Gli studenti devono avere una buona conoscenza degli argomenti matematici oggetto di studio nelle scuole medie di II grado (Calcolo letterale; geometria euclidea ed analitica, trigonometria, equazioni e disequazioni)

Il corso tratta argomenti di base di Analisi Matematica (Numeri reali, numeri complessi; successioni e funzioni; limiti; continuità e derivabilità; integrazione indefinita) necessari per poter proseguire negli studi di Matematica.

Lo studente, a conclusione del corso, dovrebbe poter padroneggiare i concetti studiati ed utilizzarli proficuamente. Obiettivo è anche promuovere la capacità critica, l'utilizzo dei sistemi formali e della logica nei ragionamenti matematici.

Lezioni frontali. 

L'esame finale consiste di una prova scritta, in cui si verifica l'acquisizione dell'abilità alla risoluzione di esercizi di base di Analisi Matematica, e di una prova orale, in cui si verifica la conoscenza e la capacità di argomentazione dello studente.

Durante il corso possono essere previste prove di valutazione intermedia (esoneri).

ozioni introduttive. Sistema dei numeri reali: assiomi algebrici e dell'ordinamento; maggioranti, minoranti, insiemi limitati inferiormente, superiormente, massimo, minimo; esistenza estremo superiore, inferiore e caratterizzazioni. Proprietà archimedea. Densità di Q in R. Principio d'induzione. Combinatoria. Numeri complessi Funzioni: dominio, codominio, iniettività, suriettività, funzioni inverse, monotonia, limitatezza. Grafico di una funzione. Funzioni elementari e loro grafici.

Limiti di funzioni e di successioni. Definizione di limite per funzioni. Limite destro e sinistro. Caratterizzazione del limite di funzioni tramite limiti di successioni. Teorema sulle operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle funzioni monotone. Teorema sul limite di funzioni composte. Teoremi di confronto per i limiti. Successioni reali, estratte, teorema sul limite delle successioni monotone, successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano Weierstrass.

Funzioni continue. Punti di discontinuità. Limiti delle funzioni elementari e limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti. Teoremi degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass. Caratterizzazione della continuità di funzioni monotone. Continuità della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor. Teorema delle contrazioni.

Derivazione. Derivata, derivata destra e sinistra. Interpretazione geometrica, retta tangente. Punti angolosi e cuspidali. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Studio della monotonia tramite la derivata. Funzioni con derivata identicamente nulla. Estremi locali. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive. Convessità. Polinomio di Taylor. Condizioni necessarie e sufficienti per estremi locali.
Studio del grafico di una funzione.

Integrazione indefinita. Primitiva, integrale indefinito, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali funzioni razionali. Alcune formule di ricorrenza. Sostituzioni razionalizzanti.

M. Campiti, Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I

M. Campiti, Dispensa di "Analisi Matematica"

li studenti devono avere una buona conoscenza degli argomenti matematici oggetto di studio nelle scuole medie di II grado (Calcolo letterale; geometria euclidea ed analitica, trigonometria, equazioni e disequazioni)

Il corso tratta argomenti di base di Analisi Matematica (Numeri reali, numeri complessi; successioni e funzioni; limiti; continuità e derivabilità; integrazione indefinita) necessari per poter proseguire negli studi di Matematica.

Lo studente, a conclusione del corso, dovrebbe poter padroneggiare i concetti studiati ed utilizzarli proficuamente. Obiettivo è anche promuovere la capacità critica, l'utilizzo dei sistemi formali e della logica nei ragionamenti matematici.

Lezioni frontali.

L'esame finale consiste di una prova scritta, in cui si verifica l'acquisizione dell'abilità alla risoluzione di esercizi di base di Analisi Matematica, e di una prova orale, in cui si verifica la conoscenza e la capacità di argomentazione dello studente.

Durante il corso possono essere previste prove di valutazione intermedia (esoneri).

Nozioni introduttive. Sistema dei numeri reali: assiomi algebrici e dell'ordinamento; maggioranti, minoranti, insiemi limitati inferiormente, superiormente, massimo, minimo; esistenza estremo superiore, inferiore e caratterizzazioni. Proprietà archimedea. Densità di Q in R. Principio d'induzione. Combinatoria. Numeri complessi Funzioni: dominio, codominio, iniettività, suriettività, funzioni inverse, monotonia, limitatezza. Grafico di una funzione. Funzioni elementari e loro grafici.

Limiti di funzioni e di successioni. Definizione di limite per funzioni. Limite destro e sinistro. Caratterizzazione del limite di funzioni tramite limiti di successioni. Teorema sulle operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle funzioni monotone. Teorema sul limite di funzioni composte. Teoremi di confronto per i limiti. Successioni reali, estratte, teorema sul limite delle successioni monotone, successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano Weierstrass.

Funzioni continue. Punti di discontinuità. Limiti delle funzioni elementari e limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti. Teoremi degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass. Caratterizzazione della continuità di funzioni monotone. Continuità della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor. Teorema delle contrazioni.

Derivazione. Derivata, derivata destra e sinistra. Interpretazione geometrica, retta tangente. Punti angolosi e cuspidali. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Studio della monotonia tramite la derivata. Funzioni con derivata identicamente nulla. Estremi locali. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive. Convessità. Polinomio di Taylor. Condizioni necessarie e sufficienti per estremi locali.
Studio del grafico di una funzione.

Integrazione indefinita. Primitiva, integrale indefinito, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali funzioni razionali. Alcune formule di ricorrenza. Sostituzioni razionalizzanti.

M. Campiti, Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I

M. Campiti, Dispensa di "Analisi Matematica"

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1 e Geometria ed Algebra

Serie numeriche. Successioni e serie di funzioni. Limiti e continuità in più variabili. Calcolo differenziale in più variabili. Curve e integrali di linea. Equazioni differenziali ordinarie. Campi vettoriali. Integrali multipli. Superfici di R^3 e integrali superficiali.

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e  di illustrare le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi matematici di interesse dell'Ingegneria Civile.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado capace di analizzare, comprendere e risolvere problemi del tipo:

-Determinazione degli estremi relativi e assoluti (vincolati o no) di funzioni reali di più variabili reali;

-Calcolo integrali di linea, integrali di superficie, integrali doppi, tripli ;

-Determinazione di primitive di campi conservativi;

-Determinazione dell'integrale generale di classi fondamentali di equazioni differenziali;

-Studio del tipo di convergenza di successioni e di serie di funzioni.

Autonomia di giudizio. Alla fine del corso, lo studente deve possedere la capacità di elaborare dati complessi e/o frammentari e deve pervenire a idee e giudizi originali e autonomi, a scelte coerenti nell’ambito del proprio lavoro. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi  matematici e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L’esame consiste di due prove in cascata; 4 o 5 esercizi nella prima e 3 quesiti teorici nella seconda. La seconda prova scritta può essere sostituita da un'interrogazione orale, a richiesta dello studente. Ogni prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. L'esame è superato se ambedue le prove sono state superate. 

Programma del corso

1. Serie numeriche: somma di una serie. Serie a termini positivi e relativi criteri: confronto, radice, rapporto. Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta. Serie a segni alternati e criterio di Leibniz.

2. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Convergenza puntuale, assoluta puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma, di integrazione per serie e di derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier. 

3. Topologia di R^n e continuità: Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, parte interna, chiusura, frontiera. Successioni di R^n. Insiemi compatti. Insiemi connessi per poligonali, convessi, stellati. Limiti di funzioni di più variabili. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass, Teorema di Heine-Cantor. 

4. Calcolo differenziale di funzioni reali o vettoriali in più variabili: Derivate direzionali e parziali, differenziale e gradiente; conseguenze della differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivata della funzione composta-caso scalare e caso vettoriale. Derivate successive e teorema di Schwartz. Formula di Taylor di 2° grado. Massimi e minimi in piu’ variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Cambiamenti di coordinate. Grafici, versore normale. Estremi vincolati; moltiplicatori di Lagrange. 

5. Curve nello spazio e integrali di linea: Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di funzione reali e di funzioni vettoriali. Campi irrotazionali e conservativi. Potenziali. 

6. Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari: metodo della variazione dei parametri, metodi di calcolo della soluzione fondamentale nel caso di coefficienti costanti. Matrice Wronskiana. Casi particolari di equazioni non lineari del primo e del secondo ordine. 

7. Integrali multipli. Formule di riduzione ed insiemi normali. Insiemi normali del piano e integrali doppi. Insiemi normali nello spazio e integrali tripli. Cambiamenti di coordinate. Aree e volumi. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Superficie regolari e integrali di superficie. Area di una superficie regolare. Teorema della divergenza e Formula di Stokes. 

A. Albanese, A. Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica 2.

G. Anichini, G. Conti: Analisi Matematica 2, Pearson.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica 2, Liguori Editore.

M. Boella: Analisi Matematica 2, Esercizi, Pearson.

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. II, Liguori Editore.

Tutti gli argomenti dei corsi di Analisi Matematica I, II e III.

Nozioni fondamentali di Analisi Complessa. Trasformata di Laplace. Nozioni di base della teoria dell'integrazione di Lebesgue.

Fundamentals of Complex Analysis, Laplace Transform, Basic notions of Lebesgue integration theory.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Complessa e comprensione dello studio qualitativo di equazioni differenziali del primo ordine..

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:  essere in grado di utilizzare i numeri complessi e le funzioni di variabile complessa, la trasformata di Laplace,  essere in grado di calcolare integrali mediante il teorema dei residui,  risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari, essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali  ed esercitazioni in aula.

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti). La prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18.

Programma del corso svolto in collaborazione con il Prof. A. Leaci (6 CFU Prof.ssa A.A. Albanese; 3 CFU Prof. A. Leaci; ):  

Richiami sui numeri complessi. Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre funzioni trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

Course program:

Recalls on complex numbers. the field of complex numbers. Algebraic, trigonometric, exponential form of complex numbers. De Moivre's formula. Exponential in the complex field. Euler's formula. Sine and cosine. Other elementary transcendents (hyperbolic sine and cosine). Polydromy and Riemann surface; n-th roots, logarithms, power with complex exponent. Topology of C. The point at infinity. Successions of complex numbers. Limits and continuity of complex functions.

Derivability in a complex sense. Cauchy-Riemann theorem. Goursat theorem (without proof). Consequences of the Cauchy-Riemann theorem. Harmonic functions. Power series in C. Analytic functions. Series development of elementary functions.

Integral of a complex function along a curve. Cauchy's theorem about simply connected domains. Corollaries of the Cauchy theorem about simply connected domains. Winding index. Morera's theorem. Integral Formula of Cauchy. Analyticity theorem of holomorphic functions. Cauchy inequalities. Liouville's theorem. Fundamental theorem of algebra. The Gauss integral mean theorem. Theorem of uniqueness of the analytic prolongation. Holomorphic prolongation through a regular curve. Schwarz reflection theorem. Schwarz's Lemma. Riemann's theorem (without proof). Weierstrass convergence theorem.

Laurent series. Laurent theorem in circular crowns. Isolated singularity points. Development of Laurent in a point of isolated singularity. Residue of a function in an isolated singularity point. Classification of isolated singularity points. Characterization of isolated singularities. Picard's theorem (without proof). Methods for calculating residues. Singularity in the point at infinity. Remnant of a function at the point at infinity. Residue theorem. Residues theorem II. The large circle theorem. Small circle theorem. Lemma of Jordan. Calculation of integrals with the use of the residues theorem. Integral in the sense of the main value. Calculation of integrals with the use of the residual theorem and polydrome functions. Calculation of integrals defined between 0 and 2 \ pi of rational functions of \ cos\theta and \sin\theta. Heaviside formula (without proof). Logarithmic indicator. Theorem of the logarithmic indicator. Rouché's theorem.

Laplace transform: L-transformable functions. Abscissa of absolute convergence and transformation of Laplace. First properties of the Laplace transform. Transformation of powers, exponential and trigonometric functions. Algebraic rules of transformation: change of scale, translation, modulation. Absolutely continuous functions according to Vitali. Characterization of AC functions. Functions locally AC. Analytical properties of the Laplace transform: transformation of derivatives. Transformation of the primitive (without proof). Convolution product of two L-transformable functions. Transformation of convolution (without proof). Solution of linear differential equations by the Laplace transform.

Elements of Lebesgue integration theory: The Lebesgue measure and its properties. Measurable functions. Lebesgue integral. Product measure and multiple integrals. Theorems of passage to the limit under the sign of integral. Integration by series.

M. Carriero, S. Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664

F. Gazzola, F. Tomarelli, M. Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W. Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.

Gli studenti devono avere una buona conoscenza degli argomenti matematici oggetto di studio nelle scuole medie di II grado (Calcolo letterale; geometria euclidea ed analitica, trigonometria, equazioni e disequazioni)

Il corso tratta argomenti di base di Analisi Matematica (Numeri reali, numeri complessi; successioni e funzioni; limiti; continuità e derivabilità; integrazione indefinita) necessari per poter proseguire negli studi di Matematica.

Lo studente, a conclusione del corso, dovrebbe poter padroneggiare i concetti studiati ed utilizzarli proficuamente. Obiettivo è anche promuovere la capacità critica, l'utilizzo dei sistemi formali e della logica nei ragionamenti matematici.

Lezioni frontali e in remoto

L'esame finale consiste di una prova scritta, in cui si verifica l'acquisizione dell'abilità alla risoluzione di esercizi di base di Analisi Matematica, e di una prova orale, in cui si verifica la conoscenza e la capacità di argomentazione dello studente.

Durante il corso possono essere previste prove di valutazione intermedia (esoneri).

Nozioni introduttive. Sistema dei numeri reali: assiomi algebrici e dell'ordinamento; maggioranti, minoranti, insiemi limitati inferiormente, superiormente, massimo, minimo; esistenza estremo superiore, inferiore e caratterizzazioni. Proprietà archimedea. Densità di Q in R. Principio d'induzione. Combinatoria. Numeri complessi Funzioni: dominio, codominio, iniettività, suriettività, funzioni inverse, monotonia, limitatezza. Grafico di una funzione. Funzioni elementari e loro grafici.

Limiti di funzioni e di successioni. Definizione di limite per funzioni. Limite destro e sinistro. Caratterizzazione del limite di funzioni tramite limiti di successioni. Teorema sulle operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle funzioni monotone. Teorema sul limite di funzioni composte. Teoremi di confronto per i limiti. Successioni reali, estratte, teorema sul limite delle successioni monotone, successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano Weierstrass.

Funzioni continue. Punti di discontinuità. Limiti delle funzioni elementari e limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti. Teoremi degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass. Caratterizzazione della continuità di funzioni monotone. Continuità della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor. Teorema delle contrazioni.

Derivazione. Derivata, derivata destra e sinistra. Interpretazione geometrica, retta tangente. Punti angolosi e cuspidali. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Studio della monotonia tramite la derivata. Funzioni con derivata identicamente nulla. Estremi locali. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive. Convessità. Polinomio di Taylor. Condizioni necessarie e sufficienti per estremi locali.
Studio del grafico di una funzione.

Integrazione indefinita. Primitiva, integrale indefinito, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali funzioni razionali. Alcune formule di ricorrenza. Sostituzioni razionalizzanti.

M. Campiti, Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I

M. Campiti, Dispensa di "Analisi Matematica"

Gli studenti devono avere una buona conoscenza degli argomenti matematici oggetto di studio nelle scuole medie di II grado (Calcolo letterale; geometria euclidea ed analitica, trigonometria, equazioni e disequazioni)

Il corso tratta argomenti di base di Analisi Matematica (Numeri reali, numeri complessi; successioni e funzioni; limiti; continuità e derivabilità; integrazione indefinita) necessari per poter proseguire negli studi di Matematica.

Lo studente, a conclusione del corso, dovrebbe poter padroneggiare i concetti studiati ed utilizzarli proficuamente. Obiettivo è anche promuovere la capacità critica, l'utilizzo dei sistemi formali e della logica nei ragionamenti matematici.

Lezioni frontali e in remoto

L'esame finale consiste di una prova scritta, in cui si verifica l'acquisizione dell'abilità alla risoluzione di esercizi di base di Analisi Matematica, e di una prova orale, in cui si verifica la conoscenza e la capacità di argomentazione dello studente.

Durante il corso possono essere previste prove di valutazione intermedia (esoneri).

Nozioni introduttive. Sistema dei numeri reali: assiomi algebrici e dell'ordinamento; maggioranti, minoranti, insiemi limitati inferiormente, superiormente, massimo, minimo; esistenza estremo superiore, inferiore e caratterizzazioni. Proprietà archimedea. Densità di Q in R. Principio d'induzione. Combinatoria. Numeri complessi Funzioni: dominio, codominio, iniettività, suriettività, funzioni inverse, monotonia, limitatezza. Grafico di una funzione. Funzioni elementari e loro grafici.

Limiti di funzioni e di successioni. Definizione di limite per funzioni. Limite destro e sinistro. Caratterizzazione del limite di funzioni tramite limiti di successioni. Teorema sulle operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle funzioni monotone. Teorema sul limite di funzioni composte. Teoremi di confronto per i limiti. Successioni reali, estratte, teorema sul limite delle successioni monotone, successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano Weierstrass.

Funzioni continue. Punti di discontinuità. Limiti delle funzioni elementari e limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti. Teoremi degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass. Caratterizzazione della continuità di funzioni monotone. Continuità della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor. Teorema delle contrazioni.

Derivazione. Derivata, derivata destra e sinistra. Interpretazione geometrica, retta tangente. Punti angolosi e cuspidali. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Studio della monotonia tramite la derivata. Funzioni con derivata identicamente nulla. Estremi locali. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive. Convessità. Polinomio di Taylor. Condizioni necessarie e sufficienti per estremi locali.
Studio del grafico di una funzione.

Integrazione indefinita. Primitiva, integrale indefinito, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali funzioni razionali. Alcune formule di ricorrenza. Sostituzioni razionalizzanti.

M. Campiti, Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I

M. Campiti, Dispensa di "Analisi Matematica"

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1 e Geometria ed Algebra

Serie numeriche. Successioni e serie di funzioni. Limiti e continuità in più variabili. Calcolo differenziale in più variabili. Curve e integrali di linea. Equazioni differenziali ordinarie. Campi vettoriali. Integrali multipli. Superfici di R^3 e integrali superficiali.

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e  di illustrare le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi matematici di interesse dell'Ingegneria Civile.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado capace di analizzare, comprendere e risolvere problemi del tipo:

-Determinazione degli estremi relativi e assoluti (vincolati o no) di funzioni reali di più variabili reali;

-Calcolo integrali di linea, integrali di superficie, integrali doppi, tripli ;

-Determinazione di primitive di campi conservativi;

-Determinazione dell'integrale generale di classi fondamentali di equazioni differenziali;

-Studio del tipo di convergenza di successioni e di serie di funzioni.

Autonomia di giudizio. Alla fine del corso, lo studente deve possedere la capacità di elaborare dati complessi e/o frammentari e deve pervenire a idee e giudizi originali e autonomi, a scelte coerenti nell’ambito del proprio lavoro. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi  matematici e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L’esame consiste di due prove in cascata; 4 o 5 esercizi nella prima e 3 quesiti teorici nella seconda. La seconda prova scritta può essere sostituita da un'interrogazione orale, a richiesta dello studente. Ogni prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. L'esame è superato se ambedue le prove sono state superate. 

Programma del corso

1. Serie numeriche: somma di una serie. Serie a termini positivi e relativi criteri: confronto, radice, rapporto. Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta. Serie a segni alternati e criterio di Leibniz.

2. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Convergenza puntuale, assoluta puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma, di integrazione per serie e di derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier. 

3. Topologia di R^n e continuità: Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, parte interna, chiusura, frontiera. Successioni di R^n. Insiemi compatti. Insiemi connessi per poligonali, convessi, stellati. Limiti di funzioni di più variabili. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass, Teorema di Heine-Cantor. 

4. Calcolo differenziale di funzioni reali o vettoriali in più variabili: Derivate direzionali e parziali, differenziale e gradiente; conseguenze della differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivata della funzione composta-caso scalare e caso vettoriale. Derivate successive e teorema di Schwartz. Formula di Taylor di 2° grado. Massimi e minimi in piu’ variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Cambiamenti di coordinate. Grafici, versore normale. Estremi vincolati; moltiplicatori di Lagrange. 

5. Curve nello spazio e integrali di linea: Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di funzione reali e di funzioni vettoriali. Campi irrotazionali e conservativi. Potenziali. 

6. Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari: metodo della variazione dei parametri, metodi di calcolo della soluzione fondamentale nel caso di coefficienti costanti. Matrice Wronskiana. Casi particolari di equazioni non lineari del primo e del secondo ordine. 

7. Integrali multipli. Formule di riduzione ed insiemi normali. Insiemi normali del piano e integrali doppi. Insiemi normali nello spazio e integrali tripli. Cambiamenti di coordinate. Aree e volumi. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Superficie regolari e integrali di superficie. Area di una superficie regolare. Teorema della divergenza e Formula di Stokes. 

A. Albanese, A. Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica 2.

G. Anichini, G. Conti: Analisi Matematica 2, Pearson.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica 2, Liguori Editore.

M. Boella: Analisi Matematica 2, Esercizi, Pearson.

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. II, Liguori Editore.

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I, II, III.

Probabilità discreta. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue.

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base della probabilità. Ovvero, conoscere il concetto di evento, conoscere le varie definizioni di probabilità, conoscere il concetto di gioco equo, conoscere l'impostazione assiomatica della probabilità, conoscere il concetto di probabilità condizionata, conoscere il concetto di eventi indipendenti, saper enunciare la formula di Bayes, conoscere le principali v.a.. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi di tipo probabilistico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado di analizzare, comprendere e risolvere problemi nell'ambito dei modelli probabilistici almeno nei casi più semplici. Ad esempio, saper calcolare la probabilità in semplici casi, saper calcolare la probabilità di un evento condizionato al verificarsi di un altro evento, saper calcolare la speranza matematica, la varianza di una v.a., saper calcolare la legge di v.a..

Autonomia di giudizio. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi nell'ambito della probabilità e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L’esame consiste di una sola prova scritta. La  prova scrittta è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. 

Probabilità discrete: Operazioni logiche tra insiemi. Probabilità discrete. Alcuni problemi d'urna. Probabilità condizionata e indipendenza. Variabili aleatorie discrete. La diseguaglianza di Cebysev. Alcune distribuzioni di probabilità discrete. Probabilità di un assegnato numero di eventi. Alcuni problemi classici di probabilità. La definizione soggettiva della probabilità.

Variabili Aleatorie: Variabili aleatorie assolutamente continue. La speranza matematica. La varianza. Le funzioni di ripartizione. Esempi. Probabilità geometriche. La covarianza. Trasformazioni di variabili aleatorie. La formula di de Moivre–Stirling. I teoremi di de Moivre–Laplace.

C. Sempi: Introduzione alla Probabilità

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e Geometria ed Algebra

Successioni e serie di funzioni. Limiti e continuità in più variabili. Calcolo differenziale in più variabili. Curve e integrali di linea. Equazioni differenziali ordinarie. Campi vettoriali. Integrali multipli. Superfici di R^3 e integrali superficiali.

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e  di illustrare le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi matematici di interesse dell'Ingegneria Civile.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado capace di analizzare, comprendere e risolvere problemi del tipo:

-Determinazione degli estremi relativi e assoluti (vincolati o no) di funzioni reali di più variabili reali;

-Calcolo integrali di linea, integrali di superficie, integrali doppi, tripli ;

-Determinazione di primitive di campi conservativi;

-Determinazione dell'integrale generale di classi fondamentali di equazioni differenziali;

-Studio del tipo di convergenza di successioni e di serie di funzioni.

Autonomia di giudizio. Alla fine del corso, lo studente deve possedere la capacità di elaborare dati complessi e/o frammentari e deve pervenire a idee e giudizi originali e autonomi, a scelte coerenti nell’ambito del proprio lavoro. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi  matematici e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L’esame consiste di due prove in cascata; 4 o 5 esercizi nella prima e 3 quesiti teorici nella seconda. La seconda prova scritta può essere sostituita da un'interrogazione orale, a richiesta dello studente. Ogni prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. L'esame è superato se ambedue le prove sono state superate. 

Programma del corso

1. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Convergenza puntuale, assoluta puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma, di integrazione per serie e di derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier. (10 ore di lezione e 4 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 1).

2. Topologia di R^n e continuità: Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, parte interna, chiusura, frontiera. Successioni di R^n. Insiemi compatti. Insiemi connessi per poligonali, convessi, stellati. Limiti di funzioni di più variabili. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass, Teorema di Heine-Cantor. (6 ore di lezione e 3 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 2).

3. Calcolo differenziale di funzioni reali o vettoriali in più variabili: Derivate direzionali e parziali, differenziale e gradiente; conseguenze della differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivata della funzione composta-caso scalare e caso vettoriale. Derivate successive e teorema di Schwartz. Formula di Taylor. Massimi e minimi in piu’ variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Cambiamenti di coordinate. Grafici, versore normale. Estremi vincolati; moltiplicatori di Lagrange. (12 ore di lezione e 5 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 3).

4. Curve nello spazio e integrali di linea: Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di funzione reali e di funzioni vettoriali. Campi irrotazionali e conservativi. Potenziali. (7 ore di lezione e 3 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 4).

5. Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari: metodo della variazione dei parametri, metodi di calcolo della soluzione fondamentale nel caso di coefficienti costanti. Matrice Wronskiana. Casi particolari di equazioni non lineari del primo e del secondo ordine. (12 ore di lezione e 5 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 5).

6. Integrali multipli. Formule di riduzione ed insiemi normali. Insiemi normali del piano e integrali doppi. Insiemi normali nello spazio e integrali tripli. Cambiamenti di coordinate. Aree e volumi. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Superficie regolari e integrali di superficie. Area di una superficie regolare. Teorema della divergenza e Formula di Stokes. (10 ore di lezione e 4 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 6).

A. Albanese, A. Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica 2.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica II, Liguori Editore.

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. II, Liguori Editore.

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I, II, III.

Probabilità discreta. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue.

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base della probabilità. Ovvero, conoscere il concetto di evento, conoscere le varie definizioni di probabilità, conoscere il concetto di gioco equo, conoscere l'impostazione assiomatica della probabilità, conoscere il concetto di probabilità condizionata, conoscere il concetto di eventi indipendenti, saper enunciare la formula di Bayes, conoscere le principali v.a.. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi di tipo probabilistico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado di analizzare, comprendere e risolvere problemi nell'ambito dei modelli probabilistici almeno nei casi più semplici. Ad esempio, saper calcolare la probabilità in semplici casi, saper calcolare la probabilità di un evento condizionato al verificarsi di un altro evento, saper calcolare la speranza matematica, la varianza di una v.a., saper calcolare la legge di v.a..

Autonomia di giudizio. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi nell'ambito della probabilità e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L’esame consiste di una sola prova scritta. La  prova scrittta è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. 

Probabilità discrete: Operazioni logiche tra insiemi. Probabilità discrete. Alcuni problemi d'urna. Probabilità condizionata e indipendenza. Variabili aleatorie discrete. La diseguaglianza di Cebysev. Alcune distribuzioni di probabilità discrete. Probabilità di un assegnato numero di eventi. Alcuni problemi classici di probabilità. La definizione soggettiva della probabilità.

Variabili Aleatorie: Variabili aleatorie assolutamente continue. La speranza matematica. La varianza. Le funzioni di ripartizione. Esempi. Probabilità geometriche. La covarianza. Trasformazioni di variabili aleatorie. La formula di de Moivre–Stirling. I teoremi di de Moivre–Laplace.

C. Sempi: Introduzione alla Probabilità

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e Geometria ed Algebra

Successioni e serie di Funzioni. Limiti e continuità in più variabili. Calcolo differenziale in più variabili. Curve e integrali di linea. Equazioni differenziali ordinarie. Integrali multipl

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e  di illustrare le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi matematici di interesse dell'Ingegneria Civile.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado capace di analizzare, comprendere e risolvere problemi del tipo:

-Determinazione degli estremi relativi e assoluti (vincolati o no) di funzioni reali di più variabili reali;

-Calcolo integrali di linea, integrali di superficie, integrali doppi, tripli ;

-Determinazione di primitive di campi conservativi;

-Determinazione dell'integrale generale di classi fondamentali di equazioni differenziali;

-Studio del tipo di convergenza di successioni e di serie di funzioni.

Autonomia di giudizio. Alla fine del corso, lo studente deve possedere la capacità di elaborare dati complessi e/o frammentari e deve pervenire a idee e giudizi originali e autonomi, a scelte coerenti nell’ambito del proprio lavoro. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi  matematici e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L’esame consiste di due prove in cascata; 4 o 5 esercizi nella prima e 3 quesiti teorici nella seconda. La seconda prova scritta può essere sostituita da un'interrogazione orale, a richiesta dello studente. Ogni prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. L'esame è superato se ambedue le prove sono state superate. 

L'esame di marzo 2020 per i F.C. si terrà  in forma orale e consisterà in un colloquio sugli argomenti teorici del corso e sulla risoluzione di qualche esercizio.

Programma del corso

1. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Convergenza puntuale, assoluta puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma, di integrazione per serie e di derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier. (10 ore di lezione e 4 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 1).

2. Topologia di R^n e continuità: Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, parte interna, chiusura, frontiera. Successioni di R^n. Insiemi compatti. Insiemi connessi per poligonali, convessi, stellati. Limiti di funzioni di più variabili. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass, Teorema di Heine-Cantor. (6 ore di lezione e 3 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 2).

3. Calcolo differenziale di funzioni reali o vettoriali in più variabili: Derivate direzionali e parziali, differenziale e gradiente; conseguenze della differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivata della funzione composta-caso scalare e caso vettoriale. Derivate successive e teorema di Schwartz. Formula di Taylor. Massimi e minimi in piu’ variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Cambiamenti di coordinate. Grafici, versore normale. Estremi vincolati; moltiplicatori di Lagrange. (12 ore di lezione e 5 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 3).

4. Curve nello spazio e integrali di linea: Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di funzione reali e di funzioni vettoriali. Campi irrotazionali e conservativi. Potenziali. (7 ore di lezione e 3 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 4).

5. Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari: metodo della variazione dei parametri, metodi di calcolo della soluzione fondamentale nel caso di coefficienti costanti. Matrice Wronskiana. Casi particolari di equazioni non lineari del primo e del secondo ordine. (12 ore di lezione e 5 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 5).

6. Integrali multipli. Formule di riduzione ed insiemi normali. Insiemi normali del piano e integrali doppi. Insiemi normali nello spazio e integrali tripli. Cambiamenti di coordinate. Aree e volumi. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Superficie regolari e integrali di superficie. Area di una superficie regolare. Teorema della divergenza e Formula di Stokes. (10 ore di lezione e 4 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 6).

A. Albanese, A. Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica 2

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica II, Liguori Editore.

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. II, Liguori Editore.

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I, II, III.

Probabilità discreta. Variabili aleatorie discrete e asoolutamente continue.

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base della probabilità. Ovvero, conoscere il concetto di evento, conoscere le varie definizioni di probabilità, conoscere il concetto di gioco equo, conoscere l'impostazione assiomatica della probabilità, conoscere il concetto di probabilità condizionata, 
saper enunciare la formula di Bayes, conoscere le principali v.a.. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi di tipo probabilistico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado di analizzare, comprendere e risolvere problemi nell'ambito dei modelli probabilistici almeno nei casi più semplici. Ad esempio, 
saper calcolare la probabilità in semplici casi, saper calcolare la probabilità di un evento condizionato al verificarsi di un altro evento.

Autonomia di giudizio. Alla fine del corso, lo studente deve possedere la capacità di elaborare dati complessi e/o frammentari e deve pervenire a idee e giudizi originali e autonomi, a scelte coerenti nell’ambito del proprio lavoro. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi nell'ambito della probabilità e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L’esame consiste di una sola prova scritta. La  prova scrittta è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30.

Probabilità discrete: Operazioni logiche tra insiemi. Probabilità discrete. Alcuni problemi d'urna. Probabilità condizionata e indipendenza. Variabili aleatorie discrete. La diseguaglianza di Cebysev. Alcune distribuzioni di probabilità discrete. Probabilità di un assegnato numero di eventi. Alcuni problemi classici di probabilità. La definizione soggettiva della probabilità.

Variabili Aleatorie: Variabili aleatorie assolutamente continue. Le funzioni di ripartizione. Esempi. Probabilità geometriche. La covarianza. Trasformazioni di variabili aleatorie. La formula di de Moivre–Stirling. I teoremi di de Moivre–Laplace.

C. Sempi: Introduzione alla Probabilità

Sono propedeutici i corsi di Analisi Matematica I, II e III

Probabilità discreta. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base della probabilità. Ovvero, conoscere il concetto di evento, conoscere le varie definizioni di probabilità, conoscere il concetto di gioco equo, conoscere l'impostazione assiomatica della probabilità, conoscere il concetto di probabilità condizionata, 
saper enunciare la formula di Bayes, conoscere le principali v.a.. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi di tipo probabilistico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado di analizzare, comprendere e risolvere problemi nell'ambito dei modelli probabilistici almeno nei casi più semplici. Ad esempio, 
saper calcolare la probabilità in semplici casi, saper calcolare la probabilità di un evento condizionato al verificarsi di un altro evento.

Autonomia di giudizio. Alla fine del corso, lo studente deve possedere la capacità di elaborare dati complessi e/o frammentari e deve pervenire a idee e giudizi originali e autonomi, a scelte coerenti nell’ambito del proprio lavoro. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi nell'ambito della probabilità e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L'esame consiste di una sola prova scritta. La prova scritta è superata riportando un punteggio maggiore o uguale  a 18/30

Probabilità discrete: Operazioni logiche tra insiemi. Probabilità discrete. Alcuni problemi d'urna. Probabilità condizionata e indipendenza. Variabili aleatorie discrete. La diseguaglianza di Cebysev. Alcune distribuzioni di probabilità discrete. Probabilità di un assegnato numero di eventi. Alcuni problemi classici di probabilità. La definizione soggettiva della probabilità.

Variabili Aleatorie: Variabili aleatorie assolutamente continue. Le funzioni di ripartizione. Esempi. Probabilità geometriche. La covarianza. Trasformazioni di variabili aleatorie. La formula di de Moivre–Stirling. I teoremi di de Moivre–Laplace.

C. Sempi: Introduzione alla Probabilità

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e Geometria ed Algebra.

Successioni e serie di Funzioni. Limiti e continuità in più variabili. Calcolo differenziale in più variabili. Curve e integrali di linea. Equazioni differenziali ordinarie. Integrali multipli.

Conoscenze e comprensione. Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, gli argomenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e  di illustrare le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. In particolare, il corso si propone di fornire gli strumenti metodologici e operativi adeguati per poter interpretare, descrivere e risolvere problemi matematici di interesse dell'Ingegneria Civile.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Dopo aver seguito  il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali presentati. In particolare, lo studente dovrebbe essere in grado capace di analizzare, comprendere e risolvere problemi del tipo:

-Determinazione degli estremi relativi e assoluti (vincolati o no) di funzioni reali di più variabili reali;

-Calcolo integrali di linea, integrali di superficie, integrali doppi, tripli ;

-Determinazione di primitive di campi conservativi;

-Determinazione dell'integrale generale di classi fondamentali di equazioni differenziali;

-Studio del tipo di convergenza di successioni e di serie di funzioni.

Autonomia di giudizio. Alla fine del corso, lo studente deve possedere la capacità di elaborare dati complessi e/o frammentari e deve pervenire a idee e giudizi originali e autonomi, a scelte coerenti nell’ambito del proprio lavoro. Il corso promuove lo sviluppo dell’autonomia di giudizio nella scelta appropriata della metodologia per la risoluzione dei problemi  matematici e la capacità critica di individuare la strategia più adeguata.

Abilità comunicative.  Lo  studente deve essere in grado di comunicare con un pubblico vario e composito, non omogeneo culturalmente, in modo chiaro, logico ed efficace, utilizzando gli strumenti metodologici acquisiti e le conoscenze scientifiche.

Capacità di apprendimento.  Lo studente deve essere in grado di rielaborare, aggiornare e  applicare autonomamente le  conoscenze e i metodi appresi in vista di un’eventuale prosecuzione degli studi a livello superiore o nella più ampia prospettiva di auto-aggiornamento culturale e professionale dell'apprendimento permanente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L’esame consiste di due prove in cascata; 4 o 5 esercizi nella prima e 3 quesiti teorici nella seconda. La seconda prova scritta può essere sostituita da un'interrogazione orale, a richiesta dello studente. Ogni prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18/30. L'esame è superato se ambedue le prove sono state superate. 

Programma del corso

1. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Convergenza puntuale, assoluta puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni. Teorema di continuità della funzione somma, di integrazione per serie e di derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier. (10 ore di lezione e 4 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 1).

2. Topologia di R^n e continuità: Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, parte interna, chiusura, frontiera. Successioni di R^n. Insiemi compatti. Insiemi connessi per poligonali, convessi, stellati. Limiti di funzioni di più variabili. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass, Teorema di Heine-Cantor. (6 ore di lezione e 3 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 2).

3. Calcolo differenziale di funzioni reali o vettoriali in più variabili: Derivate direzionali e parziali, differenziale e gradiente; conseguenze della differenziabilità. Derivata della funzione composta-caso scalare e caso vettoriale. Derivate successive e teorema di Schwartz. Formula di Taylor. Massimi e minimi in piu’ variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Cambiamenti di coordinate. Grafici, versore normale. Estremi vincolati; moltiplicatori di Lagrange. (12 ore di lezione e 5 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 3).

4. Curve nello spazio e integrali di linea: Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di funzione reali e di funzioni vettoriali. Campi irrotazionali e conservativi. Potenziali. (7 ore di lezione e 3 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 4).

5. Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari: metodo della variazione dei parametri, metodi di calcolo della soluzione fondamentale nel caso di coefficienti costanti. Matrice Wronskiana. Casi particolari di equazioni non lineari del primo e del secondo ordine. (12 ore di lezione e 5 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 5).

6. Integrali multipli. Formule di riduzione ed insiemi normali. Insiemi normali del piano e integrali doppi. Insiemi normali nello spazio e integrali tripli. Cambiamenti di coordinate. Aree e volumi. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Superficie regolari e integrali di superficie. Area di una superficie regolare. Teorema della divergenza e Formula di Stokes. (10 ore di lezione e 4 ore di esercitazione da dedicare all’argomento n 6).

A. Albanese, A. Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica 2

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica II, Liguori Editore.

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. II, Liguori Editore.

Tutti gli argomenti dei corsi di Analisi Matematica I, II e III.

Nozioni fondamentali di Analisi Complessa. Trasformata di Laplace. Nozioni di base della Teoria dell'Integrazione di Lebesgue.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Complessa e nozioni di teoria dell'integrale di Lebesgue.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # essere in grado di utilizzare i numeri complessi e le funzioni di variabile complessa, la trasformata di Laplace e la teoria dell'integrale di Lebesgue, # essere in grado di calcolare integrali mediante il teorema dei residui, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi reale e complessa.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali  ed esercitazioni in aula.

Una prova scritta con 2 esercizi (8+8 punti) e 2 domande di teoria (7+7 punti). La prova è superata riportando un punteggio maggiore o uguale a 18.

Programma del corso svolto in collaborazione con il Prof. A. Leaci (6 CFU Prof. A. Leaci; 3 CFU Prof.ssa A.A. Albanese):  

Richiami sui numeri complessi. Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale  dei numeri complessi. Formula di de Moivre. Esponenziale nel campo complesso. Formula di Eulero. Seno e coseno. Altre funzioni trascendenti elementari (seno e coseno iperbolici). Polidromia e superficie di Riemann; radici n-esime, logaritmi, potenza con esponente complesso. Topologia di C. Il punto all'infinito. Successioni di numeri complessi. Limiti e continuità di funzioni complesse. 

Derivabilità in senso complesso.  Teorema di Cauchy-Riemann. Teorema di Goursat (senza dim.). Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze in C. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari. 

Integrale di una funzione complessa lungo una curva. Teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Corollari del teorema di Cauchy sui domini semplicemente connessi.  Indice di avvolgimento. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema della media integrale di Gauss. Teorema di unicità del prolungamento analitico. Prolungamento olomorfo attraverso una curva regolare. Teorema di riflessione di Schwarz. Lemma di Schwarz. Teorema di Riemann (senza dim.). Teorema di convergenza di Weierstrass.

Serie di Laurent. Teorema di Laurent nelle corone circolari. Punti di singolarità isolata. Sviluppo di Laurent in un punto di singolarità isolata. Residuo di una funzione in un punto di singolarità isolata. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Caratterizzazioni delle singolarità isolate. Teorema di Picard (senza dim.). Metodi per il calcolo dei residui. Singolarità nel punto all'infinito. Residuo di una funzione nel punto all'infinito. Teorema dei residui. Teorema dei residui II. Teorema del grande cerchio. Teorema del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui. Integrale nel senso del valor principale. Calcolo di integrali con l'uso del teorema dei residui e di funzioni polidrome. Calcolo di integrali definiti tra 0 e 2\pi di funzioni razionali di \cos\theta e \sin \theta. Formula di Heaviside (senza dim.). Indicatore logaritmico. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.  

Trasformata di Laplace: funzioni L-trasformabili. Ascissa di assoluta convergenza e trasformata di Laplace. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Trasformata delle potenze, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Regole algebriche di trasformazione: cambiamento di scala, traslazione, modulazione. Funzioni assolutamente continue secondo Vitali. Caratterizzazione delle funzioni AC. Funzioni localmente AC. Proprietà analitiche della trasformata di Laplace: trasformata delle derivate. Trasformata della primitiva (senza dim.). Prodotto di convoluzione di due funzioni L-trasformabili. Trasformata della convoluzione (senza dim.). Soluzione di equazioni differenziali lineari mediante la trasformata di Laplace. 

Elementi della teoria dell'integrale di Lebesgue: La misura di Lebesgue e le sue proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Misura prodotto e integrali multipli. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrazione per serie.

M. Carriero, S. Cito: Introduzione alla Analisi Complessa, Quaderni di Matematica, 2/2015, ESE - Salento University Publishing. http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/view/15664

F. Gazzola, F. Tomarelli, M. Zanotti: Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Società Editrice Esculapio,  Bologna, III Ed., 2015. 

W. Rudin: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino, 1974.