Analisi Matematica I, Geometria e Algebra,  Fisica Generale I

L'insegnamento è dedicato ai sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà, con particolare riguardo alla descrizione dei moti rigidi piani.

L'equilibrio di corpi rigidi, liberi o vincolati verrà perseguito attraverso i principi della Meccanica Classica (Newtoniana) con il rigore e gli strumenti caratteristici delle Scienze Matematiche.

• conoscere la descrizione cinematica di un sistema rigido nel piano;
• individuare il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico;
• esprimere la cinematica del sistema in funzione delle coordinate libere;
• studiare le caratteristiche inerziali di un sistema;
• scrivere le equazioni del moto di un sistema meccanico;
• determinare, qualora sia possibile, l’equilibrio o il moto del sistema (problema diretto);
• determinare le sollecitazioni attive che garantiscono un determinato equilibrio o moto del sistema (problema inverso);

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L'esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta si compone di due parti: la prima contiene domande a risposta multipla; la seconda, un esercizio di meccanica.

Per il superamento della prova scritta è necessario avere la sufficienza su entrambi le parti.

La prova orale è facoltativa per coloro che abbiano superato la prova scritta con un voto superiore a 21/30 e inferiore a 27/30. E’ invece obbligatoria in tutti gli altri casi.Il mancato superamento della prova orale comporta l'annullamento della rispettiva prova scritta.

Ricevimento Studenti: Martedì 10:30-13:30

Cinematica: Cinematica del punto (richiami). Campo delle accelerazioni. Teorema di Coriolis. Composizione delle velocità angolari. Derivata di un vettore rispetto ad osservatori diversi. Moti rigidi piani. Velocità angolare. Vincoli e loro classificazione. Coordinate libere. Rotolamento senza strisciamento e contatto. Composizione delle velocità.(1.5 CFU)

Geometria delle masse: Baricentro. Momento d'inerzia. Momento di inerzia rispetto ad assi paralleli e concorrenti. Tensore d'inerzia. Momenti principali d'inerzia. Proprietà degli assi principali. Caso piano. (1.5 CFU)

Statica dei sistemi: Statica del punto libero e vincolato. Statica dei sistemi. Equazioni cardinali della statica. Equilibrio del corpo rigido. Corpi rigidi vincolati. Il caso piano. Statica dei sistemi. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di forze agenti su un corpo rigido e su un sistema olonomo. Statica dei sistemi e principio dei lavori virtuali (PLV). PLV nei sistemi olonomi. Teorema di stazionarietà del potenziale. (1.5 CFU)

Cinematica delle masse: Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica.

Dinamica dei sistemi: Dinamica del punto materiale. Equazioni cardinali della dinamica. Integrali primi. Teorema dell'energia cinetica. Cenni sulla stabilità dell'equilibrio. (1.5 CFU)

Testi

1. Meccanica Razionale. Biscari, P., Ruggeri, T., Saccomandi, G., Vianello, M. Springer (2016)

2. Introduzione alla Meccanica Razionale – Elementi di Teoria con esercizi – Biscari, P. Springer (2016)

Appunti di riferimento

3. Appunti di Meccanica Razionale. Turzi ,S. (scaricabili qui) 

4.  Alcune soluzioni esercizio appelli precedenti fornite nella sezione materiale didattico.   

5. Complementi di Meccanica Razionale. Vitolo, R.  (scaricabili qui)

E' richiesta la conoscenza dei fondamenti di calcolo differenziale e integrale in più variabili e di equazioni differenziali alle derivate parziali.

L'insegnamento ha la finalità di introdurre gli studenti ai concetti matematici alla base della modellazione dei materiali continui.  L'obiettivo principale sarà quello di fornire un approccio fisico-matematico unitario allo studio della meccanica di mezzi continui, ed all'interno di questo caratterizzare le principali classi di materiali. 

• saper formulare problemi ai limiti per lo studio del moto di fluidi o solidi;
• essere in grado di determinare la soluzione esplicita nel caso di moti particolarmente semplici;
• saper presentare oralmente gli argomenti trattati nel corso con un linguaggio scientifico appropriato e un formalismo fisico-matematico corretto.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

Relazioni su progetti, in itinere. Prova orale finale.

Cinematica e dinamica del corpo rigido. Richiami di calcolo tensoriale e differenziale. Cinematica dei corpi continui deformabili. Analisi delle deformazioni e dei moti. Sforzi. Teorema di Cauchy. Equazioni di bilancio. Equazioni costitutive. Elasticità finita. Elasticità lineare. Fluidi perfetti. Fluidi viscosi. Equazione di Navier-Stokes.

[1] S. Forte, L. Preziosi, M. Vianello, Meccanica dei Continui, Springer, 2019.

[2] M. E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, 1981. 

[3]  P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale, Springer, 2016.

Analisi Matematica I, Geometria e Algebra,  Fisica Generale I

L'insegnamento è dedicato ai sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà, con particolare riguardo alla descrizione dei moti rigidi piani.

L'equilibrio di corpi rigidi, liberi o vincolati verrà perseguito attraverso i principi della Meccanica Classica (Newtoniana) con il rigore e gli strumenti caratteristici delle Scienze Matematiche.

• conoscere la descrizione cinematica di un sistema rigido nel piano;
• individuare il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico;
• esprimere la cinematica del sistema in funzione delle coordinate libere;
• studiare le caratteristiche inerziali di un sistema;
• scrivere le equazioni del moto di un sistema meccanico;
• determinare, qualora sia possibile, l’equilibrio o il moto del sistema (problema diretto);
• determinare le sollecitazioni attive che garantiscono un determinato equilibrio o moto del sistema (problema inverso);

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L'esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta si compone di due parti: la prima contiene domande a risposta multipla; la seconda, un esercizio di meccanica.

Per il superamento della prova scritta è necessario avere la sufficienza su entrambi le parti.

La prova orale è facoltativa per coloro che abbiano superato la prova scritta con un voto superiore a 21/30 e inferiore a 27/30. E’ invece obbligatoria in tutti gli altri casi.Il mancato superamento della prova orale comporta l'annullamento della rispettiva prova scritta.

Ricevimento Studenti: Martedì 10:30-13:30

Cinematica: Cinematica del punto (richiami). Campo delle accelerazioni. Teorema di Coriolis. Composizione delle velocità angolari. Derivata di un vettore rispetto ad osservatori diversi. Moti rigidi piani. Velocità angolare. Vincoli e loro classificazione. Coordinate libere. Rotolamento senza strisciamento e contatto. Composizione delle velocità.(1.5 CFU)

Geometria delle masse: Baricentro. Momento d'inerzia. Momento di inerzia rispetto ad assi paralleli e concorrenti. Tensore d'inerzia. Momenti principali d'inerzia. Proprietà degli assi principali. Caso piano. (1.5 CFU)

Statica dei sistemi: Statica del punto libero e vincolato. Statica dei sistemi. Equazioni cardinali della statica. Equilibrio del corpo rigido. Corpi rigidi vincolati. Il caso piano. Statica dei sistemi. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di forze agenti su un corpo rigido e su un sistema olonomo. Statica dei sistemi e principio dei lavori virtuali (PLV). PLV nei sistemi olonomi. Teorema di stazionarietà del potenziale. (1.5 CFU)

Cinematica delle masse: Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica.

Dinamica dei sistemi: Dinamica del punto materiale. Equazioni cardinali della dinamica. Integrali primi. Teorema dell'energia cinetica. Cenni sulla stabilità dell'equilibrio. (1.5 CFU)

Testi

1. Meccanica Razionale. Biscari, P., Ruggeri, T., Saccomandi, G., Vianello, M. Springer (2016)

2. Introduzione alla Meccanica Razionale – Elementi di Teoria con esercizi – Biscari, P. Springer (2016)

Appunti di riferimento

3. Appunti di Meccanica Razionale. Turzi ,S. (scaricabili qui) 

4.  Alcune soluzioni esercizio appelli precedenti fornite nella sezione materiale didattico.   

5. Complementi di Meccanica Razionale. Vitolo, R.  (scaricabili qui)

E' richiesta la conoscenza dei fondamenti di calcolo differenziale e integrale in più variabili e di equazioni differenziali alle derivate parziali.

L'insegnamento ha la finalità di introdurre gli studenti ai concetti matematici alla base della modellazione dei materiali continui.  L'obiettivo principale sarà quello di fornire un approccio fisico-matematico unitario allo studio della meccanica di mezzi continui, ed all'interno di questo caratterizzare le principali classi di materiali. 

• saper formulare problemi ai limiti per lo studio del moto di fluidi o solidi;
• essere in grado di determinare la soluzione esplicita nel caso di moti particolarmente semplici;
• saper presentare oralmente gli argomenti trattati nel corso con un linguaggio scientifico appropriato e un formalismo fisico-matematico corretto.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

Relazioni su progetti, in itinere. Prova orale finale.

Cinematica e dinamica del corpo rigido. Richiami di calcolo tensoriale e differenziale. Cinematica dei corpi continui deformabili. Analisi delle deformazioni e dei moti. Sforzi. Teorema di Cauchy. Equazioni di bilancio. Equazioni costitutive. Elasticità finita. Elasticità lineare. Fluidi perfetti. Fluidi viscosi. Equazione di Navier-Stokes.

[1] S. Forte, L. Preziosi, M. Vianello, Meccanica dei Continui, Springer, 2019.

[2] M. E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, 1981. 

[3]  P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale, Springer, 2016.

Analisi e Geometria I, Fisica Generale I

L'insegnamento è dedicato ai sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà, con particolare riguardo alla descrizione dei moti rigidi. Partendo dalla meccanica newtoniana, si procede ad una graduale generalizzazione degli schemi descrittivi approdando alla descrizione lagrangiana della meccanica.

• conoscere la descrizione cinematica di un sistema rigido nel piano;
• individuare il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico;
• esprimere la cinematica del sistema in funzione delle coordinate libere;
• studiare le caratteristiche inerziali di un sistema;
• scrivere le equazioni del moto di un sistema meccanico;
• determinare, qualora sia possibile, l’equilibrio o il moto del sistema (problema diretto);
• determinare le sollecitazioni attive che garantiscono un determinato equilibrio o moto del sistema (problema inverso);

L'esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta si compone di due parti: la prima contiene domande a risposta multipla; la seconda, un esercizio di meccanica.

Per il superamento della prova scritta è necessario avere la sufficienza su entrambi le parti.

La prova orale è facoltativa per coloro che abbiano superato la prova scritta con un voto superiore a 21/30 e inferiore a 27/30. E’ invece obbligatoria in tutti gli altri casi.Il mancato superamento della prova orale comporta l'annullamento della rispettiva prova scritta.

Ricevimento Studenti: Martedì 10:30-13:30

Cinematica. Richiami di calcolo vettoriale. Vettori applicati. Risultante. Momento risultante. Coppia. Invariante scalare. Sistemi equivalenti. Riduzione di sistemi di vettori applicati. Cinematica del punto (richiami). Moti rigidi piani. Velocità angolare. Campo delle accelerazioni. Vincoli e loro classificazione. Coordinate libere. Rotolamento senza strisciamento e contatto. Composizione delle velocità. Teorema di Coriolis. Composizione delle velocità angolari. Derivata di un vettore rispetto ad osservatori diversi. (1.5 CFU)

Geometria e cinematica delle masse: Baricentro. Momento d'inerzia. Momento di inerzia rispetto ad assi paralleli e concorrenti. Tensore d'inerzia. Momenti principali d'inerzia. Proprietà degli assi principali. Caso piano. Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica (1.5 CFU)

Statica dei sistemi: Statica del punto libero e vincolato. Statica dei sistemi. Equazioni cardinali della statica. Equilibrio del corpo rigido. Corpi rigidi vincolati. Il caso piano. Statica dei sistemi. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di forze agenti su un corpo rigido e su un sistema olonomo. Statica dei sistemi e principio dei lavori virtuali (PLV). PLV nei sistemi olonomi. Teorema di stazionarietà del potenziale. (1.5 CFU)

Dinamica dei sistemi: Dinamica del punto materiale. Equazioni cardinali della dinamica. Teorema del moto del baricentro. Integrali primi. Teorema dell'energia. Principio di d'Alembert. Equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Equazioni di Lagrange conservative. Momenti cinetici. Coordinate cicliche. Cenni sulla stabilità dell'equilibrio. (1.5 CFU)

1. Meccanica Razionale. Biscari, P., Ruggeri, T., Saccomandi, G., Vianello, M. Springer (2016)

2. Appunti ed Esercizi di Meccanica Razionale. Turzi S. (disponibile nella sezione Materiale Didattico) 

3. Esercizi Svolti - Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano

Analisi Matematica I, Geometria e Algebra,  Fisica Generale I

L'insegnamento è dedicato ai sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà, con particolare riguardo alla descrizione dei moti rigidi. Partendo dalla meccanica newtoniana, si procede ad una graduale generalizzazione degli schemi descrittivi approdando alla descrizione lagrangiana della meccanica.

• conoscere la descrizione cinematica di un sistema rigido nel piano;
• individuare il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico;
• esprimere la cinematica del sistema in funzione delle coordinate libere;
• studiare le caratteristiche inerziali di un sistema;
• scrivere le equazioni del moto di un sistema meccanico;
• determinare, qualora sia possibile, l’equilibrio o il moto del sistema (problema diretto);
• determinare le sollecitazioni attive che garantiscono un determinato equilibrio o moto del sistema (problema inverso);

L'esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta si compone di due parti: la prima contiene domande a risposta multipla; la seconda, un esercizio di meccanica.

Per il superamento della prova scritta è necessario avere la sufficienza su entrambi le parti.

La prova orale è facoltativa per coloro che abbiano superato la prova scritta con un voto superiore a 21/30 e inferiore a 27/30. E’ invece obbligatoria in tutti gli altri casi.Il mancato superamento della prova orale comporta l'annullamento della rispettiva prova scritta.

Ricevimento Studenti: Martedì 10:30-13:30

Cinematica. Richiami di calcolo vettoriale. Vettori applicati. Risultante. Momento risultante. Coppia. Invariante scalare. Sistemi equivalenti. Riduzione di sistemi di vettori applicati. Cinematica del punto (richiami). Moti rigidi piani. Velocità angolare. Campo delle accelerazioni. Vincoli e loro classificazione. Coordinate libere. Rotolamento senza strisciamento e contatto. Composizione delle velocità. Teorema di Coriolis. Composizione delle velocità angolari. Derivata di un vettore rispetto ad osservatori diversi. (1.5 CFU)

Geometria e cinematica delle masse: Baricentro. Momento d'inerzia. Momento di inerzia rispetto ad assi paralleli e concorrenti. Tensore d'inerzia. Momenti principali d'inerzia. Proprietà degli assi principali. Caso piano. Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica (1.5 CFU)

Statica dei sistemi: Statica del punto libero e vincolato. Statica dei sistemi. Equazioni cardinali della statica. Equilibrio del corpo rigido. Corpi rigidi vincolati. Il caso piano. Statica dei sistemi. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di forze agenti su un corpo rigido e su un sistema olonomo. Statica dei sistemi e principio dei lavori virtuali (PLV). PLV nei sistemi olonomi. Teorema di stazionarietà del potenziale. (1.5 CFU)

Dinamica dei sistemi: Dinamica del punto materiale. Equazioni cardinali della dinamica. Teorema del moto del baricentro. Integrali primi. Teorema dell'energia. Principio di d'Alembert. Equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Equazioni di Lagrange conservative. Momenti cinetici. Coordinate cicliche. Cenni sulla stabilità dell'equilibrio. (1.5 CFU)

1. Meccanica Razionale. Biscari, P., Ruggeri, T., Saccomandi, G., Vianello, M. Springer (2016)

2. Appunti ed Esercizi di Meccanica Razionale. Turzi S. (disponibile nella sezione Materiale Didattico) 

3. Esercizi Svolti - Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano

E' richiesta la conoscenza dei fondamenti di calcolo differenziale e integrale in più variabili e di equazioni differenziali alle derivate parziali.

L'insegnamento ha la finalità di introdurre gli studenti ai concetti matematici alla base della modellazione dei materiali continui.  L'obiettivo principale sarà quello di fornire un approccio fisico-matematico unitario allo studio della meccanica di mezzi continui, ed all'interno di questo caratterizzare le principali classi di materiali. 

• saper formulare problemi ai limiti per lo studio del moto di fluidi o solidi;
• essere in grado di determinare la soluzione esplicita nel caso di moti particolarmente semplici;
• saper presentare oralmente gli argomenti trattati nel corso con un linguaggio scientifico appropriato e un formalismo fisico-matematico corretto.

Cinematica e dinamica del corpo rigido. Richiami di calcolo tensoriale e differenziale. Cinematica dei corpi continui deformabili. Analisi delle deformazioni e dei moti. Sforzi. Teorema di Cauchy. Equazioni di bilancio. Equazioni costitutive. Elasticità finita. Elasticità lineare. Fluidi perfetti. Fluidi viscosi. Equazione di Navier-Stokes.

[1] M. E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, 1981. 

[2]  P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale, Springer, 2016.

L'esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta si compone di due parti: la prima contiene domande a risposta multipla; la seconda, un esercizio di meccanica.

Per il superamento della prova scritta è necessario avere la sufficienza su entrambi le parti.

La prova orale è facoltativa per coloro che abbiano superato la prova scritta con un voto superiore a 21/30 e inferiore a 27/30. E’ invece obbligatoria in tutti gli altri casi.Il mancato superamento della prova orale comporta l'annullamento della rispettiva prova scritta.

Ricevimento Studenti: Martedì 10:30 alle 12:30, Dipartimento di Matematica e Fisica "E. De Giorgi"

1. Meccanica Razionale. Biscari, P., Ruggeri, T., Saccomandi, G., Vianello, M. Springer (2016)

2. Appunti di Meccanica Razionale. Turzi S. (scaricabile dal sito del docente) 

1. Meccanica Razionale. Biscari, P., Ruggeri, T., Saccomandi, G., Vianello, M. Springer (2016)

2. Appunti ed Esercizi di Meccanica Razionale. Turzi S. (disponibile nella sezione Materiale Didattico) 

3. Esercizi Svolti - Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano

L'esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta si compone di due parti: la prima contiene domande a risposta multipla; la seconda, un esercizio di meccanica.

Per il superamento della prova scritta è necessario avere la sufficienza su entrambi le parti.

La prova orale è facoltativa per coloro che abbiano superato la prova scritta con un voto superiore a 21/30 e inferiore a 27/30. E’ invece obbligatoria in tutti gli altri casi.Il mancato superamento della prova orale comporta l'annullamento della rispettiva prova scritta.

Ricevimento Studenti: Martedì 10:30 alle 12:30, Dipartimento di Matematica e Fisica "E. De Giorgi"

1. Meccanica Razionale. Biscari, P., Ruggeri, T., Saccomandi, G., Vianello, M. Springer (2016)

2. Appunti di Meccanica Razionale. Turzi S. (disponibile nella sezione Materiale Didattico) 

3. Esercizi Svolti - Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano