Antonio LEACI

Antonio LEACI

Professore I Fascia (Ordinario/Straordinario)

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05: ANALISI MATEMATICA.

Dipartimento di Matematica e Fisica "Ennio De Giorgi"

Ex Collegio Fiorini - Via per Arnesano - LECCE (LE)

Ufficio, Piano terra

Telefono +39 0832 29 7522

Professore ordinario del settore MAT/05 dal 1/11/1994 presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università del Salento.

Area di competenza:

Analisi Matematica

Orario di ricevimento

A.A. 2021/22: Venerdì dalle 9 alle 11, oppure in altri giorni previo accordo tramite posta elettronica istituzionale. 

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Curriculum Vitae

Laurea in Matematica presso l'Università di Pisa, relatore il Prof. Ennio De Giorgi (12 Luglio 1979) e Diploma  di  Licenza  in  Matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa (luglio 1979). Borsista CNR presso la Scuola Normale dal 1979 al 1982. Sottotenente di Artiglieria dal 1982 al 1983. Professore a contratto dal 1983 al 1985, Facoltà di Ingegneria, Università della Basilicata. Ricercatore dal 1985 al 1988, Professore associato dal 1988 al 1994, Facoltà di Scienze MM.FF.NN, Università di Lecce. Professore ordinario di Analisi Matematica dal 1994, Facoltà di Ingegneria, Università di Lecce (poi Università del Salento). 

Responsabile del Progetto "Riconoscimento ed elaborazione d'immagini con applicazioni in medicina ed industria'', MURST, Piani di potenziamento della rete scientifica e tecnologica, LEGGE 488, cluster 15 "Tecniche per immagini'' (1997). Responsabile locale di Unità di ricerca in Progetti biennali PRIN: "Calcolo delle Variazioni'' PRIN 2000/02, 2002/04, 2004/06; "Problemi Variazionali con Scale Multiple'' PRIN 2006/08, 2008/10; Partecipante Progetto triennale PRIN: "Calcolo delle Variazioni'' presso la Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA) di TRIESTE. 

Direttore del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce per due mandati (1995-2001). Membro di Commissioni di Concorso per Professore Ordinario (SISSA di Trieste), per Professore Associato (Politecnico di Bari), per Ricercatore (Seconda Università di Napoli, 2 volte Università di Lecce). Da gennaio 2010 a giugno 2012 Coordinatore del Collegio dei Docenti del Dottorato in Matematica dell'Università del Salento. Da giugno 2012 Direttore della Scuola di Dottorato dell'Università del Salento, rinnovato nel 2016. Eletto in Senato Accademico in gennaio 2019...  per la biografia dettagliata e l'elenco delle pubblicazioni si veda il curriculum vitae in fondo a questa pagina.

 

Scarica curriculum vitae

Didattica

A.A. 2021/2022

ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

GEOMETRIA

Corso di laurea MEDICINA E CHIRURGIA

Tipo corso di studio Laurea Magistrale a Ciclo Unico

Lingua ITALIANO

Crediti 2.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 24.0

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE BIOLOGICHE ED AMBIENTALI

Percorso COMUNE/GENERICO

MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING

Degree course COMMUNICATION ENGINEERING AND ELECTRONIC TECHNOLOGIES

Course type Laurea Magistrale

Language INGLESE

Credits 9.0

Teaching hours Ore Attività frontale: 81.0

Year taught 2021/2022

For matriculated on 2021/2022

Course year 1

Structure DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Subject matter PERCORSO COMUNE

Location Lecce

A.A. 2020/2021

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2019/2020

ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING

Degree course COMMUNICATION ENGINEERING AND ELECTRONIC TECHNOLOGIES

Course type Laurea Magistrale

Language INGLESE

Credits 9.0

Teaching hours Ore Attività frontale: 81.0

Year taught 2019/2020

For matriculated on 2019/2020

Course year 1

Structure DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Subject matter PERCORSO COMUNE

Location Lecce

A.A. 2018/2019

ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING

Degree course COMMUNICATION ENGINEERING AND ELECTRONIC TECHNOLOGIES

Course type Laurea Magistrale

Language INGLESE

Credits 9.0

Teaching hours Ore Attività frontale: 81.0

Year taught 2017/2018

For matriculated on 2017/2018

Course year 1

Structure DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INNOVAZIONE

Subject matter PERCORSO COMUNE

Location Lecce

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ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2020/2021

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 21/02/2022 al 03/06/2022)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Tutti i corsi di Analisi matematica I-II-III

All the courses of Mathematical Analysis i I-II-III

Nozioni fondamentali di Analisi Complessa, Trasformata di Laplace, nozioni di base della teoria dell'integrazione di Lebesgue.

Fundamentals of Complex Analysis, Laplace Transform, basic notions of Lebesgue integration theory.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Complessa e nozioni di teoria dell'integrale di Lebesgue.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di utilizzare i numeri complessi e le funzioni di variabile complessa, la trasformata di Laplace e la teoria dell'integrale di Lebesgue, # essere in grado di calcolare integrali mediante il teorema dei residui, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

 

Knowledge and understanding. To possess a solid preparation with knowledge of Complex Analysis and notions of Lebesgue integration theory.

Ability to apply knowledge and understanding:

# To be able to use complex numbers and complex variable functions, the Laplace transform and Lebesgue integration theory,

# To be able to calculate integrals using the residues theorem, solve Cauchy problems for linear differential equations,

# To be aware of the possible applications of concepts learned for subjects other than mathematics.

Autonomy of judgment. The exposition of the contents and arguments will be carried out in such a way as to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and to identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions concerning real and complex analysis.

Learning ability. Topics to be explored will be proposed, closely related to the teaching, in order to stimulate the student's autonomous learning ability.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula. 

The course consists of frontal lessons and classroom exercises.

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti)  da svolgere in due ore. La prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. 

A written test with 2 exercises (8 + 8 points) and 2 theoretical questions (7 + 7 points) to be performed in two hours. The test is passed by reporting a score greater than or equal to 18/30.

Programma del corso:  

Richiami sui numeri complessi. il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

 

Course program:

Recalls on complex numbers. the field of complex numbers. Algebraic, trigonometric, exponential form of complex numbers. De Moivre's formula. Exponential in the complex field. Euler's formula. Sine and cosine. Other elementary transcendents (hyperbolic sine and cosine). Polydromy and Riemann surface; n-th roots, logarithms, power with complex exponent. Topology of C. The point at infinity. Successions of complex numbers. Limits and continuity of complex functions.

Derivability in a complex sense. Cauchy-Riemann theorem. Goursat theorem (without proof). Consequences of the Cauchy-Riemann theorem. Harmonic functions. Power series in C. Analytic functions. Series development of elementary functions.

Integral of a complex function along a curve. Cauchy's theorem about simply connected domains. Corollaries of the Cauchy theorem about simply connected domains. Winding index. Morera's theorem. Integral Formula of Cauchy. Analyticity theorem of holomorphic functions. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. The Gauss integral mean theorem. Theorem of uniqueness of the analytic prolongation. Holomorphic prolongation through a regular curve. Schwarz reflection theorem. Schwarz's Lemma. Riemann's theorem (without proof). Weierstrass convergence theorem.

Laurent series. Laurent theorem in circular crowns. Isolated singularity points. Development of Laurent in a point of isolated singularity. Residue of a function in an isolated singularity point. Classification of isolated singularity points. Characterization of isolated singularities. Picard's theorem (without proof). Methods for calculating residues. Singularity in the point at infinity. Remnant of a function at the point at infinity. Residue theorem. Residues theorem II. The large circle theorem. Small circle theorem. Lemma of Jordan. Calculation of integrals with the use of the residues theorem. Integral in the sense of the main value. Calculation of integrals with the use of the residual theorem and polydrome functions. Calculation of integrals defined between 0 and 2 \ pi of rational functions of \ cos\theta and \sin\theta. Heaviside formula (without proof). Logarithmic indicator. Theorem of the logarithmic indicator. Rouché's theorem.

Laplace transform: L-transformable functions. Abscissa of absolute convergence and transformation of Laplace. First properties of the Laplace transform. Transformation of powers, exponential and trigonometric functions. Algebraic rules of transformation: change of scale, translation, modulation. Absolutely continuous functions according to Vitali. Characterization of AC functions. Functions locally AC. Analytical properties of the Laplace transform: transformation of derivatives. Transformation of the primitive (without proof). Convolution product of two L-transformable functions. Transformation of convolution (without proof). Solution of linear differential equations by the Laplace transform.

Elements of Lebesgue integration theory: The Lebesgue measure and its properties. Measurable functions. Lebesgue integral. Product measure and multiple integrals. Theorems of passage to the limit under the sign of integral. Integration by series.

M.Carriero, S.Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664

F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W.Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)
GEOMETRIA

Corso di laurea MEDICINA E CHIRURGIA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea Magistrale a Ciclo Unico

Crediti 2.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 24.0

Per immatricolati nel 2021/2022

Anno accademico di erogazione 2021/2022

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 04/10/2021 al 21/01/2022)

Lingua ITALIANO

Percorso COMUNE/GENERICO (999)

Algebra elementare, polinomi, equazioni e disequazioni algebriche. Elementi di base di geometria analitica.

Matrici e sistemi lineari. Geometria del piano e dello spazio.

Conoscenze e comprensione. Scopo del corso è l'acquisizione del metodo matematico e delle conoscenze di base della geometria e dell'algebra lineare, in vista delle applicazioni in campo bio-medico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:

Al termine del corso lo studente

  • avrà acquisito la conoscenza di concetti matematici con la corretta terminologia, nonché la capacità di darne interpretazioni in altri ambiti disciplinari
  • sarà in grado di risolvere esercizi di base su semplici problemi geometrici e di sistemi lineari.
  • avrà acquisito gli strumenti per il successivo studio dell'analisi statistica di dati
  • sarà in grado di interpretare semplici modelli matematici di fenomeni biomedici

Lezioni frontali ed esercitazioni (in presenza e/o telematiche)

Prova scritta  con esercizi e domande di teoria e discussione sulla stessa prova.

Programma provvisorio.

Vettori nel piano e nello spazio Definizione. Operazioni fondamentali sui vettori. Componenti scalari. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare. Prodotto scalare, vettoriale, misto. Condizioni di ortogonalità, parallelismo e complanarità.

Geometria analitica nello spazio.

Equazioni della retta e di un piano (parametrica e cartesiana). Condizioni di ortogonalità e di parallelismo tra due rette, due piani. Retta intersezione di due piani. Distanza di un punto da una retta e da un piano.  

Spazi vettoriali astratti. Definizione di spazio vettoriale astratto. Sottospazio vettoriale e sua caratterizzazione. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi, dimensione, sistema di generatori. 

Matrici e sistemi lineari. Definizione di matrice. Proprietà e operazioni sulle matrici. Determinante e sue proprietà. Determinanti e dipendenza e indipendenza lineare. Rango. Matrici invertibili e matrice inversa. Sistema lineare. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Metodo di Gauss.

Trasformazioni lineari. Definizione, teorema di rappresentazione matriciale. Immagine e nucleo di una trasformazione lineare. 

Autovalori e autovettori. Definizione di autovalore e di autovettore. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica.  Matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzabilità.

G. De Cecco, R. Vitolo, Note di Geometria ed Algebra, dispense in rete.

http://poincare.unisalento.it/vitolo/vitolo_files/didattica/geomalg/OLDgeomet.pdf

GEOMETRIA (MAT/03)
MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING

Degree course COMMUNICATION ENGINEERING AND ELECTRONIC TECHNOLOGIES

Subject area MAT/05

Course type Laurea Magistrale

Credits 9.0

Teaching hours Ore Attività frontale: 81.0

For matriculated on 2021/2022

Year taught 2021/2022

Course year 1

Semestre Primo Semestre (dal 20/09/2021 al 17/12/2021)

Language INGLESE

Subject matter PERCORSO COMUNE (999)

Location Lecce


Prerequisites: Ordinary differential equations, multiple, line and surface integrals. Complex Analysis, linear algebra, elementary physics. 

Measure theory. Theory of distributions. Elements of Functional Analysis. Complements on Ordinary Differential Equations. Equations of Mathematical Physics. 

Aims and Scope: Concepts of advanced mathematical Analysis - Problem solving for ordinary and partial differential equations arising from physics or engineering.

Lessons and exercises

Final examination: The final (written) exam consists in solving 2 exercises (8+8 points) and answering 2 theoretical questions (7+7 points) related with the topics of the course.

Measure theory. (hours: 9)  Positive measures. Measurable functions. Integral. Limit theorems in integration theory. Real and vector measures, total variation. Absolute continuity and singularity of measures. Image measure. Lebesgue's Measure in R^n. Product Measures and Fubini's Theorem. Parameters dependent integrals. Functions Gamma and Beta of Euler. Convolution.


Functions of bounded variation (BV) and Riemann-Stieltjes Integral. (hours: 9) Pointwise and essential variation. Monotonous functions. Features of bounded variation functions. Absolutely continuous functions. Cantor's function. Definition and existence of the integral of Riemann-Stieltjes. Integral's properties. Hausdorff's measures. Self-similar fractals.


Theory of distributions. (hours: 8) Definition and examples. Derivative of a distribution. Examples of Differential Equations in D'. Temperate distributions. Support of a Distribution, convolution. Fourier Transform in L^1, L^2, S, S'.

Elements of Functional Analysis. (ore: 8) The spaces L^1, L^2. Banach and Hilbert spaces. Scalar products and induced norms, orthonormal bases. Fourier Series in L^2. Linear, continuous, compact Operators. Spectral Theory of Compact Self-adjoint Operators.


Complements on Ordinary Differential Equations. (hours: 10) Sturm-Liouville theory for boundary value problems. Connections between boundary value problems and orthogonal developments. Differential Equations with analytical coefficients: regular case; Singular case and Frobenius theorem. Examples of Ordinary Differential Equations Solvable by Series: Equations of Bessel and Legendre.


Equations of Mathematical Physics. (hours: 12) Examples of Partial Differential Equations solved by the method of separation of variables, by series developments and Fourier transform. Boundary value problems, initial value problems, and mixed problems. Heat equation in the strip, and in the whole space. Wave equation in one, two and three dimensions. Wave equation in the half-line and in an interval. Eigenvalues of Laplacean in the square, in the disc, in the ball. Hermite polynomials.

References.
M. Carriero, L. Anzilli: Introduzione alle Equazioni a Derivate Parziali Lineari, Quaderni di Matematica, 1/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15679/13592

S.Fornaro, D.Pallara, Appunti del corso di Metodi matematici per l'Ingegneria, web page of prof. Pallara.

F. Tomarelli - Mathematical Analysis tools for Engineering, Società Editrice Esculapio,  Bologna, 2019.
F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. Eng. ver.: Analytic functions, Integral transforms, Differential equations, Esculapio,  Bologna, II Ed., 2015. 


E.Kreyszig: Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1993.

A.N.Tichonov, A.A.Samarskij, Equazioni della fisica matematica, MIR, Mosca, 1981.

A.N.Tichonov, A.A.Samarskij, B.M.Budak, Problemi della fisica matematica, MIR, Mosca, 1981.

MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B)

Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 22/09/2020 al 18/12/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Il corso di Analisi Matematica e Geometria I 

Mathematical Analysis and Geometry I

Capitolo 1. Serie Numeriche. Successioni e serie di funzioni. Serie di Taylor e  di Fourier.

Capitolo 2. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche, metriche e topologiche di R^n. 
Continuità per funzioni di più variabili. Teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi, di Heine-Cantor. 

Capitolo 3. Calcolo differenziale in più variabili: Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Estremi liberi e vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Capitolo 4. Curve ed integrali di linea. Curve regolari. Curve equivalenti. Definizione e calcolo della lunghezza di una curva. 
Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Calcolo dei potenziali. 

Capitolo 5. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità globale (*). Teorema di esistenza e unicità  locale. Teorema di esistenza e unicità  per equazioni di ordine superiore. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Equazioni del I° ordine (*). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 6. Integrali multipli: integrale di Riemann.  Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

Capitolo 7. Geometria nel piano e nello spazio. Forme quadratiche: Definizioni. Matrici definite, semidefinite e indefinite.
Richiami su Spazi euclidei. Definizione, norma, distanza e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e di Minkowski. Complementi di Geometria analitica del piano: Trasformazioni del piano. Coniche e loro classificazione. Geometria analitica dello spazio. Rette, piani e sfere: equazioni cartesiane e parametriche e posizioni reciproche. Cenni sulle quadriche. Trasformazioni nello spazio.

 

Contents.

Chapter 1. Numerical Series. Sequences and series of functions. Taylor and Fourier series.

Chapter 2. Limits and continuity in several variables: Review of the algebraic, metric and topological properties of R ^ n.
Continuity for functions of several variables. Weierstrass, intermediate value, Heine-Cantor theorems.

Chapter 3. Differential calculus in several variables: Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Consequences of differentiability. Maximum and minimum relative of a function of several variables. Free and bound extremes. Method of Lagrange multipliers.

Chapter 4. Curves and line integrals. Regular curves. Equivalent curves. Definition and calculation of the length of a curve.
Line integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Calculation of potentials.

Chapter 5. Differential equations: local, maximal, global solutions. Cauchy's problem. Theorem of existence and global uniqueness (*). Local existence and uniqueness theorem. Existence and uniqueness theorem for higher order equations. Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (*). 1st order equations (*). Lagrange method or the variation of parameters. Equations with constant coefficients: description of the solution method. Other elementary integrable equations: with separable, homogeneous, Bernoulli, autonomous variables.

Chapter 6. Multiple integrals: Riemann integral. Double and triple integrals. Reduction formulas in the case of normal domains. Variable change theorem for multiple integrals. Passage to the limit under the integral sign. Regular surfaces, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

Chapter 7. Geometry in the plane and in space. Quadratic forms: Definitions. Definite, semidefinite and indefinite matrices.
Recalls on Euclidean spaces. Definition, norm, distance and Cauchy-Schwarz and Minkowski inequality. Complements of analytical geometry of the plane: Transformations of the plane. Conics and their classification. Analytic geometry of space. Lines, planes and spheres: Cartesian and parametric equations and reciprocal positions. Notes on quadrics. Transformations in space.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Matematica in più variabili, in vista delle applicazioni nell'Ingegneria Industriale.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

# essere in grado di studiare le funzioni di più variabili reali, # essere in grado di calcolare integrali multipli, di linea e di superficie, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica, in particolare in fisica e ingegneria. # conoscere i principali elementi della teoria delle matrici e della geometria del piano e dello spazio. 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica e la Geometria.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

 

Knowledge and understanding. To have a solid background with knowledge of Mathematical Analysis in several variables, in view of applications in Industrial Engineering.

Ability to apply knowledge and understanding:

# Be able to study the functions of several real variables, # be able to calculate multiple, line and surface integrals, solve Cauchy problems for differential equations, # be aware of the possible applications of notions learned for subjects other than mathematics , particularly in physics and engineering. # to know the main elements of the theory of matrices and of the geometry of the plane and of space.

Autonomy of judgment. The exposition of contents and arguments will be carried out in order to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions regarding Mathematical Analysis and Geometry.

Learning ability. Topics to be explored, strictly related to teaching, will be proposed in order to stimulate the student's ability to learn independently.

Lezioni frontali e risoluzione di esercizi in aula (a distanza).

The course consists of frontal lessons using slides and classroom exercises (on line).

Una prima prova scritta con 5 esercizi da svolgere in tre ore. Il valore massimo della risposta a ciascun esercizio è riportato nel testo del compito. La prova è superata riportando una votazione maggiore o uguale a 18/30.Una seconda prova scritta con tre domande di teoria  da svolgere in un'ora ed eventuale discussione sulle risposte fornite. La seconda prova deve essere sostenuta nella stessa sessione in cui è stata superata la prima prova. La valutazione finale tiene conto dei risultati conseguiti nelle due prove.  

Final exam. A first written test with 5 exercises to be performed in three hours. The maximum value of the response to each exercise is shown in the text of the task. The test is passed with a score greater than or equal to 18/30. A second written test with three theoric questions to be answered in an hour and possible discussion on the answers provided. The second test must be sustained in the same session in which the first test was passed. The final evaluation takes into account the results achieved in the two tests.

Programma del corso

Capitolo 1. Serie numeriche: Serie convergenti e condizione di Cauchy (con dim). Serie divergenti positivamente e negativamente. Condizione necessaria per la convergenza (con dim.). Convergenza della serie armonica e della serie geometrica (con dim.). Serie a termini positivi. Carattere delle serie a termini positivi (con dim). Criterio del confronto e del confronto asintotico (con dim). Criterio dell’integrale improprio. Criterio del rapporto . Criterio della radice (con dim.). Criterio di condensazione. Serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti e proprietà. Serie a segni alterni e criterio di Leibniz (con dim.).

Capitolo 2. Successioni e serie di funzioni: Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Studio della convergenza puntuale ed uniforme. Continuità del limite uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (con dim) e di derivata. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme ed assoluta di una serie di funzioni. Continuità della somma di una serie, teorema di integrazione termine a termine e di derivazione termine a termine. Convergenza totale di una serie di funzioni. Convergenza uniforme di una serie totalmente convergente. Criterio di Weierstrass. Serie di potenze. Proprietà di convergenza assoluta (con dim.). Raggio di convergenza. Proprietà del raggio di convergenza. Calcolo del raggio di convergenza; criterio del rapporto e della radice. Serie ottenute per derivazione e integrazione e loro raggio di convergenza. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor e sviluppi delle funzioni elementari. Serie di Fourier. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppabilità in serie di Fourier. Uguaglianza di Parseval. Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario.

Capitolo 3. Spazi Euclidei: Forme bilineari e forme quadratiche: definizioni e proprietà. Matrice associata (con dim.) e cambiamenti di base (con dim.). Esempi. Segno di una forma quadratica, matrici definite, semidefinite e indefinite. Forma normale e Teorema di Sylvester, criterio di Sylvester (con dim. nel caso n= 2). Esempi. Spazi euclidei: Definizioni, norma, distanza e perpendicolarità. Esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (con dim.) e di Minkowski (con dim.), angolo fra due vettori, basi ortonormali e matrici, proiezione su un sottospazio, applicazione aggiunta ed endomorfismi simmetrici, teorema spettrale.

Capitolo 4. Geometria nel piano e nello spazio: Complementi di Geometria analitica del piano: Trasformazioni del piano. Coniche e loro classificazione. Geometria analitica dello spazio. Rette, piani e sfere: equazioni cartesiane e parametriche e posizioni reciproche. Cenni sulle quadriche. Trasformazioni nello spazio.

Capitolo 5. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche di R^n. Distanza e norma in R^n. Intorni sferici, intorni di un punto e punti di accumulazione in R^n. Insiemi aperti, chiusi e loro proprietà. Insiemi limitati in R^n. Chiusura, interno, frontiera e derivato di un sottoinsieme di R^n.Insiemi connessi per poligonali e insiemi connessi. Insiemi convessi e insiemi stellati. Successioni e limiti. Proprietà del limite di successioni. Insiemi compatti e loro caratterizzazione. Limite di funzioni. Caratterizzazione del limite di funzioni mediante successioni. Rette in R^n ed equazioni parametriche. Direzioni in Rn. Continuità per funzioni di più variabili. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Uniforme continuità. Teorema di Heine-Cantor. Funzioni Lipschitziane. Funzioni vettoriali di una variabile.

Capitolo 6. Calcolo differenziale in più variabili: Differenziabilità. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili (con dim.). Gradiente. Relazioni tra differenziabilità ed esistenza di derivate direzionali (con dim.). Teorema del differenziale totale (con dim.). Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz sull’inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor al secondo ordine. Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Componenti di una funzione a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivate direzionali, differenziale delle funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Teorema sulla differenziabilità delle funzioni composte. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Massimi e minimi relativi (propri), assoluti e vincolati. Matrice hessiana e sue proprietà. Punti stazionari. Condizione necessaria sul gradiente (con dim.). Studio dei punti di massimo e minimo relativi ed assoluti utilizzando la matrice Hessiana (con dim.). Condizioni necessarie e sufficienti sui minori dell’Hessiano. Caso particolare delle funzioni di due variabili. Punti di sella. Studio di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati. Massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Capitolo 7. Curve ed integrali curvilinei: Curve regolari. Curve equivalenti. Orientamento di una curva. Definizione della lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilità. Integrali curvilinei di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Teorema sulle primitive di un campo (con dim.). Caratterizzazioni dei campi conservativi continui (con dim.). Irrotazionalità dei campi conservativi (con dim.). Condizione sufficiente sugli aperti stellati. Calcolo delle primitive.

Capitolo 8. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Riduzione di un’equazione differenziale di ordine k ad un sistema di k equazioni differenziali del primo ordine. Equivalenza del problema di Cauchy con il problema di Liouville (con dim.). Lemma di Gronwall (con dim.). Teorema di esistenza e unicità globale (con dim.). Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza e unicità per equazioni di ordine superiore. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (con dim.). Equazioni lineari del primo ordine (con dim.). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 9. Integrali multipli: Misura di insiemi normali nel piano e nello spazio. Definizione di integrale di una funzione continua di più variabili. Suddivisioni, somme inferiori e superiori, Definizione di integrabilità. Formule di riduzione. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli.Cambiamento di variabili in coordinate polari in R^2. Cambiamento di variabili in coordinate sferiche e cilindriche in R^3.Superficie regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

 

 

Course program

Chapter 1. Numerical series: Convergent series and Cauchy condition (with dim). Positive and negative diverging series. Necessary condition for convergence (with dim.). Convergence of the harmonic series and of the geometric series (with dim.). Series with positive terms. Character of series with positive terms (with dim). Criterion of comparison and asymptotic comparison (with dim). Improper integral criterion. Ratio criterion. Root criterion (with dim.). Condensation criterion. Generalized harmonic series. Absolutely converging series and properties. Series with alternating signs and Leibniz criterion (with dim.).

Chapter 2. Sequences and series of functions: Sequences and series of functions. Pointwise and uniform convergence. Study of punctual and uniform convergence. Continuity of the uniform limit. Theorems of passage to the limit under the sign of integral (with dim) and of derivative. Function series. Pointwise, uniform and absolute convergence of a series of functions. Continuity of the sum of a series, term-to-term integration theorem and term-to-term derivation. Total convergence of a series of functions. Uniform convergence of a totally convergent series. Weierstrass criterion. Power series. Absolute convergence property (with dim.). Radius of convergence. Properties of the convergence radius. Calculation of the convergence radius; ratio and root criterion. Series obtained by derivation and integration and their radius of convergence. Taylor series. Taylor's series developability criterion and development of elementary functions. Fourier series. Trigonometric polynomials and trigonometric series. Fourier coefficients and Fourier series. Piecewise continuous and piecewise regular functions. Developability in Fourier series. Parseval equality. Fourier series of functions of arbitrary period.

Chapter 3. Euclidean spaces: Bilinear and quadratic forms: definitions and properties. Associated matrix (with dim.) And base changes (with dim.). Examples. Sign of a quadratic form, definite, semidefinite and indefinite matrices. Normal form and Sylvester's theorem, Sylvester's criterion (with dim. In the case n = 2). Examples. Euclidean spaces: Definitions, norm, distance and perpendicularity. Examples. Cauchy-Schwarz inequality (with dim.) And Minkowski (with dim.), Angle between two vectors, orthonormal bases and matrices, projection on a subspace, addition application and symmetric endomorphisms, spectral theorem.

Chapter 4. Geometry in the plane and in space: Complements of Analytic Geometry of the plane: Transformations of the plane. Conics and their classification. Analytic geometry of space. Lines, planes and spheres: Cartesian and parametric equations and reciprocal positions. Notes on quadrics. Transformations in space.

Chapter 5. Limits and continuity in several variables: Review of the algebraic properties of R^n. Distance and norm in R^n. Spherical neighborhoods, neighborhoods of a point and accumulation points in R^n. Open and closed sets and their properties. Bounded sets in R^n. Closure, interior, boundary and derivative of a subset of R^n. Connected sets for polygons and connected sets. Convex sets and starry sets. Sequences and limits. Properties of the limit of sequences. Compact sets and their characterization. Limit of functions. Characterization of the limit of functions by sequences. Lines in R^n and parametric equations. Directions in R^n. Continuity for functions of several variables. Weierstrass theorem. Intermediate value theorem. Uniform continuity. Heine-Cantor theorem. Lipschitz functions. Vector functions of a variable.

Chapter 6. Differential calculus in several variables: Differentiability. Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Continuity of differentiable functions (with dim.). Gradient. Relations between differentiability and existence of directional derivatives (with dim.). Total differential theorem (with dim.). Partial derivatives of higher order. Schwartz's theorem on the inversion of the derivation order. Taylor's second order formula. Functions of several vector-valued variables. Components of a vector-valued function. Limits, continuity, directional derivatives, differential of vector functions. Jacobian matrix. Theorem on the differentiability of compound functions. Maximum and minimum relative of a function of several variables. Maximum and minimum relative (own), absolute and constrained. Hessian matrix and its properties. Stationary points. Necessary condition on the gradient (with dim.). Study of relative and absolute maximum and minimum points using the Hessian matrix (with dim.). Necessary and sufficient conditions on Hessian minors. Special case of functions of two variables. Saddle points. Study of absolute maximums and minimums on closed and bounded sets. Maximum and minimum constrained; method of Lagrange multipliers.

Chapter 7. Curves and curvilinear integrals: Regular curves. Equivalent curves. Orientation of a curve. Definition of the length of a curve. Rectifiability theorem. Curvilinear integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Theorem on primitives of a field (with dim.). Characterizations of continuous conservative fields (with dim.). Irrotationality of conservative fields (with dim.). Sufficient condition on an open starlike set. Calculation of primitives.

Chapter 8. Differential equations: local, maximal, global solutions. Cauchy's problem. Reduction of a differential equation of order k to a system of k first order differential equations. Equivalence of the Cauchy problem with the Liouville problem (with dim.). Gronwall lemma (with dim.). Theorem of existence and global uniqueness (with proof). Local existence and uniqueness theorem. Existence and uniqueness theorem for higher order equations. Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (with dim.). Linear equations of the first order (with dim.). Lagrange method or the variation of parameters. Equations with constant coefficients: description of the solution method. Other elementary integrable equations: with separable, homogeneous, Bernoulli, autonomous variables.

Chapter 9. Multiple integrals: Measurement of normal sets in the plane and in space. Definition of integral of a continuous function of several variables. Subdivisions, lower and upper sums, Definition of integrability. Reduction formulas. Theorem of change of variable for multiple integrals. Change of variables in polar coordinates in R^2. Change of variables in spherical and cylindrical coordinates in R^3. Regular surface, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

 

A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.

N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone: Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, Bologna, 2020.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 2, parte I e II, Liguori Editore,  Napoli, 1991.

 

ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA II (MOD. A/B) (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 29/09/2020 al 18/12/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Il corso di Analisi Matematica I e nozioni di Geometria.

Mathematical Analysis I, notions about  Geometry 

Capitolo 1. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche, metriche e topologiche di R^n. 
Continuità per funzioni di più variabili. Teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi, di Heine-Cantor. 

Capitolo 2. Calcolo differenziale in più variabili: Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. 

Capitolo 3. Curve ed integrali di linea. Curve regolari. Curve equivalenti. Definizione e calcolo della lunghezza di una curva. 
Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Calcolo dei potenziali. 

Capitolo 4. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità globale (*). Teorema di esistenza e unicità  locale. Teorema di esistenza e unicità  per equazioni di ordine superiore. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Equazioni del I° ordine (*). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 5. Integrali multipli: La misura di Lebesgue in R^n.  L'integrale di Lebesgue in R^n.  Proprietà dell'integrale. Teorema di Fubini-Tonelli e del sottografico. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Passaggio al limite sotto il segno d'integrale: Teorema della convergenza monotona (Beppo Levi),  Teorema della convergenza dominata (Lebesgue). Integrali dipendenti da parametri: continuità e differenziabilità. Gli spazi L^p(E) per p=1,2,\infinito. Spazi di Hilbert e prodotto scalare in L^2(E). Basi hilbertiane. Uguaglianze di Bessel e di Parseval. Superficie regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

Capitolo 6. Analisi Complessa: Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann (*) e conseguenze. Serie di potenze in campo complesso. Le funzioni elementari. Cammini e integrali curvilinei. Teorema di Cauchy negli stellati (*). Formula di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono analitiche. Teorema fondamentale dell'algebra. Circuiti omotopici e Teorema di Cauchy. Singolarità e serie di Laurent in una corona e in un punto singolare. Classificazione delle singolarità. Residui, metodi di calcolo e il Teorema dei residui. I Teoremi di Jordan. Applicazioni al calcolo di integrali.

Capitolo 7. Trasformata di Fourier: La Trasformata di Fourier in L^1(R^n). Proprietà della trasformata. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Convoluzione. 
Teorema di inversione. La Trasformata di Fourier in L^2(R^n). Principali trasformate (*).

Capitolo 8. Trasformata di Laplace:  Definizione e proprietà generali. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Inversione della trasformata di Laplace, formula di Heaviside. Applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali. Principali trasformate (*).

 

Contents.

Chapter 1. Limits and continuity in several variables: Recall on the algebraic and topological properties of R^n. Continuity for functions of several variables. Weierstrass theorem. Theorem of intermediate values. Uniform continuity. Heine-Cantor's theorem. 

Chapter 2. Differential calculus in several variables: Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Consequences of differentiability. Local maxima and  minima of a function of several variables; necessary condition on the gradient (*); necessary and /or sufficient conditions (*) on the Hessian matrix. Coordinate changes (linear, polar, cylindrical and spherical). Constrained maxima and minima: parametric and Cartesian constraints, implicit constraints. Lagrange multiplier method.

Chapter 3. Curves and line integrals: Regular curves. Equivalent curves. Definition of the length of a curve.
Rectification theorem (*). Line integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Theorem on the potentials of a field (*). Characterization of continuous conservative fields (*). Necessary condition for C^1 (*) fields. Sufficient condition on open star-like sets. Calculation of potentials.

Chapter 4. Differential equations: local solutions, maximal, global. Cauchy problem. Equivalence with an integral equation (*). Gronwall's Lemma (*). Theorem of global existence and uniqueness (*). Theorem of local existence and uniqueness. Theorem of existence and uniqueness for higher order equations.
Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (*). Equations of the first order (*). Lagrange method or parameter variation. Equations with constant coefficients: description of the method of resolution. Other elementary integrable equations: separable variables, homogeneous, Bernoulli, autonomous.

Chapter 5. Multiple integrals: The Lebesgue measure in R^n. Measure of rectangles and pluri-rectangles, external measure in R^n. The measurable sets and the Lebesgue measure in R^n. Properties of measurable sets and of measures. Measurable functions and their properties. Integral of a simple function and of a positive function. Integral of variable sign functions. Properties of the integral. Theorem of Fubini-Tonelli and of the sub-graph. Double and triple integrals. Reduction formulas in the case of normal domains. Change of Variables theorem for multiple integrals. Applications. Integrals for unbounded functions and sets. Comparison theorems. Passage to the limit under the integral sign: Theorem of the monotonic convergence (Beppo Levi), Theorem of the dominated convergence (Lebesgue). Parameter-dependent integrals: continuity and differentiability. The spaces L^p (E) for p = 1,2, \infinity. Holder and Minkowski inequalities. Hilbert spaces and scalar product in L^2 (E). Hilbertian bases. Equations of Bessel and Parseval.
Regular surface, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

Chapter 6. Complex Analysis: Sequences, limits and continuity of complex functions. Holomorphic functions. Cauchy-Riemann theorem (*) and consequences. Series of powers in the complex field. The elementary functions. Path and curvilinear integrals. Properties. Cauchy's theorem in the star-like domains (*). Cauchy formula. Holomorphic functions are analytical. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. Homotopic circuits and Cauchy's theorem. Singularity and Laurent series in a crown and in a singular point. Classification of singularities. Residues, calculation methods and Residues Theorem. Jordan's Theorems. Applications for the calculation of integrals.

Chapter 7. Fourier Transform: The Fourier Transform in L^1 (R^n). Properties of the Fourier transform. Algebraic rules (*) and analytics transformation rules. Convolution. Inversion theorem. The Fourier Transform in L^2 (R^n). Main transformations (*).

Chapter 8. Laplace transform: Definition and general properties. Algebraic rules (*) and analytic transformation rules. Reversal of the Laplace transform, sufficient conditions, Heaviside formula. Applications for solving differential problems. Main transformations (*).

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Reale in più variabili e Analisi Complessa, in vista delle applicazioni nell'ingegneria dell'Informazione.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di studiare le funzioni di più variabili reali e di variabile complessa, la trasformata di Fourier e di Laplace e la teoria dell'integrale di Lebesgue, # essere in grado di calcolare integrali multipli, di linea e di superficie, nonché mediante il teorema dei residui, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica, in particolare in fisica e ingegneria.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

 

Knowledge and understanding. To possess a solid preparation with knowledge of Real Analysis in several variables and Complex Analysis, in view of applications in Information Engineering.

Ability to apply knowledge and understanding:

# To be able to study the functions of multiple real variables and one complex variable, the Fourier and Laplace transforms and the Lebesgue integration theory,

# To be able to compute multiple integrals, line and surface integrals, as well as by the residuaes theorem, solve Cauchy problems for differential equations,

# To be aware of the possible applications of the concepts learned for subjects other than mathematics, in particular in physics and engineering.

Autonomy of judgment. The exposition of the contents and arguments will be carried out in such a way as to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and to identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions concerning real and complex analysis.

Learning ability. Topics to be explored will be proposed, closely related to the teaching, in order to stimulate the student's autonomous learning ability.

Lezioni frontali e risoluzione di esercizi in aula.

The course consists of frontal lessons using slides and classroom exercises.

Una prima prova scritta con 5 esercizi da svolgere in tre ore. Il valore massimo della risposta a ciascun esercizio è riportato nel testo del compito. La prova è superata riportando una votazione maggiore o uguale a 18/30.Una seconda prova scritta con tre domande di teoria  da svolgere in un'ora ed eventuale discussione sulle risposte fornite. La seconda prova deve essere sostenuta nella stessa sessione in cui è stata superata la prima prova. La valutazione finale tiene conto dei risultati conseguiti nelle due prove.  

Final exam. A first written test with 5 exercises to be performed in three hours. The maximum value of the response to each exercise is shown in the text of the task. The test is passed with a score greater than or equal to 18/30. A second written test with three theoric questions to be answered in an hour and possible discussion on the answers provided. The second test must be sustained in the same session in which the first test was passed. The final evaluation takes into account the results achieved in the two tests.

Programma del corso-

Capitolo 1. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche e topologiche di R^n. Continuità per funzioni di più variabili. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Uniforme continuità. Teorema di Heine-Cantor. Funzioni Lipschitziane.  Funzioni vettoriali di una variabile. 

Capitolo 2. Calcolo differenziale in più variabili: Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Piano tangente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz sull'invertibilità dell'ordine di derivazione. Formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di più variabili. Classificazione e proprietà delle forme quadratiche. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili; condizione necessaria sul gradiente (*); condizioni necessarie e/o sufficienti(*) sulla matrice hessiana. Differenziabilità di funzioni a valori vettoriali. Differenziabilità della funzione composta. Cambiamenti di coordinate (lineari, polari, cilindriche e sferiche). Massimi e minimi vincolati: vincoli parametrici e cartesiani, vincoli impliciti. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 

Capitolo 3. Curve ed integrali di linea: Curve regolari. Curve equivalenti. Definizione della lunghezza di una curva. 
Teorema di rettificabilità (*). Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Teorema sui  potenziali di un campo (*). Caratterizzazioni dei campi conservativi continui (*). Condizione necessaria per i campi C^1 (*). 
Condizione sufficiente sugli aperti stellati. Calcolo deli potenziali. 

Capitolo 4. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Equivalenza con una equazione integrale (*). Lemma di Gronwall (*). Teorema di esistenza e unicità globale (*). Teorema di esistenza e unicità  locale. Teorema di esistenza e unicità  per equazioni di ordine superiore. 
Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Equazioni del I° ordine (*). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 5. Integrali multipli: La misura di Lebesgue in R^n. Misura di rettangoli e pluri-rettangoli, misura esterna in R^n. Gli insiemi misurabili e la misura di Lebesgue in R^n. Proprietà degli insiemi misurabili e della misura. Funzioni misurabili e loro proprietà. Integrale di una funzione semplice e di una funzione positiva. Integrale di funzioni di segno qualunque. Proprietà dell'integrale. Teorema di Fubini-Tonelli e del sottografico. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Cambiamento di variabili lineari, 
in coordinate polari in R^2, in coordinate cilindriche e sferiche in R^3. Applicazioni. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Teoremi di confronto. 
Passaggio al limite sotto il segno d'integrale: Teorema della convergenza monotona (Beppo Levi),  Teorema della convergenza dominata (Lebesgue). Integrali dipendenti da parametri: continuità e differenziabilità.  Gli spazi L^p(E) per p=1,2,\infinito. Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Spazi di Hilbert e prodotto scalare in L^2(E). Basi hilbertiane. Uguaglianze di Bessel e di Parseval. 
Superficie regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

Capitolo 6. Analisi Complessa: Successioni, limiti e continuità di funzioni complesse. Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann (*) e conseguenze. Serie di potenze in campo complesso. Le funzioni elementari. Cammini e integrali curvilinei. Proprietà. Teorema di Cauchy negli stellati (*). 
Formula di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono analitiche. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Circuiti omotopici e Teorema di Cauchy. Singolarità e serie di Laurent in una corona e in un punto singolare. Classificazione delle singolarità. Residui, metodi di calcolo e il Teorema dei residui. I Teoremi di Jordan. Applicazioni al calcolo di integrali.

Capitolo 7. Trasformata di Fourier: La Trasformata di Fourier in L^1(R^n). Proprietà della trasformata. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Convoluzione. Teorema di inversione. La Trasformata di Fourier in L^2(R^n). Principali trasformate (*).

Capitolo 8. Trasformata di Laplace:  Definizione e proprietà generali. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Inversione della trasformata di Laplace, condizioni sufficienti, formula di Heaviside. Applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali. Principali trasformate (*).

 

Course program.

Chapter 1. Limits and continuity in several variables: Recall on the algebraic and topological properties of R^n. Continuity for functions of several variables. Weierstrass theorem. Theorem of intermediate values. Uniform continuity. Heine-Cantor's theorem. Lipschitzian functions. Vector functions of one variable.

Chapter 2. Differential calculus in several variables: Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Consequences of differentiability. Tangent plane. Partial derivatives of higher order. Schwarz's theorem on the invertibility of the derivation order. Taylor formula of the second order for functions of several variables. Classification and properties of quadratic forms. Local maxima and  minima of a function of several variables; necessary condition on the gradient (*); necessary and /or sufficient conditions (*) on the Hessian matrix. Differentiation of functions with vector values. Differentiation of the composite function. Coordinate changes (linear, polar, cylindrical and spherical). Constrained maxima and minima: parametric and Cartesian constraints, implicit constraints. Lagrange multiplier method.

Chapter 3. Curves and line integrals: Regular curves. Equivalent curves. Definition of the length of a curve.
Rectification theorem (*). Line integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Theorem on the potentials of a field (*). Characterization of continuous conservative fields (*). Necessary condition for C^1 (*) fields. Sufficient condition on open star-like sets. Calculation of potentials.

Chapter 4. Differential equations: local solutions, maximal, global. Cauchy problem. Equivalence with an integral equation (*). Gronwall's Lemma (*). Theorem of global existence and uniqueness (*). Theorem of local existence and uniqueness. Theorem of existence and uniqueness for higher order equations.
Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (*). Equations of the first order (*). Lagrange method or parameter variation. Equations with constant coefficients: description of the method of resolution. Other elementary integrable equations: separable variables, homogeneous, Bernoulli, autonomous.

Chapter 5. Multiple integrals: The Lebesgue measure in R^n. Measure of rectangles and pluri-rectangles, external measure in R^n. The measurable sets and the Lebesgue measure in R^n. Properties of measurable sets and of measures. Measurable functions and their properties. Integral of a simple function and of a positive function. Integral of variable sign functions. Properties of the integral. Theorem of Fubini-Tonelli and of the sub-graph. Double and triple integrals. Reduction formulas in the case of normal domains. Change of Variables theorem for multiple integrals. Change of linear variables,
in polar coordinates in R^2, in cylindrical and spherical coordinates in R^3. Applications. Integrals for unbounded functions and sets. Comparison theorems.
Passage to the limit under the integral sign: Theorem of the monotonic convergence (Beppo Levi), Theorem of the dominated convergence (Lebesgue). Parameter-dependent integrals: continuity and differentiability. The spaces L^p (E) for p = 1,2, \infinity. Holder and Minkowski inequalities. Hilbert spaces and scalar product in L^2 (E). Hilbertian bases. Equations of Bessel and Parseval.
Regular surface, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

Chapter 6. Complex Analysis: Sequences, limits and continuity of complex functions. Holomorphic functions. Cauchy-Riemann theorem (*) and consequences. Series of powers in the complex field. The elementary functions. Path and curvilinear integrals. Properties. Cauchy's theorem in the star-like domains (*).
Cauchy formula. Holomorphic functions are analytical. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. Homotopic circuits and Cauchy's theorem. Singularity and Laurent series in a crown and in a singular point. Classification of singularities. Residues, calculation methods and Residues Theorem. Jordan's Theorems. Applications for the calculation of integrals.

Chapter 7. Fourier Transform: The Fourier Transform in L^1 (R^n). Properties of the Fourier transform. Algebraic rules (*) and analytics transformation rules. Convolution. Inversion theorem. The Fourier Transform in L^2 (R^n). Main transformations (*).

Chapter 8. Laplace transform: Definition and general properties. Algebraic rules (*) and analytic transformation rules. Reversal of the Laplace transform, sufficient conditions, Heaviside formula. Applications for solving differential problems. Main transformations (*).

A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.

N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone: Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, Bologna, 2020.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 2, parte I e II, Liguori Editore,  Napoli, 1991.

F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Funzioni analitiche, trasformate, equazioni differenziali, Esculapio, Bologna, 2011.

F.Tomarelli: Esercizi di Metodi Matematici per l'Ingegneria, CLUP, Milano, 1987.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2020/2021

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 22/02/2021 al 04/06/2021)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Tutti i corsi di Analisi matematica I-II-III

All the courses of Mathematical Analysis i I-II-III

Nozioni fondamentali di Analisi Complessa, Trasformata di Laplace, nozioni di base della teoria dell'integrazione di Lebesgue.

Fundamentals of Complex Analysis, Laplace Transform, basic notions of Lebesgue integration theory.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Complessa e nozioni di teoria dell'integrale di Lebesgue.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di utilizzare i numeri complessi e le funzioni di variabile complessa, la trasformata di Laplace e la teoria dell'integrale di Lebesgue, # essere in grado di calcolare integrali mediante il teorema dei residui, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

 

Knowledge and understanding. To possess a solid preparation with knowledge of Complex Analysis and notions of Lebesgue integration theory.

Ability to apply knowledge and understanding:

# To be able to use complex numbers and complex variable functions, the Laplace transform and Lebesgue integration theory,

# To be able to calculate integrals using the residues theorem, solve Cauchy problems for linear differential equations,

# To be aware of the possible applications of concepts learned for subjects other than mathematics.

Autonomy of judgment. The exposition of the contents and arguments will be carried out in such a way as to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and to identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions concerning real and complex analysis.

Learning ability. Topics to be explored will be proposed, closely related to the teaching, in order to stimulate the student's autonomous learning ability.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula. 

The course consists of frontal lessons and classroom exercises.

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti)  da svolgere in due ore. La prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. 

A written test with 2 exercises (8 + 8 points) and 2 theoretical questions (7 + 7 points) to be performed in two hours. The test is passed by reporting a score greater than or equal to 18/30.

Programma del corso:  

Richiami sui numeri complessi. il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

 

Course program:

Recalls on complex numbers. the field of complex numbers. Algebraic, trigonometric, exponential form of complex numbers. De Moivre's formula. Exponential in the complex field. Euler's formula. Sine and cosine. Other elementary transcendents (hyperbolic sine and cosine). Polydromy and Riemann surface; n-th roots, logarithms, power with complex exponent. Topology of C. The point at infinity. Successions of complex numbers. Limits and continuity of complex functions.

Derivability in a complex sense. Cauchy-Riemann theorem. Goursat theorem (without proof). Consequences of the Cauchy-Riemann theorem. Harmonic functions. Power series in C. Analytic functions. Series development of elementary functions.

Integral of a complex function along a curve. Cauchy's theorem about simply connected domains. Corollaries of the Cauchy theorem about simply connected domains. Winding index. Morera's theorem. Integral Formula of Cauchy. Analyticity theorem of holomorphic functions. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. The Gauss integral mean theorem. Theorem of uniqueness of the analytic prolongation. Holomorphic prolongation through a regular curve. Schwarz reflection theorem. Schwarz's Lemma. Riemann's theorem (without proof). Weierstrass convergence theorem.

Laurent series. Laurent theorem in circular crowns. Isolated singularity points. Development of Laurent in a point of isolated singularity. Residue of a function in an isolated singularity point. Classification of isolated singularity points. Characterization of isolated singularities. Picard's theorem (without proof). Methods for calculating residues. Singularity in the point at infinity. Remnant of a function at the point at infinity. Residue theorem. Residues theorem II. The large circle theorem. Small circle theorem. Lemma of Jordan. Calculation of integrals with the use of the residues theorem. Integral in the sense of the main value. Calculation of integrals with the use of the residual theorem and polydrome functions. Calculation of integrals defined between 0 and 2 \ pi of rational functions of \ cos\theta and \sin\theta. Heaviside formula (without proof). Logarithmic indicator. Theorem of the logarithmic indicator. Rouché's theorem.

Laplace transform: L-transformable functions. Abscissa of absolute convergence and transformation of Laplace. First properties of the Laplace transform. Transformation of powers, exponential and trigonometric functions. Algebraic rules of transformation: change of scale, translation, modulation. Absolutely continuous functions according to Vitali. Characterization of AC functions. Functions locally AC. Analytical properties of the Laplace transform: transformation of derivatives. Transformation of the primitive (without proof). Convolution product of two L-transformable functions. Transformation of convolution (without proof). Solution of linear differential equations by the Laplace transform.

Elements of Lebesgue integration theory: The Lebesgue measure and its properties. Measurable functions. Lebesgue integral. Product measure and multiple integrals. Theorems of passage to the limit under the sign of integral. Integration by series.

M.Carriero, S.Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664

F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W.Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 24/02/2020 al 29/05/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Tutti i corsi di Analisi matematica I-II-III

All the courses of Mathematical Analysis i I-II-III

Nozioni fondamentali di Analisi Complessa, Trasformata di Laplace, nozioni di base della teoria dell'integrazione di Lebesgue.

Fundamentals of Complex Analysis, Laplace Transform, basic notions of Lebesgue integration theory.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Complessa e nozioni di teoria dell'integrale di Lebesgue.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di utilizzare i numeri complessi e le funzioni di variabile complessa, la trasformata di Laplace e la teoria dell'integrale di Lebesgue, # essere in grado di calcolare integrali mediante il teorema dei residui, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

 

Knowledge and understanding. To possess a solid preparation with knowledge of Complex Analysis and notions of Lebesgue integration theory.

Ability to apply knowledge and understanding:

# To be able to use complex numbers and complex variable functions, the Laplace transform and Lebesgue integration theory,

# To be able to calculate integrals using the residues theorem, solve Cauchy problems for linear differential equations,

# To be aware of the possible applications of concepts learned for subjects other than mathematics.

Autonomy of judgment. The exposition of the contents and arguments will be carried out in such a way as to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and to identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions concerning real and complex analysis.

Learning ability. Topics to be explored will be proposed, closely related to the teaching, in order to stimulate the student's autonomous learning ability.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula. 

The course consists of frontal lessons and classroom exercises.

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti)  da svolgere in due ore. La prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. 

A written test with 2 exercises (8 + 8 points) and 2 theoretical questions (7 + 7 points) to be performed in two hours. The test is passed by reporting a score greater than or equal to 18/30.

Programma del corso:  

Richiami sui numeri complessi. il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

 

Course program:

Recalls on complex numbers. the field of complex numbers. Algebraic, trigonometric, exponential form of complex numbers. De Moivre's formula. Exponential in the complex field. Euler's formula. Sine and cosine. Other elementary transcendents (hyperbolic sine and cosine). Polydromy and Riemann surface; n-th roots, logarithms, power with complex exponent. Topology of C. The point at infinity. Successions of complex numbers. Limits and continuity of complex functions.

Derivability in a complex sense. Cauchy-Riemann theorem. Goursat theorem (without proof). Consequences of the Cauchy-Riemann theorem. Harmonic functions. Power series in C. Analytic functions. Series development of elementary functions.

Integral of a complex function along a curve. Cauchy's theorem about simply connected domains. Corollaries of the Cauchy theorem about simply connected domains. Winding index. Morera's theorem. Integral Formula of Cauchy. Analyticity theorem of holomorphic functions. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. The Gauss integral mean theorem. Theorem of uniqueness of the analytic prolongation. Holomorphic prolongation through a regular curve. Schwarz reflection theorem. Schwarz's Lemma. Riemann's theorem (without proof). Weierstrass convergence theorem.

Laurent series. Laurent theorem in circular crowns. Isolated singularity points. Development of Laurent in a point of isolated singularity. Residue of a function in an isolated singularity point. Classification of isolated singularity points. Characterization of isolated singularities. Picard's theorem (without proof). Methods for calculating residues. Singularity in the point at infinity. Remnant of a function at the point at infinity. Residue theorem. Residues theorem II. The large circle theorem. Small circle theorem. Lemma of Jordan. Calculation of integrals with the use of the residues theorem. Integral in the sense of the main value. Calculation of integrals with the use of the residual theorem and polydrome functions. Calculation of integrals defined between 0 and 2 \ pi of rational functions of \ cos\theta and \sin\theta. Heaviside formula (without proof). Logarithmic indicator. Theorem of the logarithmic indicator. Rouché's theorem.

Laplace transform: L-transformable functions. Abscissa of absolute convergence and transformation of Laplace. First properties of the Laplace transform. Transformation of powers, exponential and trigonometric functions. Algebraic rules of transformation: change of scale, translation, modulation. Absolutely continuous functions according to Vitali. Characterization of AC functions. Functions locally AC. Analytical properties of the Laplace transform: transformation of derivatives. Transformation of the primitive (without proof). Convolution product of two L-transformable functions. Transformation of convolution (without proof). Solution of linear differential equations by the Laplace transform.

Elements of Lebesgue integration theory: The Lebesgue measure and its properties. Measurable functions. Lebesgue integral. Product measure and multiple integrals. Theorems of passage to the limit under the sign of integral. Integration by series.

M.Carriero, S.Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664

F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W.Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)
MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING

Degree course COMMUNICATION ENGINEERING AND ELECTRONIC TECHNOLOGIES

Subject area MAT/05

Course type Laurea Magistrale

Credits 9.0

Teaching hours Ore Attività frontale: 81.0

For matriculated on 2019/2020

Year taught 2019/2020

Course year 1

Semestre Primo Semestre (dal 23/09/2019 al 20/12/2019)

Language INGLESE

Subject matter PERCORSO COMUNE (999)

Location Lecce


Prerequisites: Ordinary differential equations, multiple, line and surface integrals. Complex Analysis, linear algebra, elementary physics. 

Measure theory. Theory of distributions. Elements of Functional Analysis. Complements on Ordinary Differential Equations. Equations of Mathematical Physics. 

Aims and Scope: Concepts of advanced mathematical Analysis - Problem solving for ordinary and partial differential equations arising from physics or engineering.

Lessons and exercises

Final examination: The final (written) exam consists in solving 2 exercises (8+8 points) and answering 2 theoretical questions (7+7 points) related with the topics of the course.

Measure theory. (hours: 9)  Positive measures. Measurable functions. Integral. Limit theorems in integration theory. Real and vector measures, total variation. Absolute continuity and singularity of measures. Image measure. Lebesgue's Measure in R^n. Product Measures and Fubini's Theorem. Parameters dependent integrals. Functions Gamma and Beta of Euler. Convolution.


Functions of bounded variation (BV) and Riemann-Stieltjes Integral. (hours: 9) Pointwise and essential variation. Monotonous functions. Features of bounded variation functions. Absolutely continuous functions. Cantor's function. Definition and existence of the integral of Riemann-Stieltjes. Integral's properties. Hausdorff's measures. Self-similar fractals.


Theory of distributions. (hours: 8) Definition and examples. Derivative of a distribution. Examples of Differential Equations in D'. Temperate distributions. Support of a Distribution, convolution. Fourier Transform in L^1, L^2, S, S'.

Elements of Functional Analysis. (ore: 8) The spaces L^1, L^2. Banach and Hilbert spaces. Scalar products and induced norms, orthonormal bases. Fourier Series in L^2. Linear, continuous, compact Operators. Spectral Theory of Compact Self-adjoint Operators.


Complements on Ordinary Differential Equations. (hours: 10) Sturm-Liouville theory for boundary value problems. Connections between boundary value problems and orthogonal developments. Differential Equations with analytical coefficients: regular case; Singular case and Frobenius theorem. Examples of Ordinary Differential Equations Solvable by Series: Equations of Bessel and Legendre.


Equations of Mathematical Physics. (hours: 12) Examples of Partial Differential Equations solved by the method of separation of variables, by series developments and Fourier transform. Boundary value problems, initial value problems, and mixed problems. Heat equation in the strip, and in the whole space. Wave equation in one, two and three dimensions. Wave equation in the half-line and in an interval. Eigenvalues of Laplacean in the square, in the disc, in the ball. Hermite polynomials.

References.
M. Carriero, L. Anzilli: Introduzione alle Equazioni a Derivate Parziali Lineari, Quaderni di Matematica, 1/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15679/13592

S.Fornaro, D.Pallara, Appunti del corso di Metodi matematici per l'Ingegneria, web page of prof. Pallara.

F. Tomarelli - Mathematical Analysis tools for Engineering, Società Editrice Esculapio,  Bologna, 2019.
F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. Eng. ver.: Analytic functions, Integral transforms, Differential equations, Esculapio,  Bologna, II Ed., 2015. 


E.Kreyszig: Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1993.

A.N.Tichonov, A.A.Samarskij, Equazioni della fisica matematica, MIR, Mosca, 1981.

A.N.Tichonov, A.A.Samarskij, B.M.Budak, Problemi della fisica matematica, MIR, Mosca, 1981.

MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 24/09/2018 al 21/12/2018)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

Il corso di Analisi Matematica I e nozioni di Geometria.

Mathematical Analysis I, notions about  Geometry 

Capitolo 1. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche, metriche e topologiche di R^n. 
Continuità per funzioni di più variabili. Teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi, di Heine-Cantor. 

Capitolo 2. Calcolo differenziale in più variabili: Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. 

Capitolo 3. Curve ed integrali di linea. Curve regolari. Curve equivalenti. Definizione e calcolo della lunghezza di una curva. 
Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Calcolo dei potenziali. 

Capitolo 4. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità globale (*). Teorema di esistenza e unicità  locale. Teorema di esistenza e unicità  per equazioni di ordine superiore. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Equazioni del I° ordine (*). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 5. Integrali multipli: La misura di Lebesgue in R^n.  L'integrale di Lebesgue in R^n.  Proprietà dell'integrale. Teorema di Fubini-Tonelli e del sottografico. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Passaggio al limite sotto il segno d'integrale: Teorema della convergenza monotona (Beppo Levi),  Teorema della convergenza dominata (Lebesgue). Integrali dipendenti da parametri: continuità e differenziabilità. Gli spazi L^p(E) per p=1,2,\infinito. Spazi di Hilbert e prodotto scalare in L^2(E). Basi hilbertiane. Uguaglianze di Bessel e di Parseval. Superficie regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

Capitolo 6. Analisi Complessa: Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann (*) e conseguenze. Serie di potenze in campo complesso. Le funzioni elementari. Cammini e integrali curvilinei. Teorema di Cauchy negli stellati (*). Formula di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono analitiche. Teorema fondamentale dell'algebra. Circuiti omotopici e Teorema di Cauchy. Singolarità e serie di Laurent in una corona e in un punto singolare. Classificazione delle singolarità. Residui, metodi di calcolo e il Teorema dei residui. I Teoremi di Jordan. Applicazioni al calcolo di integrali.

Capitolo 7. Trasformata di Fourier: La Trasformata di Fourier in L^1(R^n). Proprietà della trasformata. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Convoluzione. 
Teorema di inversione. La Trasformata di Fourier in L^2(R^n). Principali trasformate (*).

Capitolo 8. Trasformata di Laplace:  Definizione e proprietà generali. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Inversione della trasformata di Laplace, formula di Heaviside. Applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali. Principali trasformate (*).

 

Contents.

Chapter 1. Limits and continuity in several variables: Recall on the algebraic and topological properties of R^n. Continuity for functions of several variables. Weierstrass theorem. Theorem of intermediate values. Uniform continuity. Heine-Cantor's theorem. 

Chapter 2. Differential calculus in several variables: Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Consequences of differentiability. Local maxima and  minima of a function of several variables; necessary condition on the gradient (*); necessary and /or sufficient conditions (*) on the Hessian matrix. Coordinate changes (linear, polar, cylindrical and spherical). Constrained maxima and minima: parametric and Cartesian constraints, implicit constraints. Lagrange multiplier method.

Chapter 3. Curves and line integrals: Regular curves. Equivalent curves. Definition of the length of a curve.
Rectification theorem (*). Line integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Theorem on the potentials of a field (*). Characterization of continuous conservative fields (*). Necessary condition for C^1 (*) fields. Sufficient condition on open star-like sets. Calculation of potentials.

Chapter 4. Differential equations: local solutions, maximal, global. Cauchy problem. Equivalence with an integral equation (*). Gronwall's Lemma (*). Theorem of global existence and uniqueness (*). Theorem of local existence and uniqueness. Theorem of existence and uniqueness for higher order equations.
Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (*). Equations of the first order (*). Lagrange method or parameter variation. Equations with constant coefficients: description of the method of resolution. Other elementary integrable equations: separable variables, homogeneous, Bernoulli, autonomous.

Chapter 5. Multiple integrals: The Lebesgue measure in R^n. Measure of rectangles and pluri-rectangles, external measure in R^n. The measurable sets and the Lebesgue measure in R^n. Properties of measurable sets and of measures. Measurable functions and their properties. Integral of a simple function and of a positive function. Integral of variable sign functions. Properties of the integral. Theorem of Fubini-Tonelli and of the sub-graph. Double and triple integrals. Reduction formulas in the case of normal domains. Change of Variables theorem for multiple integrals. Applications. Integrals for unbounded functions and sets. Comparison theorems. Passage to the limit under the integral sign: Theorem of the monotonic convergence (Beppo Levi), Theorem of the dominated convergence (Lebesgue). Parameter-dependent integrals: continuity and differentiability. The spaces L^p (E) for p = 1,2, \infinity. Holder and Minkowski inequalities. Hilbert spaces and scalar product in L^2 (E). Hilbertian bases. Equations of Bessel and Parseval.
Regular surface, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

Chapter 6. Complex Analysis: Sequences, limits and continuity of complex functions. Holomorphic functions. Cauchy-Riemann theorem (*) and consequences. Series of powers in the complex field. The elementary functions. Path and curvilinear integrals. Properties. Cauchy's theorem in the star-like domains (*). Cauchy formula. Holomorphic functions are analytical. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. Homotopic circuits and Cauchy's theorem. Singularity and Laurent series in a crown and in a singular point. Classification of singularities. Residues, calculation methods and Residues Theorem. Jordan's Theorems. Applications for the calculation of integrals.

Chapter 7. Fourier Transform: The Fourier Transform in L^1 (R^n). Properties of the Fourier transform. Algebraic rules (*) and analytics transformation rules. Convolution. Inversion theorem. The Fourier Transform in L^2 (R^n). Main transformations (*).

Chapter 8. Laplace transform: Definition and general properties. Algebraic rules (*) and analytic transformation rules. Reversal of the Laplace transform, sufficient conditions, Heaviside formula. Applications for solving differential problems. Main transformations (*).

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Reale in più variabili e Analisi Complessa, in vista delle applicazioni nell'ingegneria dell'Informazione.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di studiare le funzioni di più variabili reali e di variabile complessa, la trasformata di Fourier e di Laplace e la teoria dell'integrale di Lebesgue, # essere in grado di calcolare integrali multipli, di linea e di superficie, nonché mediante il teorema dei residui, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica, in particolare in fisica e ingegneria.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

 

Knowledge and understanding. To possess a solid preparation with knowledge of Real Analysis in several variables and Complex Analysis, in view of applications in Information Engineering.

Ability to apply knowledge and understanding:

# To be able to study the functions of multiple real variables and one complex variable, the Fourier and Laplace transforms and the Lebesgue integration theory,

# To be able to compute multiple integrals, line and surface integrals, as well as by the residuaes theorem, solve Cauchy problems for differential equations,

# To be aware of the possible applications of the concepts learned for subjects other than mathematics, in particular in physics and engineering.

Autonomy of judgment. The exposition of the contents and arguments will be carried out in such a way as to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and to identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions concerning real and complex analysis.

Learning ability. Topics to be explored will be proposed, closely related to the teaching, in order to stimulate the student's autonomous learning ability.

Lezioni frontali e risoluzione di esercizi in aula.

The course consists of frontal lessons using slides and classroom exercises.

Una prima prova scritta con 5 esercizi da svolgere in tre ore. Il valore massimo della risposta a ciascun esercizio è riportato nel testo del compito. La prova è superata riportando una votazione maggiore o uguale a 18/30.Una seconda prova scritta con tre domande di teoria  da svolgere in un'ora ed eventuale discussione sulle risposte fornite. La seconda prova deve essere sostenuta nella stessa sessione in cui è stata superata la prima prova. La valutazione finale tiene conto dei risultati conseguiti nelle due prove.  

Final exam. A first written test with 5 exercises to be performed in three hours. The maximum value of the response to each exercise is shown in the text of the task. The test is passed with a score greater than or equal to 18/30. A second written test with three theoric questions to be answered in an hour and possible discussion on the answers provided. The second test must be sustained in the same session in which the first test was passed. The final evaluation takes into account the results achieved in the two tests.

Programma del corso-

Capitolo 1. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche e topologiche di R^n. Continuità per funzioni di più variabili. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Uniforme continuità. Teorema di Heine-Cantor. Funzioni Lipschitziane.  Funzioni vettoriali di una variabile. 

Capitolo 2. Calcolo differenziale in più variabili: Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Piano tangente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz sull'invertibilità dell'ordine di derivazione. Formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di più variabili. Classificazione e proprietà delle forme quadratiche. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili; condizione necessaria sul gradiente (*); condizioni necessarie e/o sufficienti(*) sulla matrice hessiana. Differenziabilità di funzioni a valori vettoriali. Differenziabilità della funzione composta. Cambiamenti di coordinate (lineari, polari, cilindriche e sferiche). Massimi e minimi vincolati: vincoli parametrici e cartesiani, vincoli impliciti. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 

Capitolo 3. Curve ed integrali di linea: Curve regolari. Curve equivalenti. Definizione della lunghezza di una curva. 
Teorema di rettificabilità (*). Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Teorema sui  potenziali di un campo (*). Caratterizzazioni dei campi conservativi continui (*). Condizione necessaria per i campi C^1 (*). 
Condizione sufficiente sugli aperti stellati. Calcolo deli potenziali. 

Capitolo 4. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Equivalenza con una equazione integrale (*). Lemma di Gronwall (*). Teorema di esistenza e unicità globale (*). Teorema di esistenza e unicità  locale. Teorema di esistenza e unicità  per equazioni di ordine superiore. 
Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Equazioni del I° ordine (*). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 5. Integrali multipli: La misura di Lebesgue in R^n. Misura di rettangoli e pluri-rettangoli, misura esterna in R^n. Gli insiemi misurabili e la misura di Lebesgue in R^n. Proprietà degli insiemi misurabili e della misura. Funzioni misurabili e loro proprietà. Integrale di una funzione semplice e di una funzione positiva. Integrale di funzioni di segno qualunque. Proprietà dell'integrale. Teorema di Fubini-Tonelli e del sottografico. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Cambiamento di variabili lineari, 
in coordinate polari in R^2, in coordinate cilindriche e sferiche in R^3. Applicazioni. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Teoremi di confronto. 
Passaggio al limite sotto il segno d'integrale: Teorema della convergenza monotona (Beppo Levi),  Teorema della convergenza dominata (Lebesgue). Integrali dipendenti da parametri: continuità e differenziabilità.  Gli spazi L^p(E) per p=1,2,\infinito. Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Spazi di Hilbert e prodotto scalare in L^2(E). Basi hilbertiane. Uguaglianze di Bessel e di Parseval. 
Superficie regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

Capitolo 6. Analisi Complessa: Successioni, limiti e continuità di funzioni complesse. Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann (*) e conseguenze. Serie di potenze in campo complesso. Le funzioni elementari. Cammini e integrali curvilinei. Proprietà. Teorema di Cauchy negli stellati (*). 
Formula di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono analitiche. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Circuiti omotopici e Teorema di Cauchy. Singolarità e serie di Laurent in una corona e in un punto singolare. Classificazione delle singolarità. Residui, metodi di calcolo e il Teorema dei residui. I Teoremi di Jordan. Applicazioni al calcolo di integrali.

Capitolo 7. Trasformata di Fourier: La Trasformata di Fourier in L^1(R^n). Proprietà della trasformata. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Convoluzione. Teorema di inversione. La Trasformata di Fourier in L^2(R^n). Principali trasformate (*).

Capitolo 8. Trasformata di Laplace:  Definizione e proprietà generali. Regole algebriche (*) e analitiche di trasformazione. Inversione della trasformata di Laplace, condizioni sufficienti, formula di Heaviside. Applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali. Principali trasformate (*).

 

Course program.

Chapter 1. Limits and continuity in several variables: Recall on the algebraic and topological properties of R^n. Continuity for functions of several variables. Weierstrass theorem. Theorem of intermediate values. Uniform continuity. Heine-Cantor's theorem. Lipschitzian functions. Vector functions of one variable.

Chapter 2. Differential calculus in several variables: Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Consequences of differentiability. Tangent plane. Partial derivatives of higher order. Schwarz's theorem on the invertibility of the derivation order. Taylor formula of the second order for functions of several variables. Classification and properties of quadratic forms. Local maxima and  minima of a function of several variables; necessary condition on the gradient (*); necessary and /or sufficient conditions (*) on the Hessian matrix. Differentiation of functions with vector values. Differentiation of the composite function. Coordinate changes (linear, polar, cylindrical and spherical). Constrained maxima and minima: parametric and Cartesian constraints, implicit constraints. Lagrange multiplier method.

Chapter 3. Curves and line integrals: Regular curves. Equivalent curves. Definition of the length of a curve.
Rectification theorem (*). Line integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Theorem on the potentials of a field (*). Characterization of continuous conservative fields (*). Necessary condition for C^1 (*) fields. Sufficient condition on open star-like sets. Calculation of potentials.

Chapter 4. Differential equations: local solutions, maximal, global. Cauchy problem. Equivalence with an integral equation (*). Gronwall's Lemma (*). Theorem of global existence and uniqueness (*). Theorem of local existence and uniqueness. Theorem of existence and uniqueness for higher order equations.
Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (*). Equations of the first order (*). Lagrange method or parameter variation. Equations with constant coefficients: description of the method of resolution. Other elementary integrable equations: separable variables, homogeneous, Bernoulli, autonomous.

Chapter 5. Multiple integrals: The Lebesgue measure in R^n. Measure of rectangles and pluri-rectangles, external measure in R^n. The measurable sets and the Lebesgue measure in R^n. Properties of measurable sets and of measures. Measurable functions and their properties. Integral of a simple function and of a positive function. Integral of variable sign functions. Properties of the integral. Theorem of Fubini-Tonelli and of the sub-graph. Double and triple integrals. Reduction formulas in the case of normal domains. Change of Variables theorem for multiple integrals. Change of linear variables,
in polar coordinates in R^2, in cylindrical and spherical coordinates in R^3. Applications. Integrals for unbounded functions and sets. Comparison theorems.
Passage to the limit under the integral sign: Theorem of the monotonic convergence (Beppo Levi), Theorem of the dominated convergence (Lebesgue). Parameter-dependent integrals: continuity and differentiability. The spaces L^p (E) for p = 1,2, \infinity. Holder and Minkowski inequalities. Hilbert spaces and scalar product in L^2 (E). Hilbertian bases. Equations of Bessel and Parseval.
Regular surface, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

Chapter 6. Complex Analysis: Sequences, limits and continuity of complex functions. Holomorphic functions. Cauchy-Riemann theorem (*) and consequences. Series of powers in the complex field. The elementary functions. Path and curvilinear integrals. Properties. Cauchy's theorem in the star-like domains (*).
Cauchy formula. Holomorphic functions are analytical. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. Homotopic circuits and Cauchy's theorem. Singularity and Laurent series in a crown and in a singular point. Classification of singularities. Residues, calculation methods and Residues Theorem. Jordan's Theorems. Applications for the calculation of integrals.

Chapter 7. Fourier Transform: The Fourier Transform in L^1 (R^n). Properties of the Fourier transform. Algebraic rules (*) and analytics transformation rules. Convolution. Inversion theorem. The Fourier Transform in L^2 (R^n). Main transformations (*).

Chapter 8. Laplace transform: Definition and general properties. Algebraic rules (*) and analytic transformation rules. Reversal of the Laplace transform, sufficient conditions, Heaviside formula. Applications for solving differential problems. Main transformations (*).

A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.

N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli, 1996.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 2, parte I e II, Liguori Editore,  Napoli, 1991.

F.Tomarelli: Esercizi di Metodi Matematici per l'Ingegneria, CLUP, Milano, 1987.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 25/02/2019 al 31/05/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Tutti i corsi di Analisi matematica I-II-III

All the courses of Mathematical Analysis i I-II-III

Nozioni fondamentali di Analisi Complessa, Trasformata di Laplace, nozioni di base della teoria dell'integrazione di Lebesgue.

Fundamentals of Complex Analysis, Laplace Transform, basic notions of Lebesgue integration theory.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Complessa e nozioni di teoria dell'integrale di Lebesgue.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di utilizzare i numeri complessi e le funzioni di variabile complessa, la trasformata di Laplace e la teoria dell'integrale di Lebesgue, # essere in grado di calcolare integrali mediante il teorema dei residui, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

 

Knowledge and understanding. To possess a solid preparation with knowledge of Complex Analysis and notions of Lebesgue integration theory.

Ability to apply knowledge and understanding:

# To be able to use complex numbers and complex variable functions, the Laplace transform and Lebesgue integration theory,

# To be able to calculate integrals using the residues theorem, solve Cauchy problems for linear differential equations,

# To be aware of the possible applications of concepts learned for subjects other than mathematics.

Autonomy of judgment. The exposition of the contents and arguments will be carried out in such a way as to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and to identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions concerning real and complex analysis.

Learning ability. Topics to be explored will be proposed, closely related to the teaching, in order to stimulate the student's autonomous learning ability.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula. 

The course consists of frontal lessons and classroom exercises.

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti)  da svolgere in due ore. La prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. 

A written test with 2 exercises (8 + 8 points) and 2 theoretical questions (7 + 7 points) to be performed in two hours. The test is passed by reporting a score greater than or equal to 18/30.

Programma del corso:  

Richiami sui numeri complessi. il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

 

Course program:

Recalls on complex numbers. the field of complex numbers. Algebraic, trigonometric, exponential form of complex numbers. De Moivre's formula. Exponential in the complex field. Euler's formula. Sine and cosine. Other elementary transcendents (hyperbolic sine and cosine). Polydromy and Riemann surface; n-th roots, logarithms, power with complex exponent. Topology of C. The point at infinity. Successions of complex numbers. Limits and continuity of complex functions.

Derivability in a complex sense. Cauchy-Riemann theorem. Goursat theorem (without proof). Consequences of the Cauchy-Riemann theorem. Harmonic functions. Power series in C. Analytic functions. Series development of elementary functions.

Integral of a complex function along a curve. Cauchy's theorem about simply connected domains. Corollaries of the Cauchy theorem about simply connected domains. Winding index. Morera's theorem. Integral Formula of Cauchy. Analyticity theorem of holomorphic functions. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. The Gauss integral mean theorem. Theorem of uniqueness of the analytic prolongation. Holomorphic prolongation through a regular curve. Schwarz reflection theorem. Schwarz's Lemma. Riemann's theorem (without proof). Weierstrass convergence theorem.

Laurent series. Laurent theorem in circular crowns. Isolated singularity points. Development of Laurent in a point of isolated singularity. Residue of a function in an isolated singularity point. Classification of isolated singularity points. Characterization of isolated singularities. Picard's theorem (without proof). Methods for calculating residues. Singularity in the point at infinity. Remnant of a function at the point at infinity. Residue theorem. Residues theorem II. The large circle theorem. Small circle theorem. Lemma of Jordan. Calculation of integrals with the use of the residues theorem. Integral in the sense of the main value. Calculation of integrals with the use of the residual theorem and polydrome functions. Calculation of integrals defined between 0 and 2 \ pi of rational functions of \ cos\theta and \sin\theta. Heaviside formula (without proof). Logarithmic indicator. Theorem of the logarithmic indicator. Rouché's theorem.

Laplace transform: L-transformable functions. Abscissa of absolute convergence and transformation of Laplace. First properties of the Laplace transform. Transformation of powers, exponential and trigonometric functions. Algebraic rules of transformation: change of scale, translation, modulation. Absolutely continuous functions according to Vitali. Characterization of AC functions. Functions locally AC. Analytical properties of the Laplace transform: transformation of derivatives. Transformation of the primitive (without proof). Convolution product of two L-transformable functions. Transformation of convolution (without proof). Solution of linear differential equations by the Laplace transform.

Elements of Lebesgue integration theory: The Lebesgue measure and its properties. Measurable functions. Lebesgue integral. Product measure and multiple integrals. Theorems of passage to the limit under the sign of integral. Integration by series.

M.Carriero, S.Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664

F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W.Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 26/02/2018 al 25/05/2018)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti).

Programma del corso:  

Richiami sui numeri complessi. il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

M.Carriero, S.Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664


F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W.Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)
MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING

Degree course COMMUNICATION ENGINEERING AND ELECTRONIC TECHNOLOGIES

Subject area MAT/05

Course type Laurea Magistrale

Credits 9.0

Teaching hours Ore Attività frontale: 81.0

For matriculated on 2017/2018

Year taught 2017/2018

Course year 1

Semestre Primo Semestre (dal 25/09/2017 al 22/12/2017)

Language INGLESE

Subject matter PERCORSO COMUNE (999)

Location Lecce


Prerequisites: Ordinary differential equations, multiple, line and surface integrals. Complex Analysis, linear algebra, elementary physics. 

Measure theory. Theory of distributions. Elements of Functional Analysis. Complements on Ordinary Differential Equations. Equations of Mathematical Physics. 

Aims and Scope: Concepts of advanced mathematical Analysis - Problem solving for ordinary and partial differential equations arising from physics or engineering.

Final examination: The final (written) exam consists in solving 2 exercises (8+8 points) and answering 2 theoretical questions (7+7 points) related with the topics of the course.

Measure theory. (hours: 9)  Positive measures. Measurable functions. Integral. Limit theorems in integration theory. Real and vector measures, total variation. Absolute continuity and singularity of measures. Image measure. Lebesgue's Measure in R^n. Product Measures and Fubini's Theorem. Parameters dependent integrals. Functions Gamma and Beta of Euler. Convolution.


Functions of bounded variation (BV) and Riemann-Stieltjes Integral. (hours: 9) Pointwise and essential variation. Monotonous functions. Features of bounded variation functions. Absolutely continuous functions. Cantor's function. Definition and existence of the integral of Riemann-Stieltjes. Integral's properties. Hausdorff's measures. Self-similar fractals.


Theory of distributions. (hours: 8) Definition and examples. Derivative of a distribution. Examples of Differential Equations in D'. Temperate distributions. Support of a Distribution, convolution. Fourier Transform in L^1, L^2, S, S'.

Elements of Functional Analysis. (ore: 8) The spaces L^1, L^2. Banach and Hilbert spaces. Scalar products and induced norms, orthonormal bases. Fourier Series in L^2. Linear, continuous, compact Operators. Spectral Theory of Compact Self-adjoint Operators.


Complements on Ordinary Differential Equations. (hours: 10) Sturm-Liouville theory for boundary value problems. Connections between boundary value problems and orthogonal developments. Differential Equations with analytical coefficients: regular case; Singular case and Frobenius theorem. Examples of Ordinary Differential Equations Solvable by Series: Equations of Bessel and Legendre.


Equations of Mathematical Physics. (hours: 12) Examples of Partial Differential Equations solved by the method of separation of variables, by series developments and Fourier transform. Boundary value problems, initial value problems, and mixed problems. Heat equation in the strip, and in the whole space. Wave equation in one, two and three dimensions. Wave equation in the half-line and in an interval. Eigenvalues of Laplacean in the square, in the disc, in the ball. Hermite polynomials.

References.
M. Carriero, L. Anzilli: Introduzione alle Equazioni a Derivate Parziali Lineari, Quaderni di Matematica, 1/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15679/13592

S.Fornaro, D.Pallara, Appunti del corso di Metodi matematici per l'Ingegneria, web page of prof. Pallara.


F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. Eng. ver.: Analytic functions, Integral transforms, Differential equations, Esculapio,  Bologna, II Ed., 2015. 


E.Kreyszig: Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1993.

A.N.Tichonov, A.A.Samarskij, Equazioni della fisica matematica, MIR, Mosca, 1981.

A.N.Tichonov, A.A.Samarskij, B.M.Budak, Problemi della fisica matematica, MIR, Mosca, 1981.

MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA I

Corso di laurea INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0 Ore Studio individuale: 192.0

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 26/09/2016 al 22/12/2016)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

Capitolo 1. Elementi di teoria degli insiemi. Funzioni: definizioni generali. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone,
funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari. Numeri complessi. 

Capitolo 2. Successioni: definizione, definizione di limite, proprietà principali. 

Capitolo 3. Funzioni reali di una variabili reale. Limiti. Continuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. 

Capitolo 4. Funzioni derivabili. Calcolo differenziale. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili. Studio di una funzione.

Capitolo 5. Calcolo integrale. Primitive e loro proprietà.. Integrale definito,funzioni integrabili secondo Riemann. Metodi di integrazione e applicazioni. 

Capitolo 6. Serie numeriche: definizione di serie, serie convergente, divergente, indeterminata. Criteri di convergenza. 

Capitolo 7. Successioni e serie di funzioni. Teoremi fondamentali.  Serie di potenze, Serie di Taylor, Serie di Fourier.

Per il programma dettagliato si rinvia al file in RISORSE CORRELATE.

Una prova scritta con 5 esercizi. Una prova scritta con tre domande di teoria ed eventuale discussione sulle risposte fornite.

A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica I, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008.

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica uno, Liguori Editore, Napoli, 1998.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 1, parte I-IV, Liguori Editore,  Napoli, 2009.

ANALISI MATEMATICA I (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2015/2016

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 27/02/2017 al 26/05/2017)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti).

Programma del corso:  

Richiami sui numeri complessi. il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

M.Carriero, S.Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. 

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664


F.Gazzola, F.Tomarelli, M.Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W.Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA II

Corso di laurea INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 108.0 Ore Studio individuale: 192.0

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 21/09/2015 al 18/12/2015)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

Capitolo 1. Limiti e continuità per funzioni di più variabili: elementi di topologia, principali proprietà. Teoremi fondamentali.

Capitolo 2. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili; condizione necessaria sul gradiente; condizioni necessarie e/o sufficienti sulla matrice hessiana. Cambiamenti di coordinate (lineari, polari, cilindriche e sferiche). Massimi e minimi vincolati.

Capitolo 3. Curve ed integrali di linea: Curve regolari. Lunghezza. Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Calcolo delle primitive (o potenziali).

Capitolo 4. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee. Equazioni a coefficienti costanti. Altre equazioni integrabili elementarmente.

Capitolo 5. Integrali multipli: La misura e l'integrale di Lebesgue. Teoremi fondamentali. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Spazi di Hilbert. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni. 

Capitolo 6. Analisi Complessa: Teorema di Cauchy-Riemann e conseguenze. Serie di potenze in campo complesso. Teorema di Cauchy negli insiemi stellati. Formula di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Singolarità e serie di Laurent. Residui, metodi di calcolo e il Teorema dei Residui. Applicazioni al calcolo di integrali. 

Capitolo 7. Trasformata di Fourier. Proprietà della trasformata. Regole algebriche e analitiche di trasformazione. Convoluzione. Teorema di inversione. Principali trasformate. 

Capitolo 8. Trasformata di Laplace:  Definizione e proprietà generali. Regole algebriche e analitiche di trasformazione.Inversione della trasformata di Laplace. Applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali. Principali trasformate. 

Per il programma dettagliato si rinvia al file in RISORSE CORRELATE.

Una prova scritta con 5 esercizi. Una prova scritta con tre domande di teoria ed eventuale discussione sulle risposte fornite.

A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.

N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli, 1996.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 2, parte I e II, Liguori Editore,  Napoli, 1991.

F.Tomarelli: Esercizi di Metodi Matematici per l'Ingegneria, CLUP, Milano, 1987.

ANALISI MATEMATICA II (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 29/02/2016 al 31/05/2016)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA I

Corso di laurea INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 12.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 104.0 Ore Studio individuale: 196.0

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno accademico di erogazione 2014/2015

Anno di corso 1

Semestre Primo Semestre (dal 29/09/2014 al 13/01/2015)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

Capitolo 1. Elementi di teoria degli insiemi. Funzioni: definizioni generali. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone,
funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari. Numeri complessi. 

Capitolo 2. Successioni: definizione, definizione di limite, proprietà principali. 

Capitolo 3. Funzioni reali di una variabili reale. Limiti. Continuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. 

Capitolo 4. Funzioni derivabili. Calcolo differenziale. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili. Studio di una funzione.

Capitolo 5. Calcolo integrale. Primitive e loro proprietà.. Integrale definito,funzioni integrabili secondo Riemann. Metodi di integrazione e applicazioni. 

Capitolo 6. Serie numeriche: definizione di serie, serie convergente, divergente, indeterminata. Criteri di convergenza. 

Capitolo 7. Successioni e serie di funzioni. Teoremi fondamentali.  Serie di potenze, Serie di Taylor, Serie di Fourier.

Per il programma dettagliato si rinvia al file in RISORSE CORRELATE.

Una prova scritta con 5 esercizi. Una prova scritta con tre domande di teoria ed eventuale discussione sulle risposte fornite.

A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica I, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008.

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica uno, Liguori Editore, Napoli, 1998.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 1, parte I-IV, Liguori Editore,  Napoli, 2009.

ANALISI MATEMATICA I (MAT/05)
ANALISI MATEMATICA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/05

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2013/2014

Anno accademico di erogazione 2014/2015

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 02/03/2015 al 29/05/2015)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ANALISI MATEMATICA IV (MAT/05)

Pubblicazioni

 

 ELENCO DELLE PUBBLICAZIONI DI ANTONIO LEACI

L'elenco delle pubblicazioni è contenuto nel file curriculum vitae, reperibile in fondo alla sezione Biografia.

 

Temi di ricerca

Analisi Matematica, Calcolo delle Variazioni, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo Numerico, Elaborazione numerica di immagini.