie(*) con applicazione alla serie armonica. Serie convergente assolutamente. Convergenza assoluta e
convergenza semplice (*). Carattere di una serie a termini positivi (*). Confronto tra serie a termini positivi
(*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio di condensazione di Cauchy (*) con applicazione alla serie
armonica e armonica generalizzata. Confronto asintotico con la serie armonica generalizzata (*) Criterio
della radice (*). Criterio del rapporto (*) Criterio di confronto tra serie e integrali impropri(*). Serie a
termini di segno variabile. Teorema di Leibniz per le serie a segni alterni (*) Serie a termini complessi. Serie
prodotto alla Cauchy. Convergenza della serie prodotto (*). Riordinamento di serie numeriche.
Caratterizzazione della convergenza assoluta in termini dei riordinamenti. Teorema di Riemann.

Cenni di topologia di R n : Prodotto scalare euclideo. Norma euclidea indotta e proprietà. Distanza e
proprietà. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi
aperti e chiusi. Proprietà degli aperti e dei chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Chiusura, parte interna.
Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Successioni a valori vettoriali: Successioni convergenti. Caratterizzazione della convergenza di successioni
vettoriali in termini di quella delle sue componenti reali (*) e unicità del limite. Successioni estratte e
convergenza. Caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme di R^k. Insiemi compatti in R^k. Teorema
di Heine-Borel (*)

Funzioni reali di più variabili reali: Definizione di limite. Proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
caratterizzazione mediante successioni, operazioni). Funzioni continue. Continuità della funzione composta.
Caratterizzazione topologica della continuità. Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Maggioranti
e minoranti per una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di una
funzione limitata. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue
e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di
funzioni di due/tre variabili. Piani, paraboloide ellittico, cilindro parabolico, cilindro

circolare/ellittico/iperbolico, sfera/ellissoide, paraboloide iperbolico (sella), cono circolare/ellittico,
iperboloide ad una falda, a due falde.

Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni
differenziabili (*). Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili (*). Teorema
del differenziale totale (*). Differenziale della funzione composta (*). Funzioni con gradiente nullo in aperti
connessi sono costanti (*). Funzioni di classe C n . Teorema di Schwarz (*). Formula di Taylor del secondo
ordine (*). Polinomio di Taylor.
Forme quadratiche ed estremi relativi: Classificazione delle forme quadratiche con gli autovalori. Estremi
relativi. Massimo e minimo autovalore di forme quadratiche definite positive (*). In un punto di estremo
relativo il gradiente di funzioni differenziabili è nullo (*). Punti critici. Matrice Hessiana. Forma quadratica
Hessiana. In un punto di estremo relativo la forma è Hessiana è semidefinita (*). Classificazione dei punti
critici con la forma Hessiana (*). Classificazione dei punti critici in R 2 .
Funzioni convesse: Caratterizzazione di funzioni convesse regolari (*). Se f è convessa il grafico è al di sopra
dell’iperpiano tangente (*). Punti critici di funzioni convesse regolari sono punti di minimo assoluto (*).
Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. Cambiamenti
di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari piane, coordinate cilindriche, coordinate sferiche in
R 3 .
Curve in R n : Curve, sostegno, estremi della curva, curve chiuse. Confronto tra sostegni di curve e grafici di
funzioni. Curve semplici. Curve di classe C k . Curve regolari e regolari a tratti. Esempi (segmenti, rette,
poligonali, circonferenze, ellissi, elica cilindrica). Curve equivalenti. Versore tangente e retta tangente ad
una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Lunghezza di curve regolari a tratti (*). Lunghezza di
una curva cartesiana. Curve in coordinate polari. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Composizione
di due curve. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali lineari : Forme differenziali lineari. (F.d.l.) F. d.l. di classe C k . F.d.l. e lavoro di un campo
vettoriale. Integrale di una f.d.l. lungo una curva e sue proprietà. Invarianza dell’integrale rispetto a curve
equivalenti (*). Integrale curvilineo del differenziale di una funzione regolare(*). F.d.l. esatte. Primitive di
una f.d.l. Condizione necessaria per ché una forma differenziale sia esatta in termini dell’integrale lungo
una curva. Lemma di caratterizzazione degli aperti connessi (*) Caratterizzazione di una forma differenziale
esatta definita in un aperto connesso. Campi conservativi e potenziali. F.d. l. chiuse. Condizione necessaria
perché una f.d.l. regolare sia esatta. Condizioni sul dominio della forma perché una f.d.l. chiusa sia anche
esatta (rettangoli di R n (*), domini stellati (*), aperti semplicemente connessi). Campi conservativi e
irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Condizione necessaria e sufficienza di esistenza.

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I e II

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore,  Napoli.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea FISICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 8.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Per immatricolati nel 2022/2023

Anno accademico di erogazione 2022/2023

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 27/02/2023 al 09/06/2023)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Il corso è il naturale prolungamento del corso di Analisi Matematica I ed ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, studi di serie numeriche, integrazione) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 18 nella prova di esercizi.  La prova  di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta, comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione
d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività
rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di
funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale.
Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema
fondamentale del calcolo integrale (*). Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrali
impropri di prima specie. Criterio di confronto per integrali impropri di prima specie. Criterio d’integrabilità
per integrali impropri di prima specie. Integrali impropri di seconda specie. Criterio di confronto per
integrali impropri di seconda specie. Criterio d’integrabilità per integrali impropri di seconda specie. Esempi
e applicazioni.

Serie numeriche: Serie convergente, divergente e indeterminata. Carattere di una serie. Carattere di una
serie geometrica(*). Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*). Criterio di Cauchy per le
serie(*) con applicazione alla serie armonica. Serie convergente assolutamente. Convergenza assoluta e
convergenza semplice (*). Carattere di una serie a termini positivi (*). Confronto tra serie a termini positivi
(*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio di condensazione di Cauchy (*) con applicazione alla serie
armonica e armonica generalizzata. Confronto asintotico con la serie armonica generalizzata (*) Criterio
della radice (*). Criterio del rapporto (*) Criterio di confronto tra serie e integrali impropri(*). Serie a
termini di segno variabile. Teorema di Leibniz per le serie a segni alterni (*) Serie a termini complessi. Serie
prodotto alla Cauchy. Convergenza della serie prodotto (*). Riordinamento di serie numeriche.
Caratterizzazione della convergenza assoluta in termini dei riordinamenti. Teorema di Riemann.

Cenni di topologia di R n : Prodotto scalare euclideo. Norma euclidea indotta e proprietà. Distanza e
proprietà. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi
aperti e chiusi. Proprietà degli aperti e dei chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Chiusura, parte interna.
Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Successioni a valori vettoriali: Successioni convergenti. Caratterizzazione della convergenza di successioni
vettoriali in termini di quella delle sue componenti reali (*) e unicità del limite. Successioni estratte e
convergenza. Caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme di R^k. Insiemi compatti in R^k. Teorema
di Heine-Borel (*)

Funzioni reali di più variabili reali: Definizione di limite. Proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
caratterizzazione mediante successioni, operazioni). Funzioni continue. Continuità della funzione composta.
Caratterizzazione topologica della continuità. Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Maggioranti
e minoranti per una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di una
funzione limitata. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue
e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di
funzioni di due/tre variabili. Piani, paraboloide ellittico, cilindro parabolico, cilindro

circolare/ellittico/iperbolico, sfera/ellissoide, paraboloide iperbolico (sella), cono circolare/ellittico,
iperboloide ad una falda, a due falde.

Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni
differenziabili (*). Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili (*). Teorema
del differenziale totale (*). Differenziale della funzione composta (*). Funzioni con gradiente nullo in aperti
connessi sono costanti (*). Funzioni di classe C n . Teorema di Schwarz (*). Formula di Taylor del secondo
ordine (*). Polinomio di Taylor.
Forme quadratiche ed estremi relativi: Classificazione delle forme quadratiche con gli autovalori. Estremi
relativi. Massimo e minimo autovalore di forme quadratiche definite positive (*). In un punto di estremo
relativo il gradiente di funzioni differenziabili è nullo (*). Punti critici. Matrice Hessiana. Forma quadratica
Hessiana. In un punto di estremo relativo la forma è Hessiana è semidefinita (*). Classificazione dei punti
critici con la forma Hessiana (*). Classificazione dei punti critici in R 2 .
Funzioni convesse: Caratterizzazione di funzioni convesse regolari (*). Se f è convessa il grafico è al di sopra
dell’iperpiano tangente (*). Punti critici di funzioni convesse regolari sono punti di minimo assoluto (*).
Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. Cambiamenti
di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari piane, coordinate cilindriche, coordinate sferiche in
R 3 .
Curve in R n : Curve, sostegno, estremi della curva, curve chiuse. Confronto tra sostegni di curve e grafici di
funzioni. Curve semplici. Curve di classe C k . Curve regolari e regolari a tratti. Esempi (segmenti, rette,
poligonali, circonferenze, ellissi, elica cilindrica). Curve equivalenti. Versore tangente e retta tangente ad
una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Lunghezza di curve regolari a tratti (*). Lunghezza di
una curva cartesiana. Curve in coordinate polari. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Composizione
di due curve. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali lineari : Forme differenziali lineari. (F.d.l.) F. d.l. di classe C k . F.d.l. e lavoro di un campo
vettoriale. Integrale di una f.d.l. lungo una curva e sue proprietà. Invarianza dell’integrale rispetto a curve
equivalenti (*). Integrale curvilineo del differenziale di una funzione regolare(*). F.d.l. esatte. Primitive di
una f.d.l. Condizione necessaria per ché una forma differenziale sia esatta in termini dell’integrale lungo
una curva. Lemma di caratterizzazione degli aperti connessi (*) Caratterizzazione di una forma differenziale
esatta definita in un aperto connesso. Campi conservativi e potenziali. F.d. l. chiuse. Condizione necessaria
perché una f.d.l. regolare sia esatta. Condizioni sul dominio della forma perché una f.d.l. chiusa sia anche
esatta (rettangoli di R n (*), domini stellati (*), aperti semplicemente connessi). Campi conservativi e
irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Condizione necessaria e sufficienza di esistenza.

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I e II

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore,  Napoli.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I (MOD.A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA BIOMEDICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 108.0

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 20/09/2021 al 17/12/2021)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Il corso richiede le conoscenze previste nei test di ingresso alle Facoltà di Ingegneria e in particolare nozioni elementari di logica, teoria degli insiemi, algebra elementare, geometria euclidea, operazioni con polinomi e radici, i principali concetti di trigonometria, funzioni elementari (polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche) e lo studio di equazioni e disequazioni, in particolare razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.

Cenni di logica e teoria degli insiemi. 

Insiemi numerici.

La retta reale. 

Funzioni reali.

Funzioni elementari. 

Numeri complessi. 

Successioni. 

Limiti. 

Continuità. 

Calcolo differenziale.

Calcolo integrale. 

Strutture algebriche e spazi vettoriali. 

Matrici. 

Applicazioni lineari. 

Autovalori e autovettori. 

Sistemi di equazioni lineari. 

L'obiettivo del corso è quello di fornire una solida preparazione di base sui concetti fondamentali dell'analisi matematica e della geometria e in particolare per i capitoli che riguardano lo studio delle funzioni reali, i loro limiti, il calcolo differenziale, le strutture algebriche e l'algebra delle matrici. Le basi fornite sono finalizzate sia ai corsi successivi di matematica che ai corsi di ingegneria. Rispetto a tali conoscenze lo studente deve acquisirein particolare:

Knowledge and understanding. dovrà conoscere le definizioni e risultati fondamentali dell'analisi matematica in una variabile, della geometria e dell'algebra lineare ed essere in grado di comprendere come questi possono essere utilizzati nella risoluzione di problemi

Applying knowledge and understanding. dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.

Making judgements. dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti o fornitigli.

Communication. dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.

Learning skills. Lo studente dovrà essere in grado di impostare matematicamente e risolvere problemi riconducibili a conoscenze relative ai contenuti del corso.

Da definire

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale e tali prove si svolgono in giorni distinti e prefissati; le date sono disponibili nel calendario degli esami del proprio Corso di Studi. La prova orale viene sostenuta solo dopo aver superato la prova scritta. Per accedere ad entrambe le prove bisogna prenotarsi sull’apposito portale degli studenti. Non è possibile sostenere la prova scritta se è stato assegnato un debito formativo in Analisi Matematica o in Geometria e questi non sono stati ancora superati.

Prova scritta – Consiste nello svolgimento di esercizi relativi ai contenuti del corso.

Prova orale – Riguarda contenuti di carattere teorico (definizioni, teoremi e proprietà svolte a lezione); il contenuto è precisato dal programma del corso disponibile nella Scheda del corso (nell’elenco dei documenti disponibili nella sezione Corsi). Vengono richiesti solo gli argomenti effettivamente trattati a lezione (comprese le dimostrazioni svolte).

Gli argomenti contrassegnati con * indicano che per essi è stata fornita una dimostrazione durante le lezioni che può essere oggetto di verifica durante la prova orale.

Cenni di logica e teoria degli insiemi. Proposizioni ed enunciati. Connettivi logici. Quantificatori. Insiemi, sottoinsiemi, intersezione, unione, complementare e differenza. Prodotto cartesiano.

Insiemi numerici. L’insieme dei numeri naturali. Principio di induzione completa e applicazioni (fattoriale e coefficienti binomiali, formula di Newton(*)). L'insieme dei numeri interi. L'insieme dei numeri razionali. Non completezza dell'insieme dei numeri razionali. L'insieme dei numeri reali: descrizione assiomatica. Proprietà di completezza e conseguenze. Esistenza della radice n-esima.

La retta reale. Intervalli limitati, non limitati e centrati. Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Massimo e minimo di un sottoinsieme. Estremi inferiore e superiore. Caratterizzazione di sup e inf(*) Valore assoluto e proprietà (*)

Funzioni reali. Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzioni composte. Funzioni inverse. Equivalenza tra funzioni invertibili e biiettive. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni limitate superiormente e inferiormente. Massimi e minimi relativi ed assoluti. Estremi di una funzione. Funzioni monotone e proprietà.  Funzioni pari, dispari, periodiche.

Funzioni elementari. Definizioni e grafici e funzioni inverse. Operazioni con i grafici.

Numeri complessi. Forma algebrica e operazioni. Modulo e coniugato. Coordinate polari. Forma trigonometrica ed operazioni in forma trigonometrica. Forma di De Moivre. Forma esponenziale. Funzioni eponenziali, logaritmo, potenza, trigonometriche in C. Polinomi in C. Radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra e corollari(*).

Successioni. Successioni reali. Unicità del limite(*)Limitatezza delle successioni convergenti.(*). Limite di successioni e relazioni d’ordine(*) Teorema del confronto(*)Teorema sul limite delle successioni monotone(*)  Esistenza di estratte regolari e di estratte convergenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e criterio di convergenza di Cauchy. Limiti notevoli di successioni. Confronto tra infiniti. Successione geometrica(*). Teorema di Cesaro. Successione di Nepero(*)

Limiti. Punto di accumulazione e punto isolato. Definizione di limite. Teorema di caratterizzazione del limite mediante successioni(*).Unicità(*) e prime proprietà. Limiti destri e sinistri e proprietà. Teoremi di confronto per i limiti. Operazioni sui limiti: limite della somma, del prodotto, della reciproca e del quoziente. Limite delle funzioni composte. Limiti delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate. Limiti notevoli(*). Infinitesimi ed infiniti e regola di sostituzione.

Continuità. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Proprietà locali delle funzioni continue. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità eliminabili, di prima e di seconda specie. Teorema di Weierstrass(*). Teorema di esistenza degli zeri(*). Teorema dei valori intermedi (*)  Applicazioni alla risoluzione di equazioni. Uniforme continuità e teorema di Heine Cantor. Funzioni lipschitziane e relazioni con la uniforme continuità e la continuità.

Calcolo differenziale.Funzioni dotate di derivata e funzioni derivabili. Derivate sinistre e destre. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Punti di non derivabilità. Continuità delle funzioni derivabili(*). Regole di derivazione(*) e derivate delle funzioni elementari. Studio della derivabilità di una funzione reale. Estremi relativi. Teorema di Fermat(*) Teorema di Rolle(*), Cauchy(*) e Lagrange(*) e conseguenze.  Teorema di monotonia(*) Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Caratterizzazione della convessità(*): condizione necessaria perché un punto sia di flesso. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio del grafico di una funzione reale. Teorema di De L'Hopital(*) e applicazioni. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano(*). Condizioni sufficienti di estremalità(*) Applicazioni al calcolo dei limiti.

Calcolo integrale. Primitiva di una funzione. Funzioni integrabili secondo Riemann. Funzione di Dirichlet. Caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone e continue(*). Proprietà degli integrali. Interpretazione geometrica dell'integrale. Teorema della media integrale(*). Primitive di una funzione e proprietà. Integrale indefinito. Integrale definito e funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*) Metodi di integrazione. Integrali impropri. Esempio modello. Criteri di confronto e integrabilità.

Strutture algebriche e spazi vettoriali. Gruppi. Campi. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi. Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali. Somma e somma diretta di sottospazi, intersezione di sottospazi. Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza, insieme di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Basi di spazi vettoriali. Caratterizzazione di una base.  Metodo degli scarti successivi(*) Completamento ad una base. Esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale (*). Calcolo della dimensione di uno spazio vettoriale mediante il rango di una matrice Formula di Grassmann(*).

Matrici. Definizione, classi particolari di matrici. Operazioni tra matrici e proprietà. Matrici invertibili. Teorema della matrice inversa. Matrici ortogonali. Definizione di determinante e proprietà. Teorema di Laplace. Definizione di rango di una matrice. Calcolo del determinante e del rango mediante l’algoritmo di Gauss. Criterio dei minori orlati.

Applicazioni lineari. Definizioni, esempi e controesempi. Applicazioni lineari che associano ai vettori di una base dei vettori fissati(*). Nucleo e immagine.  Caratterizzazione di funzioni iniettive(*). Relazione fondamentale(*). Isomorfismi. Caratterizzazione di spazi isomorfi(*) Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. Cambiamento di base e matrici simili.

Autovalori e autovettori. Endomorfismi semplici. Matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico di un endomorfismo o di una matrice. Autovalori e autovettori di una matrice o di un endomorfismo. Caratterizzazione degli autovalori di una matrice(*) e di un endomorfismo(*). Matrici simili e loro caratterizzazione(*). Autospazi, molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criterio di semplicità. Teorema spettrale.

Sistemi di equazioni lineari. Definizione, matrice associata. Soluzioni (esistenza, numero e calcolo). Teorema di Rouché-Capelli(*). Dimensione dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Metodo di Cramer. Algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA I (MOD.A/B) (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 21/02/2022 al 03/06/2022)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Il corso è il naturale prolungamento del corso di Analisi Matematica I ed ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, studi di serie numeriche, integrazione) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 18 nella prova di esercizi.  La prova  di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta, comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione
d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività
rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di
funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale.
Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema
fondamentale del calcolo integrale (*). Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrali
impropri di prima specie. Criterio di confronto per integrali impropri di prima specie. Criterio d’integrabilità
per integrali impropri di prima specie. Integrali impropri di seconda specie. Criterio di confronto per
integrali impropri di seconda specie. Criterio d’integrabilità per integrali impropri di seconda specie. Esempi
e applicazioni.

Serie numeriche: Serie convergente, divergente e indeterminata. Carattere di una serie. Carattere di una
serie geometrica(*). Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*). Criterio di Cauchy per le
serie(*) con applicazione alla serie armonica. Serie convergente assolutamente. Convergenza assoluta e
convergenza semplice (*). Carattere di una serie a termini positivi (*). Confronto tra serie a termini positivi
(*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio di condensazione di Cauchy (*) con applicazione alla serie
armonica e armonica generalizzata. Confronto asintotico con la serie armonica generalizzata (*) Criterio
della radice (*). Criterio del rapporto (*) Criterio di confronto tra serie e integrali impropri(*). Serie a
termini di segno variabile. Teorema di Leibniz per le serie a segni alterni (*) Serie a termini complessi. Serie
prodotto alla Cauchy. Convergenza della serie prodotto (*). Riordinamento di serie numeriche.
Caratterizzazione della convergenza assoluta in termini dei riordinamenti. Teorema di Riemann.

Cenni di topologia di R n : Prodotto scalare euclideo. Norma euclidea indotta e proprietà. Distanza e
proprietà. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi
aperti e chiusi. Proprietà degli aperti e dei chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Chiusura, parte interna.
Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Successioni a valori vettoriali: Successioni convergenti. Caratterizzazione della convergenza di successioni
vettoriali in termini di quella delle sue componenti reali (*) e unicità del limite. Successioni estratte e
convergenza. Caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme di R^k. Insiemi compatti in R^k. Teorema
di Heine-Borel (*)

Funzioni reali di più variabili reali: Definizione di limite. Proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
caratterizzazione mediante successioni, operazioni). Funzioni continue. Continuità della funzione composta.
Caratterizzazione topologica della continuità. Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Maggioranti
e minoranti per una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di una
funzione limitata. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue
e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di
funzioni di due/tre variabili. Piani, paraboloide ellittico, cilindro parabolico, cilindro

circolare/ellittico/iperbolico, sfera/ellissoide, paraboloide iperbolico (sella), cono circolare/ellittico,
iperboloide ad una falda, a due falde.

Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni
differenziabili (*). Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili (*). Teorema
del differenziale totale (*). Differenziale della funzione composta (*). Funzioni con gradiente nullo in aperti
connessi sono costanti (*). Funzioni di classe C n . Teorema di Schwarz (*). Formula di Taylor del secondo
ordine (*). Polinomio di Taylor.
Forme quadratiche ed estremi relativi: Classificazione delle forme quadratiche con gli autovalori. Estremi
relativi. Massimo e minimo autovalore di forme quadratiche definite positive (*). In un punto di estremo
relativo il gradiente di funzioni differenziabili è nullo (*). Punti critici. Matrice Hessiana. Forma quadratica
Hessiana. In un punto di estremo relativo la forma è Hessiana è semidefinita (*). Classificazione dei punti
critici con la forma Hessiana (*). Classificazione dei punti critici in R 2 .
Funzioni convesse: Caratterizzazione di funzioni convesse regolari (*). Se f è convessa il grafico è al di sopra
dell’iperpiano tangente (*). Punti critici di funzioni convesse regolari sono punti di minimo assoluto (*).
Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. Cambiamenti
di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari piane, coordinate cilindriche, coordinate sferiche in
R 3 .
Curve in R n : Curve, sostegno, estremi della curva, curve chiuse. Confronto tra sostegni di curve e grafici di
funzioni. Curve semplici. Curve di classe C k . Curve regolari e regolari a tratti. Esempi (segmenti, rette,
poligonali, circonferenze, ellissi, elica cilindrica). Curve equivalenti. Versore tangente e retta tangente ad
una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Lunghezza di curve regolari a tratti (*). Lunghezza di
una curva cartesiana. Curve in coordinate polari. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Composizione
di due curve. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali lineari : Forme differenziali lineari. (F.d.l.) F. d.l. di classe C k . F.d.l. e lavoro di un campo
vettoriale. Integrale di una f.d.l. lungo una curva e sue proprietà. Invarianza dell’integrale rispetto a curve
equivalenti (*). Integrale curvilineo del differenziale di una funzione regolare(*). F.d.l. esatte. Primitive di
una f.d.l. Condizione necessaria per ché una forma differenziale sia esatta in termini dell’integrale lungo
una curva. Lemma di caratterizzazione degli aperti connessi (*) Caratterizzazione di una forma differenziale
esatta definita in un aperto connesso. Campi conservativi e potenziali. F.d. l. chiuse. Condizione necessaria
perché una f.d.l. regolare sia esatta. Condizioni sul dominio della forma perché una f.d.l. chiusa sia anche
esatta (rettangoli di R n (*), domini stellati (*), aperti semplicemente connessi). Campi conservativi e
irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Condizione necessaria e sufficienza di esistenza.

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I e II

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore,  Napoli.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea FISICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 8.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 21/02/2022 al 03/06/2022)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Il corso è il naturale prolungamento del corso di Analisi Matematica I ed ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, studi di serie numeriche, integrazione) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 18 nella prova di esercizi.  La prova  di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta, comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione
d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività
rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di
funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale.
Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema
fondamentale del calcolo integrale (*). Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrali
impropri di prima specie. Criterio di confronto per integrali impropri di prima specie. Criterio d’integrabilità
per integrali impropri di prima specie. Integrali impropri di seconda specie. Criterio di confronto per
integrali impropri di seconda specie. Criterio d’integrabilità per integrali impropri di seconda specie. Esempi
e applicazioni.

Serie numeriche: Serie convergente, divergente e indeterminata. Carattere di una serie. Carattere di una
serie geometrica(*). Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*). Criterio di Cauchy per le
serie(*) con applicazione alla serie armonica. Serie convergente assolutamente. Convergenza assoluta e
convergenza semplice (*). Carattere di una serie a termini positivi (*). Confronto tra serie a termini positivi
(*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio di condensazione di Cauchy (*) con applicazione alla serie
armonica e armonica generalizzata. Confronto asintotico con la serie armonica generalizzata (*) Criterio
della radice (*). Criterio del rapporto (*) Criterio di confronto tra serie e integrali impropri(*). Serie a
termini di segno variabile. Teorema di Leibniz per le serie a segni alterni (*) Serie a termini complessi. Serie
prodotto alla Cauchy. Convergenza della serie prodotto (*). Riordinamento di serie numeriche.
Caratterizzazione della convergenza assoluta in termini dei riordinamenti. Teorema di Riemann.

Cenni di topologia di R n : Prodotto scalare euclideo. Norma euclidea indotta e proprietà. Distanza e
proprietà. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi
aperti e chiusi. Proprietà degli aperti e dei chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Chiusura, parte interna.
Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Successioni a valori vettoriali: Successioni convergenti. Caratterizzazione della convergenza di successioni
vettoriali in termini di quella delle sue componenti reali (*) e unicità del limite. Successioni estratte e
convergenza. Caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme di R^k. Insiemi compatti in R^k. Teorema
di Heine-Borel (*)

Funzioni reali di più variabili reali: Definizione di limite. Proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
caratterizzazione mediante successioni, operazioni). Funzioni continue. Continuità della funzione composta.
Caratterizzazione topologica della continuità. Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Maggioranti
e minoranti per una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di una
funzione limitata. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue
e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di
funzioni di due/tre variabili. Piani, paraboloide ellittico, cilindro parabolico, cilindro

circolare/ellittico/iperbolico, sfera/ellissoide, paraboloide iperbolico (sella), cono circolare/ellittico,
iperboloide ad una falda, a due falde.

Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni
differenziabili (*). Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili (*). Teorema
del differenziale totale (*). Differenziale della funzione composta (*). Funzioni con gradiente nullo in aperti
connessi sono costanti (*). Funzioni di classe C n . Teorema di Schwarz (*). Formula di Taylor del secondo
ordine (*). Polinomio di Taylor.
Forme quadratiche ed estremi relativi: Classificazione delle forme quadratiche con gli autovalori. Estremi
relativi. Massimo e minimo autovalore di forme quadratiche definite positive (*). In un punto di estremo
relativo il gradiente di funzioni differenziabili è nullo (*). Punti critici. Matrice Hessiana. Forma quadratica
Hessiana. In un punto di estremo relativo la forma è Hessiana è semidefinita (*). Classificazione dei punti
critici con la forma Hessiana (*). Classificazione dei punti critici in R 2 .
Funzioni convesse: Caratterizzazione di funzioni convesse regolari (*). Se f è convessa il grafico è al di sopra
dell’iperpiano tangente (*). Punti critici di funzioni convesse regolari sono punti di minimo assoluto (*).
Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. Cambiamenti
di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari piane, coordinate cilindriche, coordinate sferiche in
R 3 .
Curve in R n : Curve, sostegno, estremi della curva, curve chiuse. Confronto tra sostegni di curve e grafici di
funzioni. Curve semplici. Curve di classe C k . Curve regolari e regolari a tratti. Esempi (segmenti, rette,
poligonali, circonferenze, ellissi, elica cilindrica). Curve equivalenti. Versore tangente e retta tangente ad
una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Lunghezza di curve regolari a tratti (*). Lunghezza di
una curva cartesiana. Curve in coordinate polari. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Composizione
di due curve. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali lineari : Forme differenziali lineari. (F.d.l.) F. d.l. di classe C k . F.d.l. e lavoro di un campo
vettoriale. Integrale di una f.d.l. lungo una curva e sue proprietà. Invarianza dell’integrale rispetto a curve
equivalenti (*). Integrale curvilineo del differenziale di una funzione regolare(*). F.d.l. esatte. Primitive di
una f.d.l. Condizione necessaria per ché una forma differenziale sia esatta in termini dell’integrale lungo
una curva. Lemma di caratterizzazione degli aperti connessi (*) Caratterizzazione di una forma differenziale
esatta definita in un aperto connesso. Campi conservativi e potenziali. F.d. l. chiuse. Condizione necessaria
perché una f.d.l. regolare sia esatta. Condizioni sul dominio della forma perché una f.d.l. chiusa sia anche
esatta (rettangoli di R n (*), domini stellati (*), aperti semplicemente connessi). Campi conservativi e
irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Condizione necessaria e sufficienza di esistenza.

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I e II

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore,  Napoli.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea FISICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 8.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 22/02/2021 al 04/06/2021)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Il corso è il naturale prolungamento del corso di Analisi Matematica I ed ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, studi di serie numeriche, integrazione) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 18 nella prova di esercizi.  La prova  di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta, comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione
d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività
rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di
funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale.
Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema
fondamentale del calcolo integrale (*). Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrali
impropri di prima specie. Criterio di confronto per integrali impropri di prima specie. Criterio d’integrabilità
per integrali impropri di prima specie. Integrali impropri di seconda specie. Criterio di confronto per
integrali impropri di seconda specie. Criterio d’integrabilità per integrali impropri di seconda specie. Esempi
e applicazioni.

Serie numeriche: Serie convergente, divergente e indeterminata. Carattere di una serie. Carattere di una
serie geometrica(*). Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*). Criterio di Cauchy per le
serie(*) con applicazione alla serie armonica. Serie convergente assolutamente. Convergenza assoluta e
convergenza semplice (*). Carattere di una serie a termini positivi (*). Confronto tra serie a termini positivi
(*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio di condensazione di Cauchy (*) con applicazione alla serie
armonica e armonica generalizzata. Confronto asintotico con la serie armonica generalizzata (*) Criterio
della radice (*). Criterio del rapporto (*) Criterio di confronto tra serie e integrali impropri(*). Serie a
termini di segno variabile. Teorema di Leibniz per le serie a segni alterni (*) Serie a termini complessi. Serie
prodotto alla Cauchy. Convergenza della serie prodotto (*). Riordinamento di serie numeriche.
Caratterizzazione della convergenza assoluta in termini dei riordinamenti. Teorema di Riemann.

Cenni di topologia di R n : Prodotto scalare euclideo. Norma euclidea indotta e proprietà. Distanza e
proprietà. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi
aperti e chiusi. Proprietà degli aperti e dei chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Chiusura, parte interna.
Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Successioni a valori vettoriali: Successioni convergenti. Caratterizzazione della convergenza di successioni
vettoriali in termini di quella delle sue componenti reali (*) e unicità del limite. Successioni estratte e
convergenza. Caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme di R^k. Insiemi compatti in R^k. Teorema
di Heine-Borel (*)

Funzioni reali di più variabili reali: Definizione di limite. Proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
caratterizzazione mediante successioni, operazioni). Funzioni continue. Continuità della funzione composta.
Caratterizzazione topologica della continuità. Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Maggioranti
e minoranti per una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di una
funzione limitata. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue
e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di
funzioni di due/tre variabili. Piani, paraboloide ellittico, cilindro parabolico, cilindro

circolare/ellittico/iperbolico, sfera/ellissoide, paraboloide iperbolico (sella), cono circolare/ellittico,
iperboloide ad una falda, a due falde.

Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni
differenziabili (*). Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili (*). Teorema
del differenziale totale (*). Differenziale della funzione composta (*). Funzioni con gradiente nullo in aperti
connessi sono costanti (*). Funzioni di classe C n . Teorema di Schwarz (*). Formula di Taylor del secondo
ordine (*). Polinomio di Taylor.
Forme quadratiche ed estremi relativi: Classificazione delle forme quadratiche con gli autovalori. Estremi
relativi. Massimo e minimo autovalore di forme quadratiche definite positive (*). In un punto di estremo
relativo il gradiente di funzioni differenziabili è nullo (*). Punti critici. Matrice Hessiana. Forma quadratica
Hessiana. In un punto di estremo relativo la forma è Hessiana è semidefinita (*). Classificazione dei punti
critici con la forma Hessiana (*). Classificazione dei punti critici in R 2 .
Funzioni convesse: Caratterizzazione di funzioni convesse regolari (*). Se f è convessa il grafico è al di sopra
dell’iperpiano tangente (*). Punti critici di funzioni convesse regolari sono punti di minimo assoluto (*).
Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. Cambiamenti
di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari piane, coordinate cilindriche, coordinate sferiche in
R 3 .
Curve in R n : Curve, sostegno, estremi della curva, curve chiuse. Confronto tra sostegni di curve e grafici di
funzioni. Curve semplici. Curve di classe C k . Curve regolari e regolari a tratti. Esempi (segmenti, rette,
poligonali, circonferenze, ellissi, elica cilindrica). Curve equivalenti. Versore tangente e retta tangente ad
una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Lunghezza di curve regolari a tratti (*). Lunghezza di
una curva cartesiana. Curve in coordinate polari. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Composizione
di due curve. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali lineari : Forme differenziali lineari. (F.d.l.) F. d.l. di classe C k . F.d.l. e lavoro di un campo
vettoriale. Integrale di una f.d.l. lungo una curva e sue proprietà. Invarianza dell’integrale rispetto a curve
equivalenti (*). Integrale curvilineo del differenziale di una funzione regolare(*). F.d.l. esatte. Primitive di
una f.d.l. Condizione necessaria per ché una forma differenziale sia esatta in termini dell’integrale lungo
una curva. Lemma di caratterizzazione degli aperti connessi (*) Caratterizzazione di una forma differenziale
esatta definita in un aperto connesso. Campi conservativi e potenziali. F.d. l. chiuse. Condizione necessaria
perché una f.d.l. regolare sia esatta. Condizioni sul dominio della forma perché una f.d.l. chiusa sia anche
esatta (rettangoli di R n (*), domini stellati (*), aperti semplicemente connessi). Campi conservativi e
irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Condizione necessaria e sufficienza di esistenza.

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I e II

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore,  Napoli.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Docente titolare CHIARA SPINA

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 28.0

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 22/02/2021 al 04/06/2021)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Il corso è il naturale prolungamento del corso di Analisi Matematica I ed ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, studi di serie numeriche, integrazione) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 18 nella prova di esercizi.  La prova  di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta, comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione
d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività
rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di
funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale.
Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema
fondamentale del calcolo integrale (*). Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrali
impropri di prima specie. Criterio di confronto per integrali impropri di prima specie. Criterio d’integrabilità
per integrali impropri di prima specie. Integrali impropri di seconda specie. Criterio di confronto per
integrali impropri di seconda specie. Criterio d’integrabilità per integrali impropri di seconda specie. Esempi
e applicazioni.

Serie numeriche: Serie convergente, divergente e indeterminata. Carattere di una serie. Carattere di una
serie geometrica(*). Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*). Criterio di Cauchy per le
serie(*) con applicazione alla serie armonica. Serie convergente assolutamente. Convergenza assoluta e
convergenza semplice (*). Carattere di una serie a termini positivi (*). Confronto tra serie a termini positivi
(*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio di condensazione di Cauchy (*) con applicazione alla serie
armonica e armonica generalizzata. Confronto asintotico con la serie armonica generalizzata (*) Criterio
della radice (*). Criterio del rapporto (*) Criterio di confronto tra serie e integrali impropri(*). Serie a
termini di segno variabile. Teorema di Leibniz per le serie a segni alterni (*) Serie a termini complessi. Serie
prodotto alla Cauchy. Convergenza della serie prodotto (*). Riordinamento di serie numeriche.
Caratterizzazione della convergenza assoluta in termini dei riordinamenti. Teorema di Riemann.

Cenni di topologia di R n : Prodotto scalare euclideo. Norma euclidea indotta e proprietà. Distanza e
proprietà. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi
aperti e chiusi. Proprietà degli aperti e dei chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Chiusura, parte interna.
Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Successioni a valori vettoriali: Successioni convergenti. Caratterizzazione della convergenza di successioni
vettoriali in termini di quella delle sue componenti reali (*) e unicità del limite. Successioni estratte e
convergenza. Caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme di R^k. Insiemi compatti in R^k. Teorema
di Heine-Borel (*)

Funzioni reali di più variabili reali: Definizione di limite. Proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
caratterizzazione mediante successioni, operazioni). Funzioni continue. Continuità della funzione composta.
Caratterizzazione topologica della continuità. Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Maggioranti
e minoranti per una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di una
funzione limitata. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue
e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di
funzioni di due/tre variabili. Piani, paraboloide ellittico, cilindro parabolico, cilindro

circolare/ellittico/iperbolico, sfera/ellissoide, paraboloide iperbolico (sella), cono circolare/ellittico,
iperboloide ad una falda, a due falde.

Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni
differenziabili (*). Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili (*). Teorema
del differenziale totale (*). Differenziale della funzione composta (*). Funzioni con gradiente nullo in aperti
connessi sono costanti (*). Funzioni di classe C n . Teorema di Schwarz (*). Formula di Taylor del secondo
ordine (*). Polinomio di Taylor.
Forme quadratiche ed estremi relativi: Classificazione delle forme quadratiche con gli autovalori. Estremi
relativi. Massimo e minimo autovalore di forme quadratiche definite positive (*). In un punto di estremo
relativo il gradiente di funzioni differenziabili è nullo (*). Punti critici. Matrice Hessiana. Forma quadratica
Hessiana. In un punto di estremo relativo la forma è Hessiana è semidefinita (*). Classificazione dei punti
critici con la forma Hessiana (*). Classificazione dei punti critici in R 2 .
Funzioni convesse: Caratterizzazione di funzioni convesse regolari (*). Se f è convessa il grafico è al di sopra
dell’iperpiano tangente (*). Punti critici di funzioni convesse regolari sono punti di minimo assoluto (*).
Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. Cambiamenti
di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari piane, coordinate cilindriche, coordinate sferiche in
R 3 .
Curve in R n : Curve, sostegno, estremi della curva, curve chiuse. Confronto tra sostegni di curve e grafici di
funzioni. Curve semplici. Curve di classe C k . Curve regolari e regolari a tratti. Esempi (segmenti, rette,
poligonali, circonferenze, ellissi, elica cilindrica). Curve equivalenti. Versore tangente e retta tangente ad
una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Lunghezza di curve regolari a tratti (*). Lunghezza di
una curva cartesiana. Curve in coordinate polari. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Composizione
di due curve. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali lineari : Forme differenziali lineari. (F.d.l.) F. d.l. di classe C k . F.d.l. e lavoro di un campo
vettoriale. Integrale di una f.d.l. lungo una curva e sue proprietà. Invarianza dell’integrale rispetto a curve
equivalenti (*). Integrale curvilineo del differenziale di una funzione regolare(*). F.d.l. esatte. Primitive di
una f.d.l. Condizione necessaria per ché una forma differenziale sia esatta in termini dell’integrale lungo
una curva. Lemma di caratterizzazione degli aperti connessi (*) Caratterizzazione di una forma differenziale
esatta definita in un aperto connesso. Campi conservativi e potenziali. F.d. l. chiuse. Condizione necessaria
perché una f.d.l. regolare sia esatta. Condizioni sul dominio della forma perché una f.d.l. chiusa sia anche
esatta (rettangoli di R n (*), domini stellati (*), aperti semplicemente connessi). Campi conservativi e
irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Condizione necessaria e sufficienza di esistenza.

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I e II

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore,  Napoli.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA III

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Docente titolare Giorgio Gustavo Ermanno METAFUNE

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 63.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 21.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 21/09/2020 al 18/12/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuti dei corsi di Analisi I e II

Serie e successioni di funzioni, serie di Fourier, Equazioni differenziali ordinarie, Integrali multipli. Invertibilità locale, funzioni implicite. Superficie, integrali di superficie, massimi e minimi vincolati, teorema della divergenza, Stokes, Gauss-Green.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo analitico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:  essere in grado di produrre  dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi,  essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione,  essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali

Prova scritta e prova orale. La prova scritta consiste nella soluzioni di alcuni esercizi sugli argomenti del corso ed e’ propedeutica a quella orale. La prova orale serve a verificare l’apprendimento dei concetti fondamentali, dei risultati principali, delle tecniche dimostrative nonché della capacità di esporre in modo chiaro gli argomenti del corso

Serie e successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme, continuità del limite. Derivazione ed integrazione termine a termine. Somma per parti e formula di Abel. Serie di potenze e raggio di convergnenza. Serie di Taylor e sviluppi in serie notevoli. Continuità sino al bordo. Serie trigonometriche, serie di Fourier, convergenza puntuale ed uniforme.

Equazioni differenziali ordinarie: teorema di esisteza e unicità, Lemma di Gronwall. Metodi di soluzione per equazioni del primo ordine. Soluzioni massimali e criteri di prolungabilità. Studio qualitativo per equazioni del primo ordine. Soprasoluzioni, sottosuzioni e metodi di confronto. Equazioni e sistemi lineari, wronskiano. Metodi di soluzione per alcune equazioni del secondo ordine.

Integrali multipli: misurabilità secondo Peano-Jordan e integrale di Riemann. Domini normali, formule di riduzione. Cambiamento di variabili. Integrali dipendenti da parametri.

Invertibilità locale e funzioni implicite.

Superficie, integrali di superficie, massimi e minimi vincolati.

Analisi vettoriale:Torema della divergenza, Stokes, formule di Gauss-Green.

Series and sequences of functions: pointwise  and uniform convergence, continuity of the limit. Term by term differentiation and integration. Summation byr parts and Abel’s formula. Power series and radius of convergence. Taylor series . Continuity up to the boundary. Trigonometric series, Fourier series, pointwise and uniform convergence.

 

Ordinary differential equations: existence and uniqueness theorem, Gronwall’s Lemma. Solution methods for first-order equations. Maximal solutions and prolongability criteria. Qualitative study of first order equations. Sub and super solutions,  comparison methods. Linear  equations and  systems. The  wronskian. Solution methods for some second-order equations.

 

Multiple integrals: Peano-Jordan measurability and Riemann integral. Normal domains, reduction formulas. Change of variables in multiple integrals. Integrals depending on parameters.

 

Local invertibility and implicit function theorems.

 

Surface, surface integrals, constrained maxima and minima.

 

Vector analysis:  Divergence and Stokes theorems, Gauss-Green formulas.

J. P. Cecconi-G. Stampacchia,  Analisi Matematica vol II

E. Giusti: Analisi II

Dispense di esercizi

ANALISI MATEMATICA III (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA III

Corso di laurea FISICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 8.0

Docente titolare Giorgio Gustavo Ermanno METAFUNE

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 64.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 21.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 21/09/2020 al 18/12/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Contenuti dei corsi di Analisi I e II

Serie e successioni di funzioni, serie di Fourier, Equazioni differenziali ordinarie, Integrali multipli. Invertibilità locale, funzioni implicite. Superficie, integrali di superficie, massimi e minimi vincolati, teorema della divergenza, Stokes, Gauss-Green.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo analitico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:  essere in grado di produrre  dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi,  essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione,  essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali

Prova scritta e prova orale. La prova scritta consiste nella soluzioni di alcuni esercizi sugli argomenti del corso ed e’ propedeutica a quella orale. La prova orale serve a verificare l’apprendimento dei concetti fondamentali, dei risultati principali, delle tecniche dimostrative nonché della capacità di esporre in modo chiaro gli argomenti del corso

Serie e successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme, continuità del limite. Derivazione ed integrazione termine a termine. Somma per parti e formula di Abel. Serie di potenze e raggio di convergnenza. Serie di Taylor e sviluppi in serie notevoli. Continuità sino al bordo. Serie trigonometriche, serie di Fourier, convergenza puntuale ed uniforme.

Equazioni differenziali ordinarie: teorema di esisteza e unicità, Lemma di Gronwall. Metodi di soluzione per equazioni del primo ordine. Soluzioni massimali e criteri di prolungabilità. Studio qualitativo per equazioni del primo ordine. Soprasoluzioni, sottosuzioni e metodi di confronto. Equazioni e sistemi lineari, wronskiano. Metodi di soluzione per alcune equazioni del secondo ordine.

Integrali multipli: misurabilità secondo Peano-Jordan e integrale di Riemann. Domini normali, formule di riduzione. Cambiamento di variabili. Integrali dipendenti da parametri.

Invertibilità locale e funzioni implicite.

Superficie, integrali di superficie, massimi e minimi vincolati.

Analisi vettoriale:Torema della divergenza, Stokes, formule di Gauss-Green.

Series and sequences of functions: pointwise  and uniform convergence, continuity of the limit. Term by term differentiation and integration. Summation byr parts and Abel’s formula. Power series and radius of convergence. Taylor series . Continuity up to the boundary. Trigonometric series, Fourier series, pointwise and uniform convergence.

 

Ordinary differential equations: existence and uniqueness theorem, Gronwall’s Lemma. Solution methods for first-order equations. Maximal solutions and prolongability criteria. Qualitative study of first order equations. Sub and super solutions,  comparison methods. Linear  equations and  systems. The  wronskian. Solution methods for some second-order equations.

 

Multiple integrals: Peano-Jordan measurability and Riemann integral. Normal domains, reduction formulas. Change of variables in multiple integrals. Integrals depending on parameters.

 

Local invertibility and implicit function theorems.

 

Surface, surface integrals, constrained maxima and minima.

 

Vector analysis:  Divergence and Stokes theorems, Gauss-Green formulas.

J. P. Cecconi-G. Stampacchia,  Analisi Matematica vol II

E. Giusti: Analisi II

Dispense di esercizi

ANALISI MATEMATICA III (MAT/05)
MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 58.0

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 05/10/2020 al 22/01/2021)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

Sono richieste le conoscenze di base della matematica vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Funzioni reali di variabile reale. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Matrici e sistemi lineari.

PROBABILITA' E STATISTICA: Probabilità discreta. Probabilità continua (cenni relativi alla distribuzione normale). La verifica delle ipotesi. Il test t per un campione: stima per la media e intervalli di confidenza. Regressione lineare

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere sistemi lineari anche in presenza di un parametro.

Gli studenti dovranno saper impostare e risolvere semplici problemi di probabilità e acquisire alcune tecniche di analisi per uno studio statistico.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi, e una seconda orale (anch'essa in forma scritta) mirata a valutare le conoscenze teoriche sulla base dello svolgimento di un tema tra quelli indicati in un elenco di domande disponibili nella sezione materiale didattico. Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove. La prova scritta ha validità pari all'intera sessione in cui si è superata la prova scritta.

MATEMATICA

Numeri reali e funzioni reali di variabile reale: Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite, limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri; limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari. Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle, Cauchy , Lagrange. Monotonia e derivabilità. Teorema di de l'Hopital. Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni.  Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito. Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. 

Matrici e sistemi lineari. Operazioni con le matrici: somma, prodotto per uno scalare e prodotto riga per colonna. Determinante di una matrice quadrata mediante lo sviluppo di Laplace: definizioni e proprietà. Rango di una matrice. Matrici invertibili e calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari: teorema di Rouchè- Capelli, teorema di Cramer.

PROBABILITA' E STATISTICA

Definizione di statistica; popolazioni e campioni; campione casuale e campione di convenienza. Tipi di dati e variabili. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità. Tipi di studi. La media campionaria; la varianza e la deviazione standard. Calcolo della media e della deviazione standard a partire da una tabella di frequenza. Calcolo di una proporzione. La probabilità di un evento. I diagrammi di Venn. Eventi incompatibili. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Somma di probabilità. Teorema della somma delle probabilità. La regola del prodotto. Indipendenza di più di due eventi. Alberi di probabilità. Eventi dipendenti. La probabilità condizionata. Teorema delle probabilità totali. Teorema di Bayes. verifica delle ipotesi:Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. La statistica test. La distribuzione nulla. Il P-value. La significatività statistica. Gli errori nella verifica delle ipotesi: errori di tipo I e di tipo II. I test unilaterali. Verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. La distribuzione binomiale. Il test binomiale. Le curve a campana e la distribuzione normale. La formula e le proprietà della distribuzione normale. La distribuzione normale standardizzata e le tavole statistiche. Il teorema del limite centrale. Approssimazione normale per la distribuzione binomiale. La distribuzione t di Student. L'intervallo di confidenza della media di una distribuzione normale. Il test t per un campione. Le assunzioni del test t per un campione. Il coefficiente di correlazione lineare. La regressione lineare. Gli intervalli di confidenza delle previsioni. L'estrapolazione. Verosimiglianza e la massima verosimiglianza

 

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e il testo

M. C. Whitlock e D. Schluter, “Analisi statistica dei dati biologici”, Zanichelli, 2009 per la parte di statistica

Altri testi di riferimento sono i seguenti

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

MATEMATICA E STATISTICA (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Docente titolare Giorgio Gustavo Ermanno METAFUNE

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 108.0

  Ore erogate dal docente LUCIANA ANGIULI: 36.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 23/09/2019 al 20/12/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Gli argomenti del Corso di Analisi Matematica e Geometria I

Funzione di più variabili reali.  Successioni e serie di funzioni.  Integrazione multipla.  Equazioni differenziali. Curve e superfici. Geometria analitica e algebra lineare.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di nell'ambito dell'Analisi Matematica (funzioni di più variabili reali, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali) e completare la formazione nell'ambito della Geometria e dell'Algebra Lineare di base.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Matematica.
  • essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica e Geometria.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica II e Geometria (studi di funzione di più variabili,  studi di  successioni e serie di funzioni,  integrazione multipla, equazioni differenziali, geometria analitica e algebra lineare.) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica e la Geometria, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Una prova scritta su esercizi, una prova scritta su argomenti di teoria con eventuali domande orali. La prova di teoria può essere sostenuta dopo aver superato con la votazione di almeno 18/30 la prova di esercizi. Inoltre la prova di teoria deve essere sostenuta nello stessa sessione di quella scritta. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Serie numeriche. Serie convergenti e condizione di Cauchy (con dim.). Serie divergenti positivamente e negativamente. Condizione necessaria per la convergenza (con dim.). Convergenza della serie armonica e della serie geometrica (con dim.). Serie a termini positivi. Carattere delle serie a termini positivi. Criterio del confronto (con  dim.) e del confronto asintotico. Criterio dell'integrale improprio.Criterio del rapporto (con dim.). Criterio della radice (con dim.). Serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti e proprietà (con dim.). Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz (con dim.).

 

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Studio della convergenza puntuale ed uniforme.  Continuità del limite uniforme (con dim.). Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (con dim.) e di derivata (con dim.)

Serie di funzioni.  Convergenza puntuale, uniforme ed assoluta di una serie di funzioni. Continuità della somma di una serie (con dim.)teorema di integrazione termine a termine (con dim.) e di derivazione termine a termine (con dim.). Convergenza totale di una serie di funzioni. Convergenza uniforme di una serie totalmente convergente. Criterio di Weierstrass.

Serie di potenze. Proprietà di convergenza assoluta (con  dim.).  Raggio di convergenza. Proprietà del raggio di convergenza (con dim.) . Teorema di Abel. Calcolo del raggio di convergenza; criterio del rapporto e della radice. Serie ottenute per derivazione e integrazione e loro raggio di convergenza (con dim.).

Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor (con dim.) e sviluppi delle funzioni elementari. 

Serie di Fourier. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppabilità in serie di Fourier.  Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario.

Struttura di RnBase canonica di Rn. Rappresentazione geometrica. Sfere aperte e chiuse. Distanza, intervalli e plurintervalli. Intorni di un punto e punti di accumulazione in Rn. Insiemi aperti, chiusi e insiemi limitati in Rn. Chiusura e proprietà. Interno e derivato di un sottoinsieme di Rn. Frontiera di un sottoinsieme di Rn. Direzioni, rette e segmenti in Rn. Rappresentazioni parametriche. Insiemi connessi, insiemi connessi per archi, insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Funzioni di più variabili. Determinazione dell'insieme di definizione. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi.

Differenziabilità. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili (con dim.). Gradiente. Relazioni tra differenziabilità ed esistenza di derivate direzionali. Teorema del differenziale totale (con dim.). Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz sull'inversione dell'ordine di derivazione. Formula di Taylor al secondo ordine. 

Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Componenti di una funzione a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivate direzionali, differenziale delle funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Teorema sulla differenziabilità delle funzioni composte. 

Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Massimi e minimi relativi (propri), assoluti e vincolati. Matrice hessiana e sue proprietà. Punti stazionari. Condizione necessaria sul gradiente (con dim.). Studio dei punti di massimo e minimo relativi ed assoluti utilizzando la matrice Hessiana (con dim.). Condizioni necessarie e sufficienti sui minori dell'Hessiano. Caso particolare delle funzioni di due variabili. Punti di sella. Studio di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati. Massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrali multipli. Misura di insiemi normali nel piano e nello spazio. Definizione di integrale di una funzione continua di più variabili. Suddivisioni, somme inferiori e superiori,  Definizione di integrabilità. Formule di riduzione. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Cambiamento di variabili in coordinate polari in R2. Cambiamento di variabili in coordinate sferiche e cilindriche in R3.



 Curve e superfici. Curve ed equazioni parametriche. Curve semplici e curve chiuse. Curve regolari. Curve, rettificabili e relativa lunghezza. Rettificabilità delle curve regolari. Lunghezza del grafico di una funzione. Integrale curvilineo di una funzione reale. Superfici regolari, integrali di superficie e area di una superficie regolare.

Campi vettorialiIntegrale curvilineo di  un campo vettoriale. Potenziali. Campi conservativi e caratterizzazione mediante gli integrali curvilinei (con dim.). Irrotazionalità dei campi conservativi (con dim.). Campi irrotazionali in domini stellati e semplicemente connessi. 

Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza. Formule di Gauss-Green. 

Equazioni differenziali. Definizione di soluzione e problema di Cauchy. Riduzione di un'equazione differenziale di ordine m ad un sistema di m equazioni differenziali del primo ordine. Riduzione di un sistema del primo ordine ad un'unica equazione differenziale vettoriale. Equivalenza del problema di Cauchy con il problema di Liouville (con dim.). Lemma di Gronwall  (con dim.) Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale (con dim.). Prolungamenti e soluzioni massimali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e di ordine n omogenee e complete. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine n. Wronskiano di n soluzioni e teorema del Wronskiano. Determinazione della soluzione particolare nel caso di termine noto particolare e nel caso generale con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Altri tipi di equazioni differenziali (a variabili separabili, di Bernoulli, omogenee, mancanti della x o della y).

 

Forme quadratiche: Definizioni. Matrici definite, semidefinite e indefinite.

Spazi euclidei. Definizione, norma, distanza e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e di Minkowski.

Complementi di Geometria analitica del piano:  Trasformazioni del piano. Coniche e loro classificazione 

Geometria analitica   dello spazio.  Rette, piani e sfere: equazioni cartesiane e parametriche e posizioni reciproche. Cenni sulle quadricheTrasformazioni nello spazio.

  • A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, disponibile in rete

  • G. De Cecco, R. Vitolo, Note di Algebra e Geometria, disponibile in rete.

  • P.Marcellini-C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica 2, parte I e II, Liguori Editore,Napoli,1991.

  • G. Calvaruso, R.Vitolo, Esercizi di Geometria e Algebra, disponibile in rete

  • N.Fusco-P.Marcellini-C.Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori, Napoli, 1996.
  • Cosimo De Mitri, Raccolta di Esercizi di Analisi Matematica, Unisalento Press
ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B) (MAT/05)
MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 58.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 30/09/2019 al 17/01/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

Sono richieste le conoscenze di base della matematica vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Funzioni reali di variabile reale. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Matrici e sistemi lineari.

PROBABILITA' E STATISTICA: Probabilità discreta. Probabilità continua (cenni relativi alla distribuzione normale). La verifica delle ipotesi. Il test t per un campione: stima per la media e intervalli di confidenza. Regressione lineare

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere sistemi lineari anche in presenza di un parametro.

Gli studenti dovranno saper impostare e risolvere semplici problemi di probabilità e acquisire alcune tecniche di analisi per uno studio statistico.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi, e una seconda orale (anch'essa in forma scritta) mirata a valutare le conoscenze teoriche sulla base dello svolgimento di un tema tra quelli indicati in un elenco di domande disponibili nella sezione materiale didattico. Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove. La prova scritta ha validità pari all'intera sessione in cui si è superata la prova scritta.

MATEMATICA

Numeri reali e funzioni reali di variabile reale: Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite, limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri; limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari. Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle, Cauchy , Lagrange. Monotonia e derivabilità. Teorema di de l'Hopital. Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni.  Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito. Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. 

Matrici e sistemi lineari. Operazioni con le matrici: somma, prodotto per uno scalare e prodotto riga per colonna. Determinante di una matrice quadrata mediante lo sviluppo di Laplace: definizioni e proprietà. Rango di una matrice. Matrici invertibili e calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari: teorema di Rouchè- Capelli, teorema di Cramer.

PROBABILITA' E STATISTICA

Definizione di statistica; popolazioni e campioni; campione casuale e campione di convenienza. Tipi di dati e variabili. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità. Tipi di studi. La media campionaria; la varianza e la deviazione standard. Calcolo della media e della deviazione standard a partire da una tabella di frequenza. Calcolo di una proporzione. La probabilità di un evento. I diagrammi di Venn. Eventi incompatibili. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Somma di probabilità. Teorema della somma delle probabilità. La regola del prodotto. Indipendenza di più di due eventi. Alberi di probabilità. Eventi dipendenti. La probabilità condizionata. Teorema delle probabilità totali. Teorema di Bayes. verifica delle ipotesi:Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. La statistica test. La distribuzione nulla. Il P-value. La significatività statistica. Gli errori nella verifica delle ipotesi: errori di tipo I e di tipo II. I test unilaterali. Verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. La distribuzione binomiale. Il test binomiale. Le curve a campana e la distribuzione normale. La formula e le proprietà della distribuzione normale. La distribuzione normale standardizzata e le tavole statistiche. Il teorema del limite centrale. Approssimazione normale per la distribuzione binomiale. La distribuzione t di Student. L'intervallo di confidenza della media di una distribuzione normale. Il test t per un campione. Le assunzioni del test t per un campione. Il coefficiente di correlazione lineare. La regressione lineare. Gli intervalli di confidenza delle previsioni. L'estrapolazione. Verosimiglianza e la massima verosimiglianza

 

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e il testo

M. C. Whitlock e D. Schluter, “Analisi statistica dei dati biologici”, Zanichelli, 2009 per la parte di statistica

Altri testi di riferimento sono i seguenti

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

MATEMATICA E STATISTICA (MAT/05)
MATEMATICA E STATISTICA

Corso di laurea BIOTECNOLOGIE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 7.0

Ripartizione oraria Ore totali di attività frontale: 58.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 01/10/2018 al 11/01/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

Sono richieste le conoscenze di base della matematica vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Funzioni reali di variabile reale. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali (cenni). Matrici e sistemi lineari.

PROBABILITA' E STATISTICA: Probabilità discreta. Probabilità continua (cenni).  Statistica test. Verifica delle ipotesi. Intervalli di confidenza.

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali e risolvere sistemi lineari anche in presenza di un parametro.

Gli studenti dovranno saper impostare e risolvere semplici problemi di probabilità e acquisire alcune tecniche di analisi per uno studio statistico.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

MATEMATICA

Numeri reali e funzioni reali di variabile reale: Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N;Z e Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà(*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazione. Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Operazioni sui grafici.

Limiti e continuità Funzioni reali di una variabili reale: punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Esempi, unicità del limite(*), limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri(*); limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno. La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi(*). Controesempi. Continuità della funzione inversa. Esempi e controesempi.

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Una funzione derivabile è continua(*). Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, derivate delle funzioni elementari(*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat(*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle(*), Cauchy(*) , Lagrange(*). Monotonia e derivabilità(*). Teorema di de l'Hopital(*). Applicazioni. Derivate successive. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde(*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno.

Calcolo integrale Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann.  Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone. Teorema della media integrale(*), teorema fondamentale del calcolo integrale(*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie. Criteri d'integrabilità.

Funzioni reali di due variabili reali (cenni)

Equazioni differenziali (cenni).

Matrici e sistemi lineari. Operazioni con le matrici: somma, prodotto per uno scalare e prodotto riga per colonna. Determinante di una matrice quadrata mediante lo sviluppo di Laplace: definizioni e proprietà. Rango di una matrice. Sistemi lineari: teorema di Rouchè- Capelli, teorema di Cramer. Cenni sul metodo di eliminazione di Gauss.

 

PROBABILITA' E STATISTICA

Definizione di statistica; popolazioni e campioni; campione casuale e campione di convenienza. Tipi di dati e variabili. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità. Tipi di studi. La media campionaria; la varianza e la deviazione standard. Coefficiente di variazione. Calcolo della media e della deviazione standard a partire da una tabella di frequenza. Calcolo di una proporzione. La probabilità di un evento. I diagrammi di Venn. Eventi incompatibili. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Somma di probabilità. Teorema della somma delle probabilità. La regola del prodotto. Indipendenza di più di due eventi. Alberi di probabilità. Eventi dipendenti. La probabilità condizionata. Teorema della probabilità composta. Teorema di Bayes. Ipotesi nulla e ipotesi alternativa. La statistica test. La distribuzione nulla. Il P-value. La significatività statistica. Gli errori nella verifica delle ipotesi: errori di tipo I e di tipo II. I test unilaterali. Verifica delle ipotesi e intervalli di confidenza. La distribuzione binomiale. Il test binomiale. La stima delle proporzioni. Le curve a campana e la distribuzione normale. La formula e le proprietà della distribuzione normale. La distribuzione normale standardizzata e le tavole statistiche. Approssimazione normale per la distribuzione binomiale. La distribuzione t di Student. L'intervallo di confidenza della media di una distribuzione normale. Il test t per un campione. Le assunzioni del test t per un campione. La stima del coefficiente di correlazione lineare. La regressione lineare. Gli intervalli di confidenza delle previsioni. L'estrapolazione. La verifica delle ipotesi sulla pendenza. Verosimiglianza e la massima verosimiglianza

 

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

 

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e il testo

M. C. Whitlock e D. Schluter, “Analisi statistica dei dati biologici”, Zanichelli, 2009 per la parte di statistica

Altri testi di riferimento sono i seguenti

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore

MATEMATICA E STATISTICA (MAT/05)

Pubblicazioni

[ 1 ] L. Angiuli : “Short-time behavior of semigroups and functions of bounded variation”, Phd Thesis, Universit`a del Salento, 2008. Versione elettronica disponibile su: http://siba-ese.unisalento.it/index.php/stbehav/issue/current.
[ 2 ] L. Angiuli, M. Jr. Miranda, D. Pallara, F. Paronetto: “BV functions and parabolic initial boundary value problems on domains”, Ann. Mat. Pura et Applicata, 188, n.2, 2009, 297 – 328.
[ 3 ] L. Angiuli, D. Pallara, F. Paronetto: “Analytic semigroups generated in L1(Ω) by second order elliptic operators via duality methods”, Semigroup Forum, 80, n.2, 2010, 255 – 271.
[ 4 ] L. Angiuli, G. Metafune, C. Spina: “Feller semigroups and invariant measures”, Rivista di Matematica dell’ Universit`a di Parma (8), 4, 2010, 1–60.
[ 5 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “Compactness and invariance properties of evolution operators associated with Kolmogorov operators with unbounded coefficients”, J. Math. Anal. Appl., 379, n.1, 2011, 125 – 149.
[ 6 ] L. Angiuli, U. Massari, M. Jr. Miranda: “Geometric properties of the heat content”, Manuscripta Math., 140, 2013, n. 3-4, 497-529.
[ 7 ] L. Angiuli : “Pointwise gradient estimates for evolution operators associated with Kolmogorov operators”, Archiv der Mathematik (Basel), 101, 2013, n.2, 159–170.
[ 8 ] L. Angiuli, A. Lunardi, L. Lorenzi: “Hypercontractivity and asymptotic behaviour in nonautonomous Kolmogorov equations”, Comm. Part. Diff. Eqns., 38, 2013, n.12, 2049–2080.
[ 9 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “On improvement of summability properties in nonautonomous Kolmogorov equations”, Comm. Pure Appl. Anal., 13, 2014, n.3, 1237–1265.
[ 10 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “On the Dirichlet and Neumann evolution operators in Rd+”, Potential Analysis, 41, 2014, 1079–1110.
[ 11 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “Non autonomous parabolic problems with unbounded coefficients in unbounded domains”, Advances in Differential Equations 20, 2015, n. 11-12, 1067-1118.
[ 12 ] L. Angiuli, A. Lunardi: “Semilinear nonautonomous parabolic equations with unbounded coefficients in the linear part”, Nonlinear Analysis, 125, 2015, 468–497.

[ 13 ] L. Angiuli, L. Lorenzi: “On the estimates of the derivatives of solutions to nonautonomous Kolmogorov equations and their consequences”, Rivista di Matematica della Universit`a di Parma 7, 2016, 421–471.
[ 14 ] L. Angiuli, L. Lorenzi, D. Pallara: “Lp-estimates for parabolic systems with unbounded coefficients coupled at zero and first order”, J. Math. Anal. Appl., 444, 2016, n. 1, 110-135.
[ 15 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi, G. Tessitore: “On coupled systems of Kolmogorov equations with applications to stochastic differential games”, ESAIM: COCV 23, 2017, 937–976.
[ 16 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi: “Hypercontractivity, supercontractivity, ultraboundedness and stability in semilinear problems”, Advances in Nonlinear Analysis, (in corso di stampa), pubblicato on line, disponibile su https://doi.org/10.1515/anona-2016-0166.
[ 17 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi: “Invariant measures for systems of Kolmogorov equations”, Journal of Applied Analysis and Computation, 8, 2018, n.3, 764–804 .
[ 18 ] D. Addona, L. Angiuli, L. Lorenzi: “On invariant measures associated to weakly coupled systems of Kolmogorov equations”, sottomesso per la pubblicazione, disponibile su https://arxiv.org/abs/1705.03784.
[ 19 ] L. Angiuli, S. Ferrari, D. Pallara: “Gradient estimates for perturbed Ornstein- Uhlenbeck semigroups on infinite dimensional convex domains”,sottomesso per la pubblicazione, disponibile su https://arxiv.org/abs/1807.07780.

Temi di ricerca

Calcolo delle variazioni: funzioni a variazione limitata e insiemi di perimetro finito.

Equazioni e sistemi di equazioni di Kolmogorov

Risorse correlate

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