Alessandro MONTINARO

Alessandro MONTINARO

Professore II Fascia (Associato)

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03: GEOMETRIA.

Dipartimento di Matematica e Fisica "Ennio De Giorgi"

Ex Collegio Fiorini - Via per Arnesano - LECCE (LE)

Ufficio, Piano terra

Telefono +39 0832 29 7531

SSD Mat/03

Area di competenza:

Geometria, con particolare riguardo a quella su campi di Galois, Crittografia e Teoria dei codici.

Orario di ricevimento

Sono in Dipartimento quasi tutti i giorni (mattina e pomeriggio). Quindi la porta è sempre aperta per gli studenti che abbiano bisogno di aiuto!

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Curriculum Vitae

  • Nato a Lecce il 31.03.1977
  • Laureato in Matematica il 30.10.2001 presso l’Università del Salento con tesi dal titolo: Orbite 2-transitive nei piani proiettivi finiti.
  • Dottorato di Ricerca in Matematica 26.06.2005 presso l’Università del Salento con tesi dal titolo: The Bounded Cofman Problem.
  • Titolare di un Assegno di ricerca presso l’Università del Salento nel triennio 2005-2008.
  • Ricercatore presso l’Università del Salento dal 2008.
  • Professore di II Fascia presso l’Università del Salento dal 2015.
  • Autore di trenta pubblicazioni nel settore della Geometria Combinatoria.

Didattica

A.A. 2019/2020

CRITTOGRAFIA

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea Magistrale

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso APPLICATIVO

Sede Lecce

GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2018/2019

CRITTOGRAFIA

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea Magistrale

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso APPLICATIVO

Sede Lecce

GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2017/2018

GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce

ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Tipo corso di studio Laurea

Lingua ITALIANO

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE

Sede Lecce

A.A. 2016/2017

GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Per immatricolati nel 2015/2016

Anno di corso 2

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

A.A. 2015/2016

GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Per immatricolati nel 2015/2016

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

SISTEMI DI CIFRATURA E CODIFICA

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 42.0 Ore Studio individuale: 108.0

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Per immatricolati nel 2013/2014

Anno di corso 3

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

A.A. 2014/2015

GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Anno accademico di erogazione 2014/2015

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

A.A. 2013/2014

GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Anno accademico di erogazione 2013/2014

Per immatricolati nel 2013/2014

Anno di corso 1

Struttura DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA "ENNIO DE GIORGI"

Percorso PERCORSO COMUNE

Sede Lecce - Università degli Studi

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CRITTOGRAFIA

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea Magistrale

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 30/09/2019 al 20/12/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso APPLICATIVO (022)

Sede Lecce

CRITTOGRAFIA (MAT/03)
GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 24/02/2020 al 29/05/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

GEOMETRIA IV (MAT/03)
ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0

Per immatricolati nel 2019/2020

Anno accademico di erogazione 2019/2020

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 17/02/2020 al 29/05/2020)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA (MAT/03)
CRITTOGRAFIA

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea Magistrale

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 2

Semestre Primo Semestre (dal 02/10/2018 al 21/12/2018)

Lingua ITALIANO

Percorso APPLICATIVO (022)

Sede Lecce

ITALIAN

Aver superato Geometria I e II, Algebra I e II. Si richiede, inoltre, la conoscenza della Teoria delle Probabilità discrete ed elementi di Teoria della complessità computazionale. 

ENGLISH

In order to attend the course, it s required to having passed Geometry I and II, Algebra I and II. The knowledge of Theory of Discrete Probability and basics of Theory of computational complexity is also necessary.

ITALIAN

Il corso è dedicato l'acquisizione dei principi della Crittografia Classica e Moderna. Particolare attenzione è dedicata alle tecniche matematiche utilizzate in ambito crittografico.

ENGLISH

The course is dedicated to the acquisition of the principles of Classical and Modern Cryptography. Particular attention is devoted to the mathematical techniques applied to Cryptography.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Acquisire un'ampia conoscenza dei principi e degli strumenti matematici su cui si fonda la sicurezza delle comunicazioni segrete.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper utilizzare diverse aree della matematica, come la teoria dei numeri, la teoria dei gruppi e dei campi, la teoria delle curve ellittiche e il calcolo delle probabilità discrete per la costruzione dei cifrari in uso per la sicurezza delle comunicazioni. Essere capaci di stabilire i punti di forza e di debolezza circa la sicurezza e la efficienza computazionali di un sistema crittografico.

Autonomia di giudizio. Saper estrapolare e interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi non necessariamente di ambito matematico ma collegate alla sicurezza delle comunicazioni.

Abilità comunicative. Saper comunicare problematiche e soluzioni inerenti ad argomenti di Crittografia a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Essere consapevoli come diverse aree della matematica concorrano nella soluzione di problemi concreti, come, ad esempio, la mediazione tra sicurezza delle comunicazioni e l'efficienza computazionale dei sistemi crittografici. Essere in grado di comprendere autonomamente testi di livello avanzato ed articoli scientifici, anche a livello di ricerca.

ENGLISH

Knowledge and understanding. Acquire a broad knowledge of the principles and mathematical tools on which the security of secret communications is based.

Applying knowledge and understanding. Knowing how to use different areas of mathematics, such as Number Theory , Group Theory, Field Theory,  Theory of Elliptic Curves and the calculation of discrete probabilities for ciphers' construction of ciphers within communications security. Being  capable of establishing the strengths and weaknesses of the computational security and efficiency of a cryptographic system.

Making judgments. To be able to extrapolate and interpret the useful data in order to determine independent judgments concerning both problems closely related to the issues developed in the course, and problems not necessarily of mathematical scope but connected to the security of communications.

Communication. Knowing how to communicate problems and solutions related to cryptography topics to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong learning skills.  Be aware how different areas of mathematics compete in solving concrete problems, such as, for example, between security and computational efficiency of cryptographic systems. Being able to autonomously understand advanced level texts and scientific articles, even at the research level.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni.

ENGLISH

Lectures and exercises.

ITALIAN

L'esame finale consiste di una prova orale la cui durata è di circa 45' e consiste di almeno tre domande inerenti a parti del corso diverse. La prova è volta ad accertare le conoscenze acquisite nel corso e la capacità di esporle in maniera rigorosa. Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30.

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The final exam consists of an oral test which lasts about 45 minutes and consists of at least three questions concerning different parts of the course. The exam is aimed at ascertaining the knowledge acquired in the course and the ability to expose them in a rigorous manner.

The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30. Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Crittografia classica. Fondamenti. Cifrario di Cesare, cifrario mediante sostituzione, cifrario affine, cifrario di Vigenère, cifrario di Hill, cifrario mediante permutazione. Crittosistemi a flusso. Principi della crittanalisi. Crittanalisi del cifrario affine, del cifrario mediante sostituzione, del cifrario di Hill. Crittanalisi dei cifrari a flusso LFSR. Elementi della Teoria di Shannon. Segretezza perfetta. Caratterizzazione dei cifrari perfetti. Cifrario One-time Pad. Cifrari prodotto.

Cifrari a blocco. Advanced Encryption Standard. Reti di sostituzione-permutazione (SPN). Crittanalisi lineare. Lemma Piling up. Approssimazione degli S-box. Attacco lineare alle SPN. Crittanalisi differenziale. Data Encryption Standard: descrizione ed  analisi. Advanced Encryption Standard: descrizione ed analisi.

Funzioni Hash Crittografiche. Funzioni hash e integrità dei dati. Sicurezza delle funzioni hash. Il modello dell'oracolo random: algoritmi e confronto tra i sistemi di sicurezza. Funzioni hash iterate. La costruzione di Merkle-Damgård. L'algoritmo hash sicuro (SHA-1). Codici di autenticazione dei messaggi (MAC). MAC nidificati, HMAC, CBC-MAC. MAC incondizionatamente sicuri. Famiglie hash fortemente universali. Ottimalità della probabilità di inganno.

Il Crittosistema RSA e la fattorizzazione degli interi. Introduzione alla crittografia a chiave pubblica. Il crittosistema RSA. Test di Primalità: Soloway-Strassen, Miller-Rabin. Radici quadrate modulo un intero. Algoritmi per la fattorizzazione: algoritmo di p-1 di Pollard, algorithmo rho di Pollard, algoritmo di Dixon sui quadrati casuali. Ulteriori attacchi al RSA: calcolo della funzione di Eulero, esponente di decifratura, attaco di Wiener all'esponente basso di decifratura. 

Crittosistemi a chiave pubblica basati sul Problema del Logaritmo Discreto. Crittosistema di El-Gamal. Algoritmi per il calcolo del problema del logaritmo discreto: algoritmo di Shank,  algorithmo rho di Pollard per il problema del logaritmo discreto, Algoritmo di Pohlig-Hellmann. Curve ellittiche sui reali e sui campi finiti. Punti di compressione e sistemi di cifratura basati su curve ellittiche. Calcolo dei punti multipli su curve ellittiche. Sicurezza dei crittosistemi di El-Gamal. Crittosistema di Diffie-Hellmann.

Firma digitale. Requisiti di sicurezza per una firma digitale. Firma digitale e funzioni hash. Schema di firma digitale di El-Gamal e relative varianti. Schema di firma di Schnorr. Algoritmo di firma digitale. schema di firma basato s curve ellittiche. Schemi di firma dimostrabilmente sicuri. Firme digitali one-time. Full domain hash. Firme digitali non ripudiabili. Firme Fail-stop. 

ENGLISH

Classical Cryptography. Basics. The Ceasar Cipher, the Substitution Cipher, the Affine Cipher, the Vigenère Cipher, the Hill Cipher, the Permutation Cipher. Stream Ciphers. Basics of Cryptanalysis. Cryptanalysis of the  Affine Cipher, Cryptanalysis of the Substitution Cipher,  Cryptanalysis of the Vigenère Cipher, Cryptanalysis of the Hill Cipher, Cryptanalysis of LFSR Stream Ciphers. Basics of Shannon's Theory. Perfect Screcy. Characterization of Perfect Ciphers. One-time Pad Chipher. Product ciphers.

Block Cihpers. Advanced Encryption Standard. Substitution Permutation Network (SPN). Linear Cryptanalysis. Piling up lemma . Approximation of S-boxes. A Linear attack on SPN. Differential Cryptanalysis. Data Encryption Standard: description and analysis. Advanced Encryption Standard: description and analysis.

Cryptographic Hash Functions. Hash functions and data integrity. Security of hash functions. The random oracle model: algorithms and comparison of security criteria. Iterated hash functions. The Merkle-Damgård construction. The secure hash algorithm (SHA-1). Message authentication codes (MAC). Nested MAC, HMAC, CBC-MAC.  Unconditionally secure MAC. Strongly universal hash families. Optimality and deception probabilities.

The RSA Cryptosystem and factoring integers. Introduction to Public-Key cryptography. The RSA cryptosystem. Primality Tests: Soloway-Strassen, Miller-Rabin. Square roots modulo an integer. Factoring algorithms:  the Pollard p-1 algorithm, the Pollard rho algorithm, Dixon's random squares algorithm. Other attacks on RSA:  computing the Euler function, the decryption exponent, the Wiener's low decryption exponent attack.

Public-key cryptosystems based on the Discrete Logarithm Problem. The El-Gamal Crittosystem. Algorithms for the discrete logarithm problem: the Shank's algorithm, the Pollard rho discrete logarithm problem, The Pohlig-Hellmann algorithm. Elliptic curves over the reals and over finite fields. The poin compression and the Elliptic Curves Integrated Encryption Schemes. Computing multiple points on elliptic curves. Security of the El-Gamal cryptosystems. The Diffie-Hellmann Cryptosystem.

Signature Schemes. Security requirements for signature schemes. Signature and hash functions. The El-Gamal signature scheme and variants of it. The Schnorr signature scheme. The Digital signature algorithm. The elliptic curves DSA. Provably secure signature schemes. One-time signatures. Full domain hash. Undeniable signatures. Fail-stop signatures.

  • O. Goldreich, Foundations of Cryptography, Cambridge University Press, 2001.
  • J. Katz, Y. Lindell, Introduction to Modern Cryptography, Second Edition, Chapman & Hall/CRC, 2014  
  • N. Koblitz, A course in Number Theory and Cryptography, Springer, 2nd edition, 1999.
  • D. R. Stinson, Cryptography Theory and Practice, Third Edition, Chapman & Hall/CRC 2005
  • L. C. Washington, Elliptic curves. Number Theory and Cryptography, Chapman & Hall/Crc Florida, 2nd edition (2003)
  • Dispense del corso- Course notes (Work in Progress).
CRITTOGRAFIA (MAT/03)
GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 25/02/2019 al 31/05/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

ITALIAN

Aver superato l'esame di Geometria III. Avere una buona conoscenza degli argomenti trattati ad Analisi I e a Geometria I e II.

ENGLISH

Having passed Geometry III. Having a good knowledge of the topics treated in Analysis I and Geometry I and II.

ITALIAN

L'acquisizione di alcuni tra i più importanti concetti sia in ambito geometrico, quali gli spazi topologici, sia in ambito algebrico, ovvero la Forma Canonica di Jordan, che hanno notevoli applicazioni in diverse aree della matematica.

ENGLISH

The acquisition of some of the most important topics both in the geometric and algebric fields, such as topological spaces, and the Jordan Canonical Form, which have significant applications in different areas of mathematics.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Possedere una buona di conoscenza dei contenuti di due importanti aree della matematica: una di tipo geometrico, nell'ambito della topologia generale, e della Forma Canonica di Jordan che è una parte avanzata dell'Algebra Lineare.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper riprodurre autonomamente, in maniera rigorosa i contenuti acquisiti nel corso. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi.

Autonomia di giudizio. Saper estrapolare e interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi non necessariamente di ambito matematico.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e dimostrazioni inerenti ad argomenti di Topologia Generale e relativi alla Forma Canonica di Jordan a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper collegare, mettere insieme, sintetizzare argomenti provenienti da diverse aree della matematica e apparentemente diversi. Saper sfruttare le conoscenze acquisite nel corso per risolvere problemi in cui la topologia o la Forma Canonica di Jordan rappresenta un utile strumento.

ENGLISH

Knowledge and understanding. To possess a good knowledge of the contents of two important areas of mathematics: General Topology and The Jordan Canonical Form, which is an advanced part of Linear Algebra.

Applying knowledge and understanding. To be able to reproduce the contents acquired during the course in a rigorous manner. Know how to use them for the exercise resolutions.

Making Judgments. To be able to extrapolate and interpret the useful data deemed to make judgments concerning problems closely related to the course contents, and to problems not necessarily of a mathematical scope.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and demonstrations related to General Topology and to the Jordan Canonical Form to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong learning skills. Knowing how to connect, put together, summarize topics from different areas of mathematics. To be able to exploit the knowledge acquired in the course to solve problems in which the General Topology the Jordan Canonical Form represent useful tools.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni. 

ENGLISH

Lectures and exercises.

 ITALIAN

L'esame consiste di una prova orale, la cui durata è di circa 60', consiste di almeno tre domande inerenti a parti del corso diverse. Viene, inoltre, richiesta la risoluzione di un esercizio. La prova orale ha come obiettivo quello di verificare il grado di comprensione dei contenuti del corso, sia la capacità da parte dello studente di saperli collegare tra loro in modo rigoroso. Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30.

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The exam consists of a verbal test, whose duration is about 60 ', consists of at least three questions related to different parts of the course contents. The resolution of an exercise is also requested. The verbal test aims to verify the knowledge and understanding and applying knowledge and understanding  of the course contents. Particular attention is devoted to the ability of the student to know how to connect the course contents  in a rigorous manner. The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30.

Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Avere una forte motivazione e amore per la matematica.

ENGLISH

Having a strong motivation and love for math.

ITALIAN

TOPOLOGIA GENERALE

Spazi Topologici. Spazi topologici: topologia banale, topologia discreta, topologia con tre aperti, topologia naturale di R, topologia delle semirette sinistre aperte, topologia degli intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra, topologia naturale di R^n. Relazione di finezza tra topologie. Insiemi chiusi, topologia cofinita, varietà algebriche e topologia di Zariski. Chiusura topologica, interno di un insieme. Intorni, sistemi fondamentali di intorni, basi e sottobasi topologiche. Punti di aderenza, punti di accumulazione e derivato di un insieme. Insiemi perfetti, densi.  Frontiera di un insieme. 

Applicazioni continue. Applicazione tra spazi topologici continua in un punto. Equivalenza con la definizione di continuità in senso classico nel caso della topologia naturale di R^n.  Applicazioni continue tra spazi topologici e relativa caratterizzazione. Applicazioni aperte e relativa caratterizzazione. Applicazioni continue e aperte. Omeomorfismi e relativa caratterizzazione. Topologia immagine diretta. Topologia immagine inversa.

Sottospazi. Prodotti. Quozienti. Sottospazi di uno spazio topologico. Sottospazi e applicazioni continue.  Prodotto di spazi topologici (caso finito e infinito). spazio topologico quoziente. Applicazioni quoziente e continuità.

Assiomi di separazione e di numerabilità. Spazi di Hausdorff (T_2). Assiomi di numerabilità, spazi separabili, spazi di Lindelöff.

Spazi metrici. Spazi metrici e isometrie. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili, spazi metrici equivalenti. Proprietà metriche e proprietà

 topologiche di uno spazio metrico. Assiomi di numerabilità in uno spazio metrico. Gli spazi metrici sono di Hausdorff. Sottospazi di uno spazio metrico. Prodotto di spazi metrici. Successioni di punti di uno spazio topologico convergenti. Teorema di caratterizzazione delle applicazioni continue mediante successioni.

 Connessione. Spazi topologici connessi. Connessione nello spazio euclideo R^n: gli intervalli sono tutti e soli i connessi di R, connessione per poligonali in R^n ed equivalenza con il concetto di connessione nel caso degli aperti. Insiemi convessi. Spazi connessi e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse. Spazi topologici totalmente sconnessi.

 Compattezza. Spazi topologici compatti. Teorema di Wallace, compattezza e chiusura topologica. Spazi compatti ed applicazioni continue. Prodotto di spazi topologici compatti, Teorema di Tychonoff (solo enunciato) . Sottospazi compatti di R^n: Teorema di Heine-Pincherle-Borel. Teorema di Bolzano-Weierstrass: i compatti di R^n sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati.

FORMA CANONICA DI jORDAN

Endomorfismi triangolabili. Endomorfismi triangolabili e relativa caratterizzazione attraverso la decomponibilità del polinomio caratteristico.

Polinomio minimo. Teorema di Caley-Hamilton. Polinomio minimo di un endomorfismo (risp. di una matrice).  Teoremi per la determinazione del polinomio minimo. 

Forma Canonica di Jordan. Autospazi generalizzati. Teorema di decomposizione primaria. Blocchi di Jordan. Definizione di forma canonica di Jordan e di riducibilità in forma canonica di Jordan. Teorema di riduzione in forma canonica di Jordan. Formula per la determinazione del numero dei blocchi di Jordan di fissato ordine relativi ad un fissato autovalore. Determinazione  della matrice di passaggio alla base che realizza la matrice in forma canonica di Jordan.

 

ENGLISH

 

GENERAL TOPOLOGY

Topological spaces. Topological spaces: the trivial topology, the discrete topology, the three open topology, the Euclidean topology of R, the upper topology, the left half-open interval topology, the Euclidean topology of R ^ n. Finer and coarser topologies. Closed sets, cofinite topology, algebraic varieties and Zariski topology. Topological closure, Interior of a set. Neighbourhood of a point, local basis of neighbourhoods, topological bases and sub-bases. adherent points, accumulation points  and derived set. Perfect sets, dense sets. Boundary of a set.

Continuous mpas. Continuity at a point. Equivalence between the definitions of continuity at a point in the classical sense in the sense of the Eucledean topology of R ^ n. Continuous mpas between topological spaces and relative characterization. Open mpas and relative characterization. Continuous and open mpas. Homeomorphism and relative characterization. Direct image topology. Inverse image topology.

Subspaces. Products. Quotients. Subspaces of a topological space. Subspaces and continuous maps. Product of topological spaces (finite and infinite case). Topological quotient space. Quotient spaces and continuous maps.

Axioms of separation and numerability. Hausdorff spaces (T_2). Countability axioms, separable spaces, Lindelöff spaces.

Metric spaces. Metric spaces and isometries. Metric topology. Metrisable spaces, equivalent metric spaces. Metric properties and topological properties of a metric space. Numerability axioms in a metric space. Metric spaces are Hausdorff. Subspaces of a metric space. Product of metric spaces. Convergent sequences of points in a topological space. Sequentially continuous maps.

Connectedness. Connected topological spaces. Connectedness in the Euclidean space R ^ n: the intervals are the unique connected subsets of R; Polygonally path-connected subsets of R ^ n, equivalence of connectedness types in the open set case. Convex sets. Connected spaces and continuous maps. Path-Connectedness. Connected components. Totally disconnected topological spaces.

Compactness. Compact topological spaces. The Wallace's theorem, compactness and topological closure. Compact spaces and continuous maps. Product of compact topological spaces, The Tychonoff's theorem (statement only). Compact subspaces of R ^ n: The Heine-Pincherle-Borel's theorem. The Bolzano-Weierstrass' Theorem: the unique compact subspaces of R ^ n are the closed and bounded sets.

THE JORDAN CANONICAL FORM

Triangular endomorphisms. Triangular endomorphisms. Characterization of triangular endomorphism via the decomposability of the characteristic polynomial.

Minimum polynomial. The Caley-Hamilton's theorem. The Minimum polynomial of an endomorphism (resp. of a matrix). Theorems for the determination of the minimum polynomial.

The Jordan Canonical Form. Generalized eigenspaces. The primary decomposition theorem.  Jordan Blocks. Definition of the Jordan Canonical Form and related reduction. The Jordan Canonical Form theorem. Determining the number of Jordan blocks of a fixed order of a fixed eigenvalue. Obtaining the Jordan Canonical Form.

Per la Topologia Generale:

  • M. Manetti, Topologia, Springer-Verlag, Italia, Milano (2014) 
  • G. Tallini, Strutture Geometriche, Liguori Editore (1970).
  • S. Willard, General Topology, Dover Books on Mathematics (2012)

Per la Forma Canonica di Jordan:

  • P. B. Batthacharya, S. K. Jain, S.R. NagPaul, First Course in Linear Algebra. Second Edition, New Age International Publishers, New Delhi (2005).
  • C. Ciliberto, Algebra Lineare. Bollati-Boringheri (1994).
  • R. Kaye, R. Wilson, Linear Algebra. (Oxford Science Publications)-Oxford University Press, USA (1998).
  • S. Roman, Advanced Linear Algebra. Third editon, Springer (2007).
GEOMETRIA IV (MAT/03)
ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0

Per immatricolati nel 2018/2019

Anno accademico di erogazione 2018/2019

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 18/02/2019 al 31/05/2019)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

ITALIAN

Una buona conoscenza degli argomenti di matematica sviluppati nelle scuole secondarie superiori.

ENGLISH

A good knowledge of high school math subjects.

ITALIAN

L'obiettivo del corso è quello di fornire una buona preparazione su argomenti principali dell'Algebra Lineare e della Geometria Analitica nel piano e nello spazio. Particolare attenzione è dedicata allo studio delle coniche e delle quadriche.

ENGLISH

The aim of the course is to provide a good knowledge of the main topics in Linear Algebra and in Plane and Space Analytical Geometry. Particular attention is devoted to the study of conics and quadrics.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida conoscenza di alcuni argomenti fondamentali nell'ambito dell'Algebra Lineare e della Geometria Analitica nel piano e nello spazio. 

Capacità di applicare conoscenze e comprensione.  Saper utilizzare gli strumenti matematici sviluppati nel corso per risolvere problemi di natura algebrico-geometrica. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi.

Autonomia di giudizio. Saper estrapolare e interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi a carattere prettamente pratico.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e idee inerenti agli argomenti sviluppati nel corso a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper risolvere problematiche non strettamente inerenti agli argomenti di Algebra Lineare e di Geometria Analitica sviluppati nel corso, ma in cui questi rappresentano un utile strumento risolutivo. Saper cogliere e collegare gli aspetti geometrici e algebrici di un problema.

ENGLISH

Knowledge and understanding. Acquire a good knowledge of some fundamental topics in Linear Algebra and in Plane and Space Analytic Geometry.

Applying knowledge and understanding. Knowing how to use the math tools developed in the course in order to solve algebraic-geometric problems. Know how to use them to solve exercises.

Making judgments. To be able to extrapolate and interpret the useful data to make judgments concerning problems closely related to the course topics, and problems of a purely practical nature.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and ideas related to the course topics to specialist and non-specialist interlocutors.

Lifelong learning skills. Knowing how to solve problems not strictly related to the topics of Linear Algebra and Analytical Geometry,  where these represent a useful solution tool. Knowing how to gather and connect geometric and algebraic aspects of a problem.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni.

ENGLISH

Lectures and exercises.

ITALIAN

L'esame finale consiste di una prova scritta. La prova è volta a verificare che gli studenti abbiano acquisito le conoscenze relative ai contenuti del corso e che siano in grado di applicarle. 

La prova consiste due domande di teoria e di tre esercizi. Il superamento della prova è subordinato all'aver risposto correttamente ad almeno una delle due domande di teoria e di aver eseguito correttamente due dei tre esercizi proposti. Non è consentito l'uso di smartphone o di calcolatori di alcun genere. Non è valutato ciò che è scritto a matita. Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30.

Sono, inoltre, previste due prove parziali scritte (esoneri) da concordarsi con gli studenti che seguono il corso (può partecipare solo chi segue le lezioni). Superano l'esame gli studenti che ottengono la sufficienza ad entrambe le prove parziali- 18/30- (quindi, sono esonerati dal sostenere la prova finale).

Gli studenti dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The final exam consists of a written test. The test is aimed at verifying that the students have acquired the knowledge and applying the  knowledge of the course content.

The test consists of two questions concerning theory and of three exercises. The passing of the test is subject to having correctly answered at least one of the two questions and having correctly performed two of the three proposed exercises.

The use of smartphones or computers of any kind is not permitted. What is written in pencil is not evaluated. The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30.

There are also two written partial exams (exonerations) to be agreed with the students who take the course (only those who attend lessons can take part). Students who obtain sufficiency (18/30) at both partial exams pass the exam (therefore, they are exempted from taking the final exam).

Students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In case of passing the test, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Avere una forte motivazione e amore per la matematica.

ENGLISH

Having a strong motivation and love for math.

ITALIAN

Matrici. Determinanti. Sistemi di equazioni lineari. Matrici: definizione e operazioni. Determinante di una matrice quadrata: definizone e proprietà. Regola di Laplace. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni llineari. Teorema di Rouché-Capelli. Regola di Cramer.

Vettori Geometrici.  Definizione e operazioni. Prodotto di uno scalare per un vettore. Lineare indipendenza. Basi. Orientazione. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Prodotto misto.

Geometria analitica nel piano. Riferimento Cartesiano ortogonale. Coordinate cartesiane.  Retta per due punti. Equazione cartesiane ed equazioni parametriche di una retta. Mutua posizione di due rette. Angolo tra rette. Fascio di rette. Distanza tra due punto, distanza punto-retta. Circonferenza.

Coniche. Le coniche come sezioni di un cono.  Le coniche come luoghi geometrici. Coniche in forma canonica. Centro, assi, vertici, asintoti, fuochi e direttrici. Eccentricità di una conica.  Le coniche come curve algebriche: equazione generale di una conica. Invarianti di una conica. Riduzione in forma canonica di una conica.

Geometria analitica nello spazio. Riferimento Cartesiano ortogonale. Coordinate cartesiane. Equazione cartesiano ed equazioni parametriche di un piano. Mutua posizione di due piani. Angoli tra piani. Fasci di piani.  Retta: equazioni cartesiane ed equazioni parametriche. Mutua posizione retta-piano. Angolo tra retta e piano. Mutua posizione di due rette. Rette complanari e rette sghembe. Distanza punto-retta, punto-piano. Distanza tra rette parallele, distanza tra retta e piano paralleli, distanza tra piani paralleli, distanza tra rette sghembe. Sfere e circonferenze nello spazio. Superfici e curve nello spazio. Curve piane e curve sghembe. Superfici rigate. Coni e cilindri. Quadriche. 

ENGLISH

Matrices. Determinants. Systems of linear equations. Matrices: definition and operations. Determinant of a square matrix: definition and properties. The Laplace rule. The Binet's theorem. Invertible matrices. Rank of a matrix. Systems of Linear equations. The Rouché-Capelli theorem. The Cramer's Rule.

Geometric Vectors. Definition and operations. Product of a scalar and a vector. Linear independence. Bases. Orientation. Scalar product. Vector product. Mixed product.

Plane Analytic Geometry. Cartesian frame of reference. Cartesian coordinates. The equation of line incident with two points. Cartesian equation and parametric equations of a line in the plane. Mutual position of two lines. Angle between lines. Bundle of lines. Distance between two points, distance between a point and a line. The Circumference.

The Conics. The conics as sections of a cone. The conics as geometric places. The canonical form of a conic. Center, axes, vertices, asymptotes, fires and directives. Eccentricity of a conic. Conics as algebraic curves: general equation of a conic. Invariants of a conic. Reduction to the canonical form of a conic.

Space Analytic geometry. Cartesian frame of reference. Cartesian coordinates. Cartesian equation and parametric equations of a plane. Mutual position of two planes. Angles between planes. Bundles of planes. The line in the space: Cartesian equations and parametric equations. Mutual position line-plane. Angles between the line and plane. Mutual position of two lines. Skew lines and coplanar lines. Distance between a point and a line, distance between a point and a plane. Distance between parallel lines, distance between a line and parallel plane, distance between parallel planes, distance between skew lines. Spheres and circumferences in the space. Surfaces and curves. Planar curves. Ruled surfaces. Cones and cylinders. Quadrics.

ITALIAN

Dispense del corso.

ENGLISH

Course Notes.

ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA (MAT/03)
GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 26/02/2018 al 25/05/2018)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce

ITALIAN

Aver superato l'esame di Geometria III. Avere una buona conoscenza degli argomenti trattati ad Analisi I e a Geometria I e II.

ENGLISH

Having passed Geometry III. Having a good knowledge of the topics treated in Analysis I and Geometry I and II.

ITALIAN

L'acquisizione di alcuni tra i più importanti concetti sia in ambito geometrico, quali gli spazi topologici, sia in ambito algebrico, ovvero la Forma Canonica di Jordan, che hanno notevoli applicazioni in diverse aree della matematica.

ENGLISH

The acquisition of some of the most important topics both in the geometric and algebric fields, such as topological spaces, and the Jordan Canonical Form, which have significant applications in different areas of mathematics.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Possedere una buona di conoscenza dei contenuti di due importanti aree della matematica: una di tipo geometrico, nell'ambito della topologia generale, e della Forma Canonica di Jordan che è una parte avanzata dell'Algebra Lineare.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper riprodurre autonomamente, in maniera rigorosa i contenuti acquisiti nel corso. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi.

Autonomia di giudizio. Saper estrapolare e interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi non necessariamente di ambito matematico.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e dimostrazioni inerenti ad argomenti di Topologia Generale e relativi alla Forma Canonica di Jordan a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper collegare, mettere insieme, sintetizzare argomenti provenienti da diverse aree della matematica e apparentemente diversi. Saper sfruttare le conoscenze acquisite nel corso per risolvere problemi in cui la topologia o la Forma Canonica di Jordan rappresenta un utile strumento.

ENGLISH

Knowledge and understanding. To possess a good knowledge of the contents of two important areas of mathematics: General Topology and The Jordan Canonical Form, which is an advanced part of Linear Algebra.

Applying knowledge and understanding. To be able to reproduce the contents acquired during the course in a rigorous manner. Know how to use them for the exercise resolutions.

Making Judgments. To be able to extrapolate and interpret the useful data deemed to make judgments concerning problems closely related to the course contents, and to problems not necessarily of a mathematical scope.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and demonstrations related to General Topology and to the Jordan Canonical Form to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong learning skills. Knowing how to connect, put together, summarize topics from different areas of mathematics. To be able to exploit the knowledge acquired in the course to solve problems in which the General Topology the Jordan Canonical Form represent useful tools.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni. 

ENGLISH

Lectures and exercises.

 ITALIAN

L'esame consiste di una prova orale, la cui durata è di circa 60', consiste di almeno tre domande inerenti a parti del corso diverse. Viene, inoltre, richiesta la risoluzione di un esercizio. La prova orale ha come obiettivo quello di verificare il grado di comprensione dei contenuti del corso, sia la capacità da parte dello studente di saperli collegare tra loro in modo rigoroso. Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30.

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The exam consists of a verbal test, whose duration is about 60 ', consists of at least three questions related to different parts of the course contents. The resolution of an exercise is also requested. The verbal test aims to verify the knowledge and understanding and applying knowledge and understanding  of the course contents. Particular attention is devoted to the ability of the student to know how to connect the course contents  in a rigorous manner. The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30.

Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Avere una forte motivazione e amore per la matematica.

ENGLISH

Having a strong motivation and love for math.

ITALIAN

TOPOLOGIA GENERALE

Spazi Topologici. Spazi topologici: topologia banale, topologia discreta, topologia con tre aperti, topologia naturale di R, topologia delle semirette sinistre aperte, topologia degli intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra, topologia naturale di R^n. Relazione di finezza tra topologie. Insiemi chiusi, topologia cofinita, varietà algebriche e topologia di Zariski. Chiusura topologica, interno di un insieme. Intorni, sistemi fondamentali di intorni, basi e sottobasi topologiche. Punti di aderenza, punti di accumulazione e derivato di un insieme. Insiemi perfetti, densi.  Frontiera di un insieme. 

Applicazioni continue. Applicazione tra spazi topologici continua in un punto. Equivalenza con la definizione di continuità in senso classico nel caso della topologia naturale di R^n.  Applicazioni continue tra spazi topologici e relativa caratterizzazione. Applicazioni aperte e relativa caratterizzazione. Applicazioni continue e aperte. Omeomorfismi e relativa caratterizzazione. Topologia immagine diretta. Topologia immagine inversa.

Sottospazi. Prodotti. Quozienti. Sottospazi di uno spazio topologico. Sottospazi e applicazioni continue.  Prodotto di spazi topologici (caso finito e infinito). spazio topologico quoziente. Applicazioni quoziente e continuità.

Assiomi di separazione e di numerabilità. Spazi di Hausdorff (T_2). Assiomi di numerabilità, spazi separabili, spazi di Lindelöff.

Spazi metrici. Spazi metrici e isometrie. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili, spazi metrici equivalenti. Proprietà metriche e proprietà

 topologiche di uno spazio metrico. Assiomi di numerabilità in uno spazio metrico. Gli spazi metrici sono di Hausdorff. Sottospazi di uno spazio metrico. Prodotto di spazi metrici. Successioni di punti di uno spazio topologico convergenti. Teorema di caratterizzazione delle applicazioni continue mediante successioni.

 Connessione. Spazi topologici connessi. Connessione nello spazio euclideo R^n: gli intervalli sono tutti e soli i connessi di R, connessione per poligonali in R^n ed equivalenza con il concetto di connessione nel caso degli aperti. Insiemi convessi. Spazi connessi e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse. Spazi topologici totalmente sconnessi.

 Compattezza. Spazi topologici compatti. Teorema di Wallace, compattezza e chiusura topologica. Spazi compatti ed applicazioni continue. Prodotto di spazi topologici compatti, Teorema di Tychonoff (solo enunciato) . Sottospazi compatti di R^n: Teorema di Heine-Pincherle-Borel. Teorema di Bolzano-Weierstrass: i compatti di R^n sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati.

FORMA CANONICA DI jORDAN

Endomorfismi triangolabili. Endomorfismi triangolabili e relativa caratterizzazione attraverso la decomponibilità del polinomio caratteristico.

Polinomio minimo. Teorema di Caley-Hamilton. Polinomio minimo di un endomorfismo (risp. di una matrice).  Teoremi per la determinazione del polinomio minimo. 

Forma Canonica di Jordan. Autospazi generalizzati. Teorema di decomposizione primaria. Blocchi di Jordan. Definizione di forma canonica di Jordan e di riducibilità in forma canonica di Jordan. Teorema di riduzione in forma canonica di Jordan. Formula per la determinazione del numero dei blocchi di Jordan di fissato ordine relativi ad un fissato autovalore. Determinazione  della matrice di passaggio alla base che realizza la matrice in forma canonica di Jordan.

 

ENGLISH

 

GENERAL TOPOLOGY

Topological spaces. Topological spaces: the trivial topology, the discrete topology, the three open topology, the Euclidean topology of R, the upper topology, the left half-open interval topology, the Euclidean topology of R ^ n. Finer and coarser topologies. Closed sets, cofinite topology, algebraic varieties and Zariski topology. Topological closure, Interior of a set. Neighbourhood of a point, local basis of neighbourhoods, topological bases and sub-bases. adherent points, accumulation points  and derived set. Perfect sets, dense sets. Boundary of a set.

Continuous mpas. Continuity at a point. Equivalence between the definitions of continuity at a point in the classical sense in the sense of the Eucledean topology of R ^ n. Continuous mpas between topological spaces and relative characterization. Open mpas and relative characterization. Continuous and open mpas. Homeomorphism and relative characterization. Direct image topology. Inverse image topology.

Subspaces. Products. Quotients. Subspaces of a topological space. Subspaces and continuous maps. Product of topological spaces (finite and infinite case). Topological quotient space. Quotient spaces and continuous maps.

Axioms of separation and numerability. Hausdorff spaces (T_2). Countability axioms, separable spaces, Lindelöff spaces.

Metric spaces. Metric spaces and isometries. Metric topology. Metrisable spaces, equivalent metric spaces. Metric properties and topological properties of a metric space. Numerability axioms in a metric space. Metric spaces are Hausdorff. Subspaces of a metric space. Product of metric spaces. Convergent sequences of points in a topological space. Sequentially continuous maps.

Connectedness. Connected topological spaces. Connectedness in the Euclidean space R ^ n: the intervals are the unique connected subsets of R; Polygonally path-connected subsets of R ^ n, equivalence of connectedness types in the open set case. Convex sets. Connected spaces and continuous maps. Path-Connectedness. Connected components. Totally disconnected topological spaces.

Compactness. Compact topological spaces. The Wallace's theorem, compactness and topological closure. Compact spaces and continuous maps. Product of compact topological spaces, The Tychonoff's theorem (statement only). Compact subspaces of R ^ n: The Heine-Pincherle-Borel's theorem. The Bolzano-Weierstrass' Theorem: the unique compact subspaces of R ^ n are the closed and bounded sets.

THE JORDAN CANONICAL FORM

Triangular endomorphisms. Triangular endomorphisms. Characterization of triangular endomorphism via the decomposability of the characteristic polynomial.

Minimum polynomial. The Caley-Hamilton's theorem. The Minimum polynomial of an endomorphism (resp. of a matrix). Theorems for the determination of the minimum polynomial.

The Jordan Canonical Form. Generalized eigenspaces. The primary decomposition theorem.  Jordan Blocks. Definition of the Jordan Canonical Form and related reduction. The Jordan Canonical Form theorem. Determining the number of Jordan blocks of a fixed order of a fixed eigenvalue. Obtaining the Jordan Canonical Form.

Per la Topologia Generale:

  • M. Manetti, Topologia, Springer-Verlag, Italia, Milano (2014) 
  • G. Tallini, Strutture Geometriche, Liguori Editore (1970).
  • S. Willard, General Topology, Dover Books on Mathematics (2012)

Per la Forma Canonica di Jordan:

  • P. B. Batthacharya, S. K. Jain, S.R. NagPaul, First Course in Linear Algebra. Second Edition, New Age International Publishers, New Delhi (2005).
  • C. Ciliberto, Algebra Lineare. Bollati-Boringheri (1994).
  • R. Kaye, R. Wilson, Linear Algebra. (Oxford Science Publications)-Oxford University Press, USA (1998).
  • S. Roman, Advanced Linear Algebra. Third editon, Springer (2007).
GEOMETRIA IV (MAT/03)
ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA

Corso di laurea OTTICA E OPTOMETRIA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 52.0

Per immatricolati nel 2017/2018

Anno accademico di erogazione 2017/2018

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 19/02/2018 al 01/06/2018)

Lingua ITALIANO

Percorso PERCORSO GENERICO/COMUNE (PDS0-2010)

Sede Lecce

ITALIAN

Una buona conoscenza degli argomenti di matematica sviluppati nelle scuole secondarie superiori.

ENGLISH

A good knowledge of high school math subjects.

ITALIAN

L'obiettivo del corso è quello di fornire una buona preparazione su argomenti principali dell'Algebra Lineare e della Geometria Analitica nel piano e nello spazio. Particolare attenzione è dedicata allo studio delle coniche e delle quadriche.

ENGLISH

The aim of the course is to provide a good knowledge of the main topics in Linear Algebra and in Plane and Space Analytical Geometry. Particular attention is devoted to the study of conics and quadrics.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida conoscenza di alcuni argomenti fondamentali nell'ambito dell'Algebra Lineare e della Geometria Analitica nel piano e nello spazio. 

Capacità di applicare conoscenze e comprensione.  Saper utilizzare gli strumenti matematici sviluppati nel corso per risolvere problemi di natura algebrico-geometrica. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi.

Autonomia di giudizio. Saper estrapolare e interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi a carattere prettamente pratico.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e idee inerenti agli argomenti sviluppati nel corso a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper risolvere problematiche non strettamente inerenti agli argomenti di Algebra Lineare e di Geometria Analitica sviluppati nel corso, ma in cui questi rappresentano un utile strumento risolutivo. Saper cogliere e collegare gli aspetti geometrici e algebrici di un problema.

ENGLISH

Knowledge and understanding. Acquire a good knowledge of some fundamental topics in Linear Algebra and in Plane and Space Analytic Geometry.

Applying knowledge and understanding. Knowing how to use the math tools developed in the course in order to solve algebraic-geometric problems. Know how to use them to solve exercises.

Making judgments. To be able to extrapolate and interpret the useful data to make judgments concerning problems closely related to the course topics, and problems of a purely practical nature.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and ideas related to the course topics to specialist and non-specialist interlocutors.

Lifelong learning skills. Knowing how to solve problems not strictly related to the topics of Linear Algebra and Analytical Geometry,  where these represent a useful solution tool. Knowing how to gather and connect geometric and algebraic aspects of a problem.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni.

ENGLISH

Lectures and exercises.

ITALIAN

L'esame finale consiste di una prova scritta. La prova è volta a verificare che gli studenti abbiano acquisito le conoscenze relative ai contenuti del corso e che siano in grado di applicarle. 

La prova consiste due domande di teoria e di tre esercizi. Il superamento della prova è subordinato all'aver risposto correttamente ad almeno una delle due domande di teoria e di aver eseguito correttamente due dei tre esercizi proposti. Non è consentito l'uso di smartphone o di calcolatori di alcun genere. Non è valutato ciò che è scritto a matita. Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30.

Sono, inoltre, previste due prove parziali scritte (esoneri) da concordarsi con gli studenti che seguono il corso (può partecipare solo chi segue le lezioni). Superano l'esame gli studenti che ottengono la sufficienza ad entrambe le prove parziali- 18/30- (quindi, sono esonerati dal sostenere la prova finale).

Gli studenti dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The final exam consists of a written test. The test is aimed at verifying that the students have acquired the knowledge and applying the  knowledge of the course content.

The test consists of two questions concerning theory and of three exercises. The passing of the test is subject to having correctly answered at least one of the two questions and having correctly performed two of the three proposed exercises.

The use of smartphones or computers of any kind is not permitted. What is written in pencil is not evaluated. The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30.

There are also two written partial exams (exonerations) to be agreed with the students who take the course (only those who attend lessons can take part). Students who obtain sufficiency (18/30) at both partial exams pass the exam (therefore, they are exempted from taking the final exam).

Students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In case of passing the test, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Avere una forte motivazione e amore per la matematica.

ENGLISH

Having a strong motivation and love for math.

ITALIAN

Matrici. Determinanti. Sistemi di equazioni lineari. Matrici: definizione e operazioni. Determinante di una matrice quadrata: definizone e proprietà. Regola di Laplace. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni llineari. Teorema di Rouché-Capelli. Regola di Cramer.

Vettori Geometrici.  Definizione e operazioni. Prodotto di uno scalare per un vettore. Lineare indipendenza. Basi. Orientazione. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Prodotto misto.

Geometria analitica nel piano. Riferimento Cartesiano ortogonale. Coordinate cartesiane.  Retta per due punti. Equazione cartesiane ed equazioni parametriche di una retta. Mutua posizione di due rette. Angolo tra rette. Fascio di rette. Distanza tra due punto, distanza punto-retta. Circonferenza.

Coniche. Le coniche come sezioni di un cono.  Le coniche come luoghi geometrici. Coniche in forma canonica. Centro, assi, vertici, asintoti, fuochi e direttrici. Eccentricità di una conica.  Le coniche come curve algebriche: equazione generale di una conica. Invarianti di una conica. Riduzione in forma canonica di una conica.

Geometria analitica nello spazio. Riferimento Cartesiano ortogonale. Coordinate cartesiane. Equazione cartesiano ed equazioni parametriche di un piano. Mutua posizione di due piani. Angoli tra piani. Fasci di piani.  Retta: equazioni cartesiane ed equazioni parametriche. Mutua posizione retta-piano. Angolo tra retta e piano. Mutua posizione di due rette. Rette complanari e rette sghembe. Distanza punto-retta, punto-piano. Distanza tra rette parallele, distanza tra retta e piano paralleli, distanza tra piani paralleli, distanza tra rette sghembe. Sfere e circonferenze nello spazio. Superfici e curve nello spazio. Curve piane e curve sghembe. Superfici rigate. Coni e cilindri. Quadriche. 

ENGLISH

Matrices. Determinants. Systems of linear equations. Matrices: definition and operations. Determinant of a square matrix: definition and properties. The Laplace rule. The Binet's theorem. Invertible matrices. Rank of a matrix. Systems of Linear equations. The Rouché-Capelli theorem. The Cramer's Rule.

Geometric Vectors. Definition and operations. Product of a scalar and a vector. Linear independence. Bases. Orientation. Scalar product. Vector product. Mixed product.

Plane Analytic Geometry. Cartesian frame of reference. Cartesian coordinates. The equation of line incident with two points. Cartesian equation and parametric equations of a line in the plane. Mutual position of two lines. Angle between lines. Bundle of lines. Distance between two points, distance between a point and a line. The Circumference.

The Conics. The conics as sections of a cone. The conics as geometric places. The canonical form of a conic. Center, axes, vertices, asymptotes, fires and directives. Eccentricity of a conic. Conics as algebraic curves: general equation of a conic. Invariants of a conic. Reduction to the canonical form of a conic.

Space Analytic geometry. Cartesian frame of reference. Cartesian coordinates. Cartesian equation and parametric equations of a plane. Mutual position of two planes. Angles between planes. Bundles of planes. The line in the space: Cartesian equations and parametric equations. Mutual position line-plane. Angles between the line and plane. Mutual position of two lines. Skew lines and coplanar lines. Distance between a point and a line, distance between a point and a plane. Distance between parallel lines, distance between a line and parallel plane, distance between parallel planes, distance between skew lines. Spheres and circumferences in the space. Surfaces and curves. Planar curves. Ruled surfaces. Cones and cylinders. Quadrics.

ITALIAN

Dispense del corso.

ENGLISH

Course Notes.

ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA (MAT/03)
GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2016/2017

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 27/02/2017 al 26/05/2017)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ITALIAN

Aver sostenuto l'esame di Geometria I.

ENGLISH

Having passed Geometry I.

ITALIAN

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente l'acquisizione delle competenze di base nell'ambito dell'Algebra Lineare e della Geometria Proiettiva nel piano con particolare riguardo alle coniche e alle curve algebriche piane.

ENGLISH

The aim of the course is to provide the acquisition of basic skills in Linear Algebra and PLANE Projective Geometry with particular regard to conics and algebraic plane curves.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Possedere una buona di conoscenza degli argomenti classici di Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva del piano.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper riprodurre autonomamente, in maniera rigorosa, i contenuti acquisiti nel corso. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi. Essere in grado di formalizzare problemi di svariata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione.

Autonomia di giudizio. Saper interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi in cui gli argomenti del corso sono un utile strumento.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e dimostrazioni inerenti ad argomenti sviluppati nel corso a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper collegare correttamente, sintetizzare argomenti Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva. Essere in grado di comprendere, autonomamente, testi sia di Algebra Lineare che di Geometria Proiettiva.

ENGLISH

Knowledge and understanding. Have a good knowledge of the classical topics in Linear Algebra and Plane Projective Geometry.

Applying knowledge and understanding. To be able to reproduce the course contents acquired autonomously, in a rigorous manner. Know how to use them in the exercise resolution. Being able to formalize problems of various difficulty, in order to facilitate their analysis and resolution.

Making Judgments. Knowing how to interpret the useful data in order to make judgments concerning problems closely related to the course contents, and to problems in which the course topics are useful tools.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and proofs of the course contents to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong Learning skills. Knowing how to correctly put togeher, synthesize Linear Algebra and Projective Geometry topics. Being able to autonomously understand both Linear Algebra and Projection Geometry texts.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni.

ENGLISH

Lectures and exercises.

 ITALIAN

L'esame finale consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta, la cui duratata è di 2h 30', consiste di tre esercizi, è volta a verificare che gli studenti siano in grado di applicare i contenuti acquisiti nel corso. Nella prova scritta non è consentito l'suo di smartphone e calcolatori di alcun genere. Non è valutato ciò che è scritto a matita.

La prova orale, la cui durata è di circa 60', consiste di almeno tre domande ed  è volta a verificare il grado di acquisizione e la capacità di esposizione rigorosa degli argomenti del corso. 

Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30 sia alla prova scritta che a quella orale. Gli studenti che ottengono la sufficienza (18/30) alla prova scritta in un appello possono presentarsi alla prova orale entro sei mesi dalla prova scritta. La prova scritta è mantenuta per un massimo di due prove orali. Se lo studente non supera la prova orale due volte  è tenuto a rifare la prova scritta. Sono, inoltre, previste due prove scritte intermedie (esoneri) da concordarsi con gli studenti che seguono il corso. Gli studenti che ottengono la sufficienza in entrambe le prove scritte sono esonerati dal sostenere la prova scritta fino alla sessione di Settembre e potranno presentarsi a sostenere la prova orale. 

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The final exam consists of a written test and and a verbal test. The duration of the written test is 2h 30 '. The test consists of three exercises, and its aim s to certify the degree of applying of knowledge and understanding of the course contents. No smartphone or any type of calculators are allowed during the test. The part written by using pencils is not assessed.

The verbal exam, whose duration is about 60 '. consists of three questions. Its aim is to certify the knowledge and understanding of the course contents. 

The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30 for both the written and the verbal test. Students who obtain a sufficiency (18/30) from the written test in an appeal can attend the verbal exam within six months. The written test is held for a maximum of two verbal tests. If the student does not pass the verbal exam, then he/she is required to repeat the written test. In addition, intermediate written tests (exonerations) are scheduled to be agreed with the students who take the course. Students who obtain sufficiency in both exonerations are exempted from taking the written test up to the September session.

Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Essere fortemente motivati nella comprensione e nello studio della matematica! Non pensare all'esame come fine a se stesso e indipendente dagli altri, ma come un momento di crescita e considerare gli argomenti sviluppati nel corso di Geometria  II fortemente collegati agli argomenti svillluppati negli altri corsi.

ENGLISH

Be strongly motivated in understanding and studying mathematics! Do not think of the exam as an end in itself and independent from others, but as a moment of growth and consider the topics developed in the course of Geometry II strongly linked to the topics developed in the other courses.

ITALIAN

Forme bilineari. definizione, proprietà ed esempi. Spazio vettoriale delle forme bilineari. Matrice associata e rappresentazioni matriciali rispetto a basi diverse. Rango di una forma bilineare. Forme bilineari e simmetriche. Vettori ortogonali, vettori isotropi. Sottospazi ortogonali. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme bilineari simmetriche degeneri e non degeneri. Teorema di rappresentazione di Riesz per spazi vettoriali muniti di una forma bilineare, simmetrica non degenere. Forma quadratica associata e formula di polarizzazione. Basi ortogonali. Teoremi di esistenza delle stesse in spazi vettoriali su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Teorema di Sylvester e segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Classificazione degli spazi metrici reali.

Prodotto scalare e spazio vettoriale euclideo. Proprietà ed esempi. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Schwarz,  disuguaglianza triangolare. Angolo convesso (non orientato) tra vettori non nulli. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale.

Applicazione aggiunta ed endomorfismi simmetrici in uno spazio vettoriale euclideo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo simmetrico. Correlazione tra forme bilineari, simmetriche ed endomorfismi simmetrici. Radice quadrata di un endomorfismo simmetrico semidefinito positivo.

Trasformazioni ortogonali. Caratterizzazione ed esempi. Gruppo ortogonale. Teorema di decomposizione polare. Classificazione delle trasformazioni ortogonali nel piano e nello spazio. Teorema di Eulero.

Movimenti (isometrie). Caratterizzazione ed esempi. Classificazione dei movimenti nel piano e nello spazio. 

Coniche e curve algebriche piane. Piano proiettivo. Riferimento proiettivo. Coordinate proiettive omogenee. Trasformazioni proiettive. Gruppo proiettivo generale lineare 3-dimensionale. Coniche: definzione e proprietà proiettive. Rango di una conica. Classificazione proiettiva delle coniche in un piano proiettvo su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Polarità definita da una conica. Teorema di reciprocità. Punti interni ed esterni di una conica reale. Centro e diametri di una conica. Piano affine. Trasformazioni affini. Gruppo affine 2-dimensionale. Classificazione affine delle coniche in un campo algebricamente chiuso ed in R. Gruppo delle isometrie (movimenti) nel piano. Classificazione metrica delle coniche. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica. Fasci di coniche. Curve algebriche piane. Riducibilità. Significato geometrico dell’ordine. Teorema di Bezout (enunciato). Punti semplici, punti multipli e loro caratterizzazione. Punti di flesso e curva Hessiana. Esistenza di punti multipli e massimo numero di punti doppi. Studio di un punto cuspidale. Genere di una curva e curve razionali.

ENGLISH

Bilinear forms. definition, properties and examples. The vector space of bilinear forms. Matrix associated to a bilinear form and matrix representations with respect to different bases. Rank of a bilinear form. Symmetric bilinear forms. Orthogonal vectors, isotropic vectors. Orthogonal subspaces. The  kernel of a symmetric bilinear form. Degenerate and non-degenerate symmetric bilinear forms. The Riesz representation theorem for vector spaces with a non-degenerate symmetric bilinear form.  Quadratic form and polarization formula. Orthogonal bases. Theorems of existence of orthgonal bases: the algebraically closed field case and on the real case. The Sylvester's theorem and signature of a real symmetric bilinear form. Classification of real metric spaces.

Scalar product and Euclidean vector space. Properties and examples. Norm of a vector. The Schwarz's inequality, the triangular inequality. Convex angle (not oriented) between non-zero vectors. Orthonormal bases. The Gram-Schmidt ortonormalization. Orthogonal projections.

Adjoint map and symmetric endomorphisms in a Euclidean vector space. Eigenvalues ​​and eigenvectors of a symmetric endomorphism. Relation between bilinear, symmetrical and symmetrical endomorphisms. Square root of a positive semidefinite symmetric endomorphism.

Orthogonal maps. Characterization and examples. Orthogonal group. The polar decomposition theorem. Classification of orthogonal transformations in dimension 2 and 3. The Euler's theorem.

Isometries. Characterization and examples. Classification of the isometries in dimension 2 and 3.

Conics and plane algebraic curves. Projective plane. Projective frame. Homogeneous projective coordinates. Projective maps. The 3-dimensional linear general projective group. Conics: definition and projective properties. Rank of a conic. The projective classification of the conics:  the algebraically closed field case and the real case. Polarity determined by a conic. The reciprocity theorem. Internal and external points of a real conic. Center and diameters of a conic. The affine plane. The affine maps. The 2-dimensional affine group. Affine classifications of conics in an algebraically closed field and in R. The Group of isometries in the plane. Metric classification of conics. Canonical form of a conic. Conic bundles. Plane algebraic curves. Reducibility. Geometric meaning of the order. The Bezout's theorem (statement). Simple points, multiple points and their characterization. Flex points and the Hessian curve. The existence of multiple points and the maximum number of double points. The study of a cuspidal point. Curve type and rational curves.

 

  1. Dispense del corso (course notes)
  2. A. Sanini, Lezioni di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  3. A. Sanini, Esercizi di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  4. M. Stoka, Corso di Geometria Cedam, Terza edizione, 1995.
  5. M. Stoka, V. Pipitone, Esercizie problemi di Geometria 1, Cedam 1999.
  6. E. Sernesi, Geometria 1, Bollati boringhioeri 1999.
  7. C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri 1994
  8. S. Ronan, Advanced Linear Algebra, Springer, 2nd. ed. 2005.Appunti del Corso.
GEOMETRIA II (MAT/03)
GEOMETRIA IV

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2015/2016

Anno accademico di erogazione 2016/2017

Anno di corso 2

Semestre Secondo Semestre (dal 27/02/2017 al 26/05/2017)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ITALIAN

Aver superato l'esame di Geometria III. Avere una buona conoscenza degli argomenti trattati ad Analisi I e a Geometria I e II.

ENGLISH

Having passed Geometry III. Having a good knowledge of the topics treated in Analysis I and Geometry I and II.

ITALIAN

L'acquisizione di alcuni tra i più importanti concetti sia in ambito geometrico, quali gli spazi topologici, sia in ambito algebrico, ovvero la Forma Canonica di Jordan, che hanno notevoli applicazioni in diverse aree della matematica.

ENGLISH

The acquisition of some of the most important topics both in the geometric and algebric fields, such as topological spaces, and the Jordan Canonical Form, which have significant applications in different areas of mathematics.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Possedere una buona di conoscenza dei contenuti di due importanti aree della matematica: una di tipo geometrico, nell'ambito della topologia generale, e della Forma Canonica di Jordan che è una parte avanzata dell'Algebra Lineare.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper riprodurre autonomamente, in maniera rigorosa i contenuti acquisiti nel corso. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi.

Autonomia di giudizio. Saper estrapolare e interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi non necessariamente di ambito matematico.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e dimostrazioni inerenti ad argomenti di Topologia Generale e relativi alla Forma Canonica di Jordan a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper collegare, mettere insieme, sintetizzare argomenti provenienti da diverse aree della matematica e apparentemente diversi. Saper sfruttare le conoscenze acquisite nel corso per risolvere problemi in cui la topologia o la Forma Canonica di Jordan rappresenta un utile strumento.

ENGLISH

Knowledge and understanding. To possess a good knowledge of the contents of two important areas of mathematics: General Topology and The Jordan Canonical Form, which is an advanced part of Linear Algebra.

Applying knowledge and understanding. To be able to reproduce the contents acquired during the course in a rigorous manner. Know how to use them for the exercise resolutions.

Making Judgments. To be able to extrapolate and interpret the useful data deemed to make judgments concerning problems closely related to the course contents, and to problems not necessarily of a mathematical scope.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and demonstrations related to General Topology and to the Jordan Canonical Form to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong learning skills. Knowing how to connect, put together, summarize topics from different areas of mathematics. To be able to exploit the knowledge acquired in the course to solve problems in which the General Topology the Jordan Canonical Form represent useful tools.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni. 

ENGLISH

Lectures and exercises.

 ITALIAN

L'esame consiste di una prova orale, la cui durata è di circa 60', consiste di almeno tre domande inerenti a parti del corso diverse. Viene, inoltre, richiesta la risoluzione di un esercizio. La prova orale ha come obiettivo quello di verificare il grado di comprensione dei contenuti del corso, sia la capacità da parte dello studente di saperli collegare tra loro in modo rigoroso. Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30.

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The exam consists of a verbal test, whose duration is about 60 ', consists of at least three questions related to different parts of the course contents. The resolution of an exercise is also requested. The verbal test aims to verify the knowledge and understanding and applying knowledge and understanding  of the course contents. Particular attention is devoted to the ability of the student to know how to connect the course contents  in a rigorous manner. The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30.

Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Avere una forte motivazione e amore per la matematica.

ENGLISH

Having a strong motivation and love for math.

ITALIAN

TOPOLOGIA GENERALE

Spazi Topologici. Spazi topologici: topologia banale, topologia discreta, topologia con tre aperti, topologia naturale di R, topologia delle semirette sinistre aperte, topologia degli intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra, topologia naturale di R^n. Relazione di finezza tra topologie. Insiemi chiusi, topologia cofinita, varietà algebriche e topologia di Zariski. Chiusura topologica, interno di un insieme. Intorni, sistemi fondamentali di intorni, basi e sottobasi topologiche. Punti di aderenza, punti di accumulazione e derivato di un insieme. Insiemi perfetti, densi.  Frontiera di un insieme. 

Applicazioni continue. Applicazione tra spazi topologici continua in un punto. Equivalenza con la definizione di continuità in senso classico nel caso della topologia naturale di R^n.  Applicazioni continue tra spazi topologici e relativa caratterizzazione. Applicazioni aperte e relativa caratterizzazione. Applicazioni continue e aperte. Omeomorfismi e relativa caratterizzazione. Topologia immagine diretta. Topologia immagine inversa.

Sottospazi. Prodotti. Quozienti. Sottospazi di uno spazio topologico. Sottospazi e applicazioni continue.  Prodotto di spazi topologici (caso finito e infinito). spazio topologico quoziente. Applicazioni quoziente e continuità.

Assiomi di separazione e di numerabilità. Spazi di Hausdorff (T_2). Assiomi di numerabilità, spazi separabili, spazi di Lindelöff.

Spazi metrici. Spazi metrici e isometrie. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili, spazi metrici equivalenti. Proprietà metriche e proprietà

 topologiche di uno spazio metrico. Assiomi di numerabilità in uno spazio metrico. Gli spazi metrici sono di Hausdorff. Sottospazi di uno spazio metrico. Prodotto di spazi metrici. Successioni di punti di uno spazio topologico convergenti. Teorema di caratterizzazione delle applicazioni continue mediante successioni.

 Connessione. Spazi topologici connessi. Connessione nello spazio euclideo R^n: gli intervalli sono tutti e soli i connessi di R, connessione per poligonali in R^n ed equivalenza con il concetto di connessione nel caso degli aperti. Insiemi convessi. Spazi connessi e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse. Spazi topologici totalmente sconnessi.

 Compattezza. Spazi topologici compatti. Teorema di Wallace, compattezza e chiusura topologica. Spazi compatti ed applicazioni continue. Prodotto di spazi topologici compatti, Teorema di Tychonoff (solo enunciato) . Sottospazi compatti di R^n: Teorema di Heine-Pincherle-Borel. Teorema di Bolzano-Weierstrass: i compatti di R^n sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati.

FORMA CANONICA DI jORDAN

Endomorfismi triangolabili. Endomorfismi triangolabili e relativa caratterizzazione attraverso la decomponibilità del polinomio caratteristico.

Polinomio minimo. Teorema di Caley-Hamilton. Polinomio minimo di un endomorfismo (risp. di una matrice).  Teoremi per la determinazione del polinomio minimo. 

Forma Canonica di Jordan. Autospazi generalizzati. Teorema di decomposizione primaria. Blocchi di Jordan. Definizione di forma canonica di Jordan e di riducibilità in forma canonica di Jordan. Teorema di riduzione in forma canonica di Jordan. Formula per la determinazione del numero dei blocchi di Jordan di fissato ordine relativi ad un fissato autovalore. Determinazione  della matrice di passaggio alla base che realizza la matrice in forma canonica di Jordan.

 

ENGLISH

 

GENERAL TOPOLOGY

Topological spaces. Topological spaces: the trivial topology, the discrete topology, the three open topology, the Euclidean topology of R, the upper topology, the left half-open interval topology, the Euclidean topology of R ^ n. Finer and coarser topologies. Closed sets, cofinite topology, algebraic varieties and Zariski topology. Topological closure, Interior of a set. Neighbourhood of a point, local basis of neighbourhoods, topological bases and sub-bases. adherent points, accumulation points  and derived set. Perfect sets, dense sets. Boundary of a set.

Continuous mpas. Continuity at a point. Equivalence between the definitions of continuity at a point in the classical sense in the sense of the Eucledean topology of R ^ n. Continuous mpas between topological spaces and relative characterization. Open mpas and relative characterization. Continuous and open mpas. Homeomorphism and relative characterization. Direct image topology. Inverse image topology.

Subspaces. Products. Quotients. Subspaces of a topological space. Subspaces and continuous maps. Product of topological spaces (finite and infinite case). Topological quotient space. Quotient spaces and continuous maps.

Axioms of separation and numerability. Hausdorff spaces (T_2). Countability axioms, separable spaces, Lindelöff spaces.

Metric spaces. Metric spaces and isometries. Metric topology. Metrisable spaces, equivalent metric spaces. Metric properties and topological properties of a metric space. Numerability axioms in a metric space. Metric spaces are Hausdorff. Subspaces of a metric space. Product of metric spaces. Convergent sequences of points in a topological space. Sequentially continuous maps.

Connectedness. Connected topological spaces. Connectedness in the Euclidean space R ^ n: the intervals are the unique connected subsets of R; Polygonally path-connected subsets of R ^ n, equivalence of connectedness types in the open set case. Convex sets. Connected spaces and continuous maps. Path-Connectedness. Connected components. Totally disconnected topological spaces.

Compactness. Compact topological spaces. The Wallace's theorem, compactness and topological closure. Compact spaces and continuous maps. Product of compact topological spaces, The Tychonoff's theorem (statement only). Compact subspaces of R ^ n: The Heine-Pincherle-Borel's theorem. The Bolzano-Weierstrass' Theorem: the unique compact subspaces of R ^ n are the closed and bounded sets.

THE JORDAN CANONICAL FORM

Triangular endomorphisms. Triangular endomorphisms. Characterization of triangular endomorphism via the decomposability of the characteristic polynomial.

Minimum polynomial. The Caley-Hamilton's theorem. The Minimum polynomial of an endomorphism (resp. of a matrix). Theorems for the determination of the minimum polynomial.

The Jordan Canonical Form. Generalized eigenspaces. The primary decomposition theorem.  Jordan Blocks. Definition of the Jordan Canonical Form and related reduction. The Jordan Canonical Form theorem. Determining the number of Jordan blocks of a fixed order of a fixed eigenvalue. Obtaining the Jordan Canonical Form.

Per la Topologia Generale:

  • M. Manetti, Topologia, Springer-Verlag, Italia, Milano (2014) 
  • G. Tallini, Strutture Geometriche, Liguori Editore (1970).
  • S. Willard, General Topology, Dover Books on Mathematics (2012)

Per la Forma Canonica di Jordan:

  • P. B. Batthacharya, S. K. Jain, S.R. NagPaul, First Course in Linear Algebra. Second Edition, New Age International Publishers, New Delhi (2005).
  • C. Ciliberto, Algebra Lineare. Bollati-Boringheri (1994).
  • R. Kaye, R. Wilson, Linear Algebra. (Oxford Science Publications)-Oxford University Press, USA (1998).
  • S. Roman, Advanced Linear Algebra. Third editon, Springer (2007).
GEOMETRIA IV (MAT/03)
GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2015/2016

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 29/02/2016 al 31/05/2016)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ITALIAN

Aver sostenuto l'esame di Geometria I.

ENGLISH

Having passed Geometry I.

ITALIAN

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente l'acquisizione delle competenze di base nell'ambito dell'Algebra Lineare e della Geometria Proiettiva nel piano con particolare riguardo alle coniche e alle curve algebriche piane.

ENGLISH

The aim of the course is to provide the acquisition of basic skills in Linear Algebra and PLANE Projective Geometry with particular regard to conics and algebraic plane curves.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Possedere una buona di conoscenza degli argomenti classici di Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva del piano.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper riprodurre autonomamente, in maniera rigorosa, i contenuti acquisiti nel corso. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi. Essere in grado di formalizzare problemi di svariata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione.

Autonomia di giudizio. Saper interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi in cui gli argomenti del corso sono un utile strumento.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e dimostrazioni inerenti ad argomenti sviluppati nel corso a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper collegare correttamente, sintetizzare argomenti Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva. Essere in grado di comprendere, autonomamente, testi sia di Algebra Lineare che di Geometria Proiettiva.

ENGLISH

Knowledge and understanding. Have a good knowledge of the classical topics in Linear Algebra and Plane Projective Geometry.

Applying knowledge and understanding. To be able to reproduce the course contents acquired autonomously, in a rigorous manner. Know how to use them in the exercise resolution. Being able to formalize problems of various difficulty, in order to facilitate their analysis and resolution.

Making Judgments. Knowing how to interpret the useful data in order to make judgments concerning problems closely related to the course contents, and to problems in which the course topics are useful tools.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and proofs of the course contents to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong Learning skills. Knowing how to correctly put togeher, synthesize Linear Algebra and Projective Geometry topics. Being able to autonomously understand both Linear Algebra and Projection Geometry texts.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni.

ENGLISH

Lectures and exercises.

 ITALIAN

L'esame finale consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta, la cui duratata è di 2h 30', consiste di tre esercizi, è volta a verificare che gli studenti siano in grado di applicare i contenuti acquisiti nel corso. Nella prova scritta non è consentito l'suo di smartphone e calcolatori di alcun genere. Non è valutato ciò che è scritto a matita.

La prova orale, la cui durata è di circa 60', consiste di almeno tre domande ed  è volta a verificare il grado di acquisizione e la capacità di esposizione rigorosa degli argomenti del corso. 

Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30 sia alla prova scritta che a quella orale. Gli studenti che ottengono la sufficienza (18/30) alla prova scritta in un appello possono presentarsi alla prova orale entro sei mesi dalla prova scritta. La prova scritta è mantenuta per un massimo di due prove orali. Se lo studente non supera la prova orale due volte  è tenuto a rifare la prova scritta. Sono, inoltre, previste due prove scritte intermedie (esoneri) da concordarsi con gli studenti che seguono il corso. Gli studenti che ottengono la sufficienza in entrambe le prove scritte sono esonerati dal sostenere la prova scritta fino alla sessione di Settembre e potranno presentarsi a sostenere la prova orale. 

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The final exam consists of a written test and and a verbal test. The duration of the written test is 2h 30 '. The test consists of three exercises, and its aim s to certify the degree of applying of knowledge and understanding of the course contents. No smartphone or any type of calculators are allowed during the test. The part written by using pencils is not assessed.

The verbal exam, whose duration is about 60 '. consists of three questions. Its aim is to certify the knowledge and understanding of the course contents. 

The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30 for both the written and the verbal test. Students who obtain a sufficiency (18/30) from the written test in an appeal can attend the verbal exam within six months. The written test is held for a maximum of two verbal tests. If the student does not pass the verbal exam, then he/she is required to repeat the written test. In addition, intermediate written tests (exonerations) are scheduled to be agreed with the students who take the course. Students who obtain sufficiency in both exonerations are exempted from taking the written test up to the September session.

Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Essere fortemente motivati nella comprensione e nello studio della matematica! Non pensare all'esame come fine a se stesso e indipendente dagli altri, ma come un momento di crescita e considerare gli argomenti sviluppati nel corso di Geometria  II fortemente collegati agli argomenti svillluppati negli altri corsi.

ENGLISH

Be strongly motivated in understanding and studying mathematics! Do not think of the exam as an end in itself and independent from others, but as a moment of growth and consider the topics developed in the course of Geometry II strongly linked to the topics developed in the other courses.

ITALIAN

Forme bilineari. definizione, proprietà ed esempi. Spazio vettoriale delle forme bilineari. Matrice associata e rappresentazioni matriciali rispetto a basi diverse. Rango di una forma bilineare. Forme bilineari e simmetriche. Vettori ortogonali, vettori isotropi. Sottospazi ortogonali. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme bilineari simmetriche degeneri e non degeneri. Teorema di rappresentazione di Riesz per spazi vettoriali muniti di una forma bilineare, simmetrica non degenere. Forma quadratica associata e formula di polarizzazione. Basi ortogonali. Teoremi di esistenza delle stesse in spazi vettoriali su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Teorema di Sylvester e segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Classificazione degli spazi metrici reali.

Prodotto scalare e spazio vettoriale euclideo. Proprietà ed esempi. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Schwarz,  disuguaglianza triangolare. Angolo convesso (non orientato) tra vettori non nulli. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale.

Applicazione aggiunta ed endomorfismi simmetrici in uno spazio vettoriale euclideo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo simmetrico. Correlazione tra forme bilineari, simmetriche ed endomorfismi simmetrici. Radice quadrata di un endomorfismo simmetrico semidefinito positivo.

Trasformazioni ortogonali. Caratterizzazione ed esempi. Gruppo ortogonale. Teorema di decomposizione polare. Classificazione delle trasformazioni ortogonali nel piano e nello spazio. Teorema di Eulero.

Movimenti (isometrie). Caratterizzazione ed esempi. Classificazione dei movimenti nel piano e nello spazio. 

Coniche e curve algebriche piane. Piano proiettivo. Riferimento proiettivo. Coordinate proiettive omogenee. Trasformazioni proiettive. Gruppo proiettivo generale lineare 3-dimensionale. Coniche: definzione e proprietà proiettive. Rango di una conica. Classificazione proiettiva delle coniche in un piano proiettvo su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Polarità definita da una conica. Teorema di reciprocità. Punti interni ed esterni di una conica reale. Centro e diametri di una conica. Piano affine. Trasformazioni affini. Gruppo affine 2-dimensionale. Classificazione affine delle coniche in un campo algebricamente chiuso ed in R. Gruppo delle isometrie (movimenti) nel piano. Classificazione metrica delle coniche. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica. Fasci di coniche. Curve algebriche piane. Riducibilità. Significato geometrico dell’ordine. Teorema di Bezout (enunciato). Punti semplici, punti multipli e loro caratterizzazione. Punti di flesso e curva Hessiana. Esistenza di punti multipli e massimo numero di punti doppi. Studio di un punto cuspidale. Genere di una curva e curve razionali.

ENGLISH

Bilinear forms. definition, properties and examples. The vector space of bilinear forms. Matrix associated to a bilinear form and matrix representations with respect to different bases. Rank of a bilinear form. Symmetric bilinear forms. Orthogonal vectors, isotropic vectors. Orthogonal subspaces. The  kernel of a symmetric bilinear form. Degenerate and non-degenerate symmetric bilinear forms. The Riesz representation theorem for vector spaces with a non-degenerate symmetric bilinear form.  Quadratic form and polarization formula. Orthogonal bases. Theorems of existence of orthgonal bases: the algebraically closed field case and on the real case. The Sylvester's theorem and signature of a real symmetric bilinear form. Classification of real metric spaces.

Scalar product and Euclidean vector space. Properties and examples. Norm of a vector. The Schwarz's inequality, the triangular inequality. Convex angle (not oriented) between non-zero vectors. Orthonormal bases. The Gram-Schmidt ortonormalization. Orthogonal projections.

Adjoint map and symmetric endomorphisms in a Euclidean vector space. Eigenvalues ​​and eigenvectors of a symmetric endomorphism. Relation between bilinear, symmetrical and symmetrical endomorphisms. Square root of a positive semidefinite symmetric endomorphism.

Orthogonal maps. Characterization and examples. Orthogonal group. The polar decomposition theorem. Classification of orthogonal transformations in dimension 2 and 3. The Euler's theorem.

Isometries. Characterization and examples. Classification of the isometries in dimension 2 and 3.

Conics and plane algebraic curves. Projective plane. Projective frame. Homogeneous projective coordinates. Projective maps. The 3-dimensional linear general projective group. Conics: definition and projective properties. Rank of a conic. The projective classification of the conics:  the algebraically closed field case and the real case. Polarity determined by a conic. The reciprocity theorem. Internal and external points of a real conic. Center and diameters of a conic. The affine plane. The affine maps. The 2-dimensional affine group. Affine classifications of conics in an algebraically closed field and in R. The Group of isometries in the plane. Metric classification of conics. Canonical form of a conic. Conic bundles. Plane algebraic curves. Reducibility. Geometric meaning of the order. The Bezout's theorem (statement). Simple points, multiple points and their characterization. Flex points and the Hessian curve. The existence of multiple points and the maximum number of double points. The study of a cuspidal point. Curve type and rational curves.

 

  1. Dispense del corso (course notes)
  2. A. Sanini, Lezioni di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  3. A. Sanini, Esercizi di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  4. M. Stoka, Corso di Geometria Cedam, Terza edizione, 1995.
  5. M. Stoka, V. Pipitone, Esercizie problemi di Geometria 1, Cedam 1999.
  6. E. Sernesi, Geometria 1, Bollati boringhioeri 1999.
  7. C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri 1994
  8. S. Ronan, Advanced Linear Algebra, Springer, 2nd. ed. 2005.Appunti del Corso.
GEOMETRIA II (MAT/03)
SISTEMI DI CIFRATURA E CODIFICA

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 6.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 42.0 Ore Studio individuale: 108.0

Per immatricolati nel 2013/2014

Anno accademico di erogazione 2015/2016

Anno di corso 3

Semestre Primo Semestre (dal 21/09/2015 al 18/12/2015)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ITALIAN

Aver sostenuto gli esami di Geometria I, II e di Algebra I, II.

ENGLISH

Having passed the examinations of Geometry I, II and of Algebra I, II.

ITALIAN

Il corso intende fornire un background di metodi e risultati della Matematica Discreta utilizzati per la sicurezza della comunicazione odierna.

ENGLISH

The course aims to provide a background of methods and results of the Discrete Mathematics within today communication security.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Acquisire un'ampia conoscenza dei principi e degli strumenti matematici su cui si fonda la sicurezza delle comunicazioni segrete.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper utilizzare diverse aree della matematica, come la teoria dei numeri, la teoria dei gruppi e dei campi, la teoria delle curve ellittiche e il calcolo delle probabilità discrete per la costruzione dei cifrari in uso per la sicurezza delle comunicazioni. Essere capaci di stabilire i punti di forza e di debolezza circa la sicurezza e la efficienza computazionali di un sistema crittografico.

Autonomia di giudizio. Saper estrapolare e interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi non necessariamente di ambito matematico ma collegate alla sicurezza delle comunicazioni.

Abilità comunicative. Saper comunicare problematiche e soluzioni inerenti ad argomenti di Crittografia a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Essere consapevoli come diverse aree della matematica concorrano nella soluzione di problemi concreti, come, ad esempio, la mediazione tra sicurezza delle comunicazioni e l'efficienza computazionale dei sistemi crittografici. Essere in grado di comprendere autonomamente testi di livello avanzato ed articoli scientifici, anche a livello di ricerca.

ENGLISH

Knowledge and understanding. Acquire a broad knowledge of the principles and mathematical tools on which the security of secret communications is based.

Applying knowledge and understanding. Knowing how to use different areas of mathematics, such as Number Theory , Group Theory, Field Theory,  Theory of Elliptic Curves and the calculation of discrete probabilities for ciphers' construction of ciphers within communications security. Being  capable of establishing the strengths and weaknesses of the computational security and efficiency of a cryptographic system.

Making judgments. To be able to extrapolate and interpret the useful data in order to determine independent judgments concerning both problems closely related to the issues developed in the course, and problems not necessarily of mathematical scope but connected to the security of communications.

Communication. Knowing how to communicate problems and solutions related to cryptography topics to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong learning skills.  Be aware how different areas of mathematics compete in solving concrete problems, such as, for example, between security and computational efficiency of cryptographic systems. Being able to autonomously understand advanced level texts and scientific articles, even at the research level.

ITALIAN

 Lezioni frontali ed esercitazioni.

ENGLISH

Lectures and exercises.

ITALIAN

Elementi di Teoria dei Numeri. Sistema completo di residui modulo un intero. Piccolo Teorema di Fermat. Teorema Cinese dei Resti. Funzione "Phi" di Eulero. Teorema di Eulero. Radici primitive n-esime dell'unità. Simbolo di Legendre. Somme Gaussiane. Legge di Reciprocità Quadratica. Simbolo di Jacobi. Pseudoprimi. Numeri di Carmichael e relativa caratterizzazione. Teorema di Alford, Granville, Pomerance (enunciato). Pseudoprimi di Eulero. Test di Primalità di Soloway-Strassen. Pseudoprimi forti. Test di Primalità di Miller-Rabin.

Crittografia. Fondamenti: sistemi crittografici a chiave privata (simmetrici) e crittosistemi a chiave pubblica (asimmetrici). Firma digitale e funzioni hash. Conversione delle unità di messaggio in chiaro in interi o in elementi di un campo di Galois finito. Sistemi crittografici affini. Crittosistema RSA. Metodi di attacco al crittosistema RSA. Firma digitale basata sul crittosistema RSA. Il problema del logaritmo discreto. Protocollo di Diffie-Hellmann per lo scambio delle chiavi. Crittosistemi di Massey-Omura e di El Gamal. Firma digitale basata sul logaritmo discreto.  Metodo di Pohlig-Silver-Hellman per il calcolo dei logaritmi discreti.

Curve Ellittiche. Prorietà generali delle curve algebriche piane. Cubiche. Equazione di Weierstrass di una cubica. Algoritmo di Nagell (cenno). Curve Ellittiche a coefficienti in un campo finito. Gruppo associato ad una curva ellittica. Teorema di Hasse (cenno) sul numero di punti di un curva ellittica a coefficienti in un campo finito. Curve ellittiche modulari e relativa legge di gruppo. 

Crittografia basata su curve ellittiche. Costruzione di una curva ellittica. Conversione delle unità di messaggio in chiaro in punti di una curva ellittica a coefficienti in un campo finito. Analogo del crittosistema RSA basato su curve ellittiche (Koyama-Maurer-Okamoto). Il problema del logaritmo discreto per il gruppo associato ad una curva ellittica. Analoghi dei crittosistemi di Diffie-Hellman, Massey-Omura ed El Gamal. Firma digitale basata su curve ellittiche. Test di Primalità di Goldwasser-Kilian. Numeri e primi di Mersenne. Test di primalità di Lucas-Lehmer e analogo basato sulle curve ellittiche (Test di Gross). Fattorizzazione di interi attraverso le curve ellittiche. Algoritmo di Lenstra.

ENGLISH

Basics of Number Theory. Complete set of residues modulo an integer. Fermat's Little Theorem. The Chinese Remainder Theorem. The Euler "Phi" function. The Euler's theorem. Primitive n-th roots of the unity. The Legendre Symbol. Gaussian Sums. The Law of Quadratic Reciprocity. The Jacobi Symbol. Pseudoprimes. Characterization of Carmichael numbers. The Alford, Granville, Pomerance theorem (statement). Euler Pseudoprimes. The Soloway-Strassen Primality Test. Strong pseudoprimes. The Miller-Rabin Primality Test.

Cryptography. Basics: Private-key Cryptosystems (symmetric) and Public-key cryptosystems (asymmetric). Signature and hash functions. Conversion of plain message units into integers or into Galois field elements. The Affine Cryptosystem. The RSA Cryptosystem. Methods of attack on the RSA cryptosystem. Digital signature based on the RSA cryptosystem. The Discrete Logarithm Problem. The Diffie-Hellmann protocol for key-exchange. The Massey-Omura and The El Gamal cipher. The Digital signature based on Discrete Logarithm Problem. The Pohlig-Silver-Hellman algorithm for computing discrete logarithms.

Elliptic Curves. Plane algebraic curves. Cubic. Weierstrass equation of a cubic. Nagell's algorithm (nod). Elliptic curves over a finite field. The Group law of an elliptic curve. The Hasse's theorem for an elliptic curve over a finite field. Elliptic curves modulo an integer and related group law. 

Elliptic curves cryptosystems. Construction of an elliptic curve. Conversion of plain text message units to points of an elliptic coefficient curve over a finite field. Analog of the RSA cryptosystem based on elliptic curves (The Koyama-Maurer-Okamoto cryptosystem). The discrete logarithm problem for the elliptic curve group. The Analogs of the Diffie-Hellman, Massey-Omura and El Gamal cryptosystems. Digital signature based on elliptic curves. The Goldwasser-Kilian Primality Test. Mersenne numbers and primes. The Lucas-Lehmer primality test and its analogue based on elliptic curves ( The Gross Test). Factoring integers by means of elliptic curves. The Lenstra's algorithm.

  1. N. Koblitz, A course in Number Theory and Cryptography, Springer, 2nd edition, 1999.
  2. L. C. Washington, Elliptic curves. Number Theory and Cryptography, Chapman & Hall/Crc Florida, 2nd edition (2003)
  3.  Dispense del corso (Course Notes).
SISTEMI DI CIFRATURA E CODIFICA (MAT/03)
GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2014/2015

Anno accademico di erogazione 2014/2015

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 02/03/2015 al 29/05/2015)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ITALIAN

Aver sostenuto l'esame di Geometria I.

ENGLISH

Having passed Geometry I.

ITALIAN

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente l'acquisizione delle competenze di base nell'ambito dell'Algebra Lineare e della Geometria Proiettiva nel piano con particolare riguardo alle coniche e alle curve algebriche piane.

ENGLISH

The aim of the course is to provide the acquisition of basic skills in Linear Algebra and PLANE Projective Geometry with particular regard to conics and algebraic plane curves.

ITALIAN

Conoscenze e comprensione. Possedere una buona di conoscenza degli argomenti classici di Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva del piano.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper riprodurre autonomamente, in maniera rigorosa, i contenuti acquisiti nel corso. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi. Essere in grado di formalizzare problemi di svariata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione.

Autonomia di giudizio. Saper interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi in cui gli argomenti del corso sono un utile strumento.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e dimostrazioni inerenti ad argomenti sviluppati nel corso a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper collegare correttamente, sintetizzare argomenti Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva. Essere in grado di comprendere, autonomamente, testi sia di Algebra Lineare che di Geometria Proiettiva.

ENGLISH

Knowledge and understanding. Have a good knowledge of the classical topics in Linear Algebra and Plane Projective Geometry.

Applying knowledge and understanding. To be able to reproduce the course contents acquired autonomously, in a rigorous manner. Know how to use them in the exercise resolution. Being able to formalize problems of various difficulty, in order to facilitate their analysis and resolution.

Making Judgments. Knowing how to interpret the useful data in order to make judgments concerning problems closely related to the course contents, and to problems in which the course topics are useful tools.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and proofs of the course contents to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong Learning skills. Knowing how to correctly put togeher, synthesize Linear Algebra and Projective Geometry topics. Being able to autonomously understand both Linear Algebra and Projection Geometry texts.

ITALIAN

Lezioni frontali ed esercitazioni.

ENGLISH

Lectures and exercises.

 ITALIAN

L'esame finale consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta, la cui duratata è di 2h 30', consiste di tre esercizi, è volta a verificare che gli studenti siano in grado di applicare i contenuti acquisiti nel corso. Nella prova scritta non è consentito l'suo di smartphone e calcolatori di alcun genere. Non è valutato ciò che è scritto a matita.

La prova orale, la cui durata è di circa 60', consiste di almeno tre domande ed  è volta a verificare il grado di acquisizione e la capacità di esposizione rigorosa degli argomenti del corso. 

Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30 sia alla prova scritta che a quella orale. Gli studenti che ottengono la sufficienza (18/30) alla prova scritta in un appello possono presentarsi alla prova orale entro sei mesi dalla prova scritta. La prova scritta è mantenuta per un massimo di due prove orali. Se lo studente non supera la prova orale due volte  è tenuto a rifare la prova scritta. Sono, inoltre, previste due prove scritte intermedie (esoneri) da concordarsi con gli studenti che seguono il corso. Gli studenti che ottengono la sufficienza in entrambe le prove scritte sono esonerati dal sostenere la prova scritta fino alla sessione di Settembre e potranno presentarsi a sostenere la prova orale. 

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

ENGLISH

The final exam consists of a written test and and a verbal test. The duration of the written test is 2h 30 '. The test consists of three exercises, and its aim s to certify the degree of applying of knowledge and understanding of the course contents. No smartphone or any type of calculators are allowed during the test. The part written by using pencils is not assessed.

The verbal exam, whose duration is about 60 '. consists of three questions. Its aim is to certify the knowledge and understanding of the course contents. 

The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30 for both the written and the verbal test. Students who obtain a sufficiency (18/30) from the written test in an appeal can attend the verbal exam within six months. The written test is held for a maximum of two verbal tests. If the student does not pass the verbal exam, then he/she is required to repeat the written test. In addition, intermediate written tests (exonerations) are scheduled to be agreed with the students who take the course. Students who obtain sufficiency in both exonerations are exempted from taking the written test up to the September session.

Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

ITALIAN

Essere fortemente motivati nella comprensione e nello studio della matematica! Non pensare all'esame come fine a se stesso e indipendente dagli altri, ma come un momento di crescita e considerare gli argomenti sviluppati nel corso di Geometria  II fortemente collegati agli argomenti svillluppati negli altri corsi.

ENGLISH

Be strongly motivated in understanding and studying mathematics! Do not think of the exam as an end in itself and independent from others, but as a moment of growth and consider the topics developed in the course of Geometry II strongly linked to the topics developed in the other courses.

ITALIAN

Forme bilineari. definizione, proprietà ed esempi. Spazio vettoriale delle forme bilineari. Matrice associata e rappresentazioni matriciali rispetto a basi diverse. Rango di una forma bilineare. Forme bilineari e simmetriche. Vettori ortogonali, vettori isotropi. Sottospazi ortogonali. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme bilineari simmetriche degeneri e non degeneri. Teorema di rappresentazione di Riesz per spazi vettoriali muniti di una forma bilineare, simmetrica non degenere. Forma quadratica associata e formula di polarizzazione. Basi ortogonali. Teoremi di esistenza delle stesse in spazi vettoriali su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Teorema di Sylvester e segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Classificazione degli spazi metrici reali.

Prodotto scalare e spazio vettoriale euclideo. Proprietà ed esempi. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Schwarz,  disuguaglianza triangolare. Angolo convesso (non orientato) tra vettori non nulli. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale.

Applicazione aggiunta ed endomorfismi simmetrici in uno spazio vettoriale euclideo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo simmetrico. Correlazione tra forme bilineari, simmetriche ed endomorfismi simmetrici. Radice quadrata di un endomorfismo simmetrico semidefinito positivo.

Trasformazioni ortogonali. Caratterizzazione ed esempi. Gruppo ortogonale. Teorema di decomposizione polare. Classificazione delle trasformazioni ortogonali nel piano e nello spazio. Teorema di Eulero.

Movimenti (isometrie). Caratterizzazione ed esempi. Classificazione dei movimenti nel piano e nello spazio. 

Coniche e curve algebriche piane. Piano proiettivo. Riferimento proiettivo. Coordinate proiettive omogenee. Trasformazioni proiettive. Gruppo proiettivo generale lineare 3-dimensionale. Coniche: definzione e proprietà proiettive. Rango di una conica. Classificazione proiettiva delle coniche in un piano proiettvo su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Polarità definita da una conica. Teorema di reciprocità. Punti interni ed esterni di una conica reale. Centro e diametri di una conica. Piano affine. Trasformazioni affini. Gruppo affine 2-dimensionale. Classificazione affine delle coniche in un campo algebricamente chiuso ed in R. Gruppo delle isometrie (movimenti) nel piano. Classificazione metrica delle coniche. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica. Fasci di coniche. Curve algebriche piane. Riducibilità. Significato geometrico dell’ordine. Teorema di Bezout (enunciato). Punti semplici, punti multipli e loro caratterizzazione. Punti di flesso e curva Hessiana. Esistenza di punti multipli e massimo numero di punti doppi. Studio di un punto cuspidale. Genere di una curva e curve razionali.

ENGLISH

Bilinear forms. definition, properties and examples. The vector space of bilinear forms. Matrix associated to a bilinear form and matrix representations with respect to different bases. Rank of a bilinear form. Symmetric bilinear forms. Orthogonal vectors, isotropic vectors. Orthogonal subspaces. The  kernel of a symmetric bilinear form. Degenerate and non-degenerate symmetric bilinear forms. The Riesz representation theorem for vector spaces with a non-degenerate symmetric bilinear form.  Quadratic form and polarization formula. Orthogonal bases. Theorems of existence of orthgonal bases: the algebraically closed field case and on the real case. The Sylvester's theorem and signature of a real symmetric bilinear form. Classification of real metric spaces.

Scalar product and Euclidean vector space. Properties and examples. Norm of a vector. The Schwarz's inequality, the triangular inequality. Convex angle (not oriented) between non-zero vectors. Orthonormal bases. The Gram-Schmidt ortonormalization. Orthogonal projections.

Adjoint map and symmetric endomorphisms in a Euclidean vector space. Eigenvalues ​​and eigenvectors of a symmetric endomorphism. Relation between bilinear, symmetrical and symmetrical endomorphisms. Square root of a positive semidefinite symmetric endomorphism.

Orthogonal maps. Characterization and examples. Orthogonal group. The polar decomposition theorem. Classification of orthogonal transformations in dimension 2 and 3. The Euler's theorem.

Isometries. Characterization and examples. Classification of the isometries in dimension 2 and 3.

Conics and plane algebraic curves. Projective plane. Projective frame. Homogeneous projective coordinates. Projective maps. The 3-dimensional linear general projective group. Conics: definition and projective properties. Rank of a conic. The projective classification of the conics:  the algebraically closed field case and the real case. Polarity determined by a conic. The reciprocity theorem. Internal and external points of a real conic. Center and diameters of a conic. The affine plane. The affine maps. The 2-dimensional affine group. Affine classifications of conics in an algebraically closed field and in R. The Group of isometries in the plane. Metric classification of conics. Canonical form of a conic. Conic bundles. Plane algebraic curves. Reducibility. Geometric meaning of the order. The Bezout's theorem (statement). Simple points, multiple points and their characterization. Flex points and the Hessian curve. The existence of multiple points and the maximum number of double points. The study of a cuspidal point. Curve type and rational curves.

 

  1. Dispense del corso (course notes)
  2. A. Sanini, Lezioni di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  3. A. Sanini, Esercizi di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  4. M. Stoka, Corso di Geometria Cedam, Terza edizione, 1995.
  5. M. Stoka, V. Pipitone, Esercizie problemi di Geometria 1, Cedam 1999.
  6. E. Sernesi, Geometria 1, Bollati boringhioeri 1999.
  7. C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri 1994
  8. S. Ronan, Advanced Linear Algebra, Springer, 2nd. ed. 2005.Appunti del Corso.
GEOMETRIA II (MAT/03)
GEOMETRIA II

Corso di laurea MATEMATICA

Settore Scientifico Disciplinare MAT/03

Tipo corso di studio Laurea

Crediti 9.0

Ripartizione oraria Ore Attività frontale: 63.0 Ore Studio individuale: 162.0

Per immatricolati nel 2013/2014

Anno accademico di erogazione 2013/2014

Anno di corso 1

Semestre Secondo Semestre (dal 03/03/2014 al 31/05/2014)

Lingua

Percorso PERCORSO COMUNE (999)

Sede Lecce - Università degli Studi

ITALIAN

Aver sostenuto l'esame di Geometria I.

ENGLISH

Having passed Geometry I.

ITALIAN

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente l'acquisizione delle competenze di base nell'ambito dell'Algebra Lineare e della Geometria Proiettiva nel piano con particolare riguardo alle coniche e alle curve algebriche piane.

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The aim of the course is to provide the acquisition of basic skills in Linear Algebra and PLANE Projective Geometry with particular regard to conics and algebraic plane curves.

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Conoscenze e comprensione. Possedere una buona di conoscenza degli argomenti classici di Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva del piano.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione. Saper riprodurre autonomamente, in maniera rigorosa, i contenuti acquisiti nel corso. Saperli utilizzare nella risoluzione degli esercizi. Essere in grado di formalizzare problemi di svariata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione.

Autonomia di giudizio. Saper interpretare i dati ritenuti utili a determinare giudizi autonomi riguardanti sia problemi strettamente collegati alle tematiche sviluppate nel corso, sia problemi in cui gli argomenti del corso sono un utile strumento.

Abilità comunicative.  Saper comunicare problemi, soluzioni e dimostrazioni inerenti ad argomenti sviluppati nel corso a interlocutori specialisti e non specialisti.

Capacità di apprendimento. Saper collegare correttamente, sintetizzare argomenti Algebra Lineare e di Geometria Proiettiva. Essere in grado di comprendere, autonomamente, testi sia di Algebra Lineare che di Geometria Proiettiva.

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Knowledge and understanding. Have a good knowledge of the classical topics in Linear Algebra and Plane Projective Geometry.

Applying knowledge and understanding. To be able to reproduce the course contents acquired autonomously, in a rigorous manner. Know how to use them in the exercise resolution. Being able to formalize problems of various difficulty, in order to facilitate their analysis and resolution.

Making Judgments. Knowing how to interpret the useful data in order to make judgments concerning problems closely related to the course contents, and to problems in which the course topics are useful tools.

Communication. Knowing how to communicate problems, solutions and proofs of the course contents to specialists and non-specialist interlocutors.

Lifelong Learning skills. Knowing how to correctly put togeher, synthesize Linear Algebra and Projective Geometry topics. Being able to autonomously understand both Linear Algebra and Projection Geometry texts.

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Lezioni frontali ed esercitazioni.

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Lectures and exercises.

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L'esame finale consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta, la cui duratata è di 2h 30', consiste di tre esercizi, è volta a verificare che gli studenti siano in grado di applicare i contenuti acquisiti nel corso. Nella prova scritta non è consentito l'suo di smartphone e calcolatori di alcun genere. Non è valutato ciò che è scritto a matita.

La prova orale, la cui durata è di circa 60', consiste di almeno tre domande ed  è volta a verificare il grado di acquisizione e la capacità di esposizione rigorosa degli argomenti del corso. 

Lo studente supera l'esame se consegue un voto maggiore o uguale a 18/30 sia alla prova scritta che a quella orale. Gli studenti che ottengono la sufficienza (18/30) alla prova scritta in un appello possono presentarsi alla prova orale entro sei mesi dalla prova scritta. La prova scritta è mantenuta per un massimo di due prove orali. Se lo studente non supera la prova orale due volte  è tenuto a rifare la prova scritta. Sono, inoltre, previste due prove scritte intermedie (esoneri) da concordarsi con gli studenti che seguono il corso. Gli studenti che ottengono la sufficienza in entrambe le prove scritte sono esonerati dal sostenere la prova scritta fino alla sessione di Settembre e potranno presentarsi a sostenere la prova orale. 

Gli studenti italiani dovranno prenotarsi per sostenere l'esame finale utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Gli studenti ERASMUS dovranno effettuare la prenotazione dell'esame via mail all'indirizzo: alessandro.montinaro@unisalento.it almeno un giorno prima della data dell'esame. Nel caso di superamento della prova, la verbalizzazione del voto sarà effettuata mediante un verbale cartaceo.

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The final exam consists of a written test and and a verbal test. The duration of the written test is 2h 30 '. The test consists of three exercises, and its aim s to certify the degree of applying of knowledge and understanding of the course contents. No smartphone or any type of calculators are allowed during the test. The part written by using pencils is not assessed.

The verbal exam, whose duration is about 60 '. consists of three questions. Its aim is to certify the knowledge and understanding of the course contents. 

The student passes the exam if he/she obtains a grade greater than or equal to 18/30 for both the written and the verbal test. Students who obtain a sufficiency (18/30) from the written test in an appeal can attend the verbal exam within six months. The written test is held for a maximum of two verbal tests. If the student does not pass the verbal exam, then he/she is required to repeat the written test. In addition, intermediate written tests (exonerations) are scheduled to be agreed with the students who take the course. Students who obtain sufficiency in both exonerations are exempted from taking the written test up to the September session.

Italian students must register to take the final exam using only the online methods provided by the VOL system.

ERASMUS students must register the exam via email at: alessandro.montinaro@unisalento.it at least one day before the exam date. In the case of passing the exam, the grade will be recorded using an appropriate written report.

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Essere fortemente motivati nella comprensione e nello studio della matematica! Non pensare all'esame come fine a se stesso e indipendente dagli altri, ma come un momento di crescita e considerare gli argomenti sviluppati nel corso di Geometria  II fortemente collegati agli argomenti svillluppati negli altri corsi.

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Be strongly motivated in understanding and studying mathematics! Do not think of the exam as an end in itself and independent from others, but as a moment of growth and consider the topics developed in the course of Geometry II strongly linked to the topics developed in the other courses.

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Forme bilineari. definizione, proprietà ed esempi. Spazio vettoriale delle forme bilineari. Matrice associata e rappresentazioni matriciali rispetto a basi diverse. Rango di una forma bilineare. Forme bilineari e simmetriche. Vettori ortogonali, vettori isotropi. Sottospazi ortogonali. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Forme bilineari simmetriche degeneri e non degeneri. Teorema di rappresentazione di Riesz per spazi vettoriali muniti di una forma bilineare, simmetrica non degenere. Forma quadratica associata e formula di polarizzazione. Basi ortogonali. Teoremi di esistenza delle stesse in spazi vettoriali su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Teorema di Sylvester e segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Classificazione degli spazi metrici reali.

Prodotto scalare e spazio vettoriale euclideo. Proprietà ed esempi. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Schwarz,  disuguaglianza triangolare. Angolo convesso (non orientato) tra vettori non nulli. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale.

Applicazione aggiunta ed endomorfismi simmetrici in uno spazio vettoriale euclideo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo simmetrico. Correlazione tra forme bilineari, simmetriche ed endomorfismi simmetrici. Radice quadrata di un endomorfismo simmetrico semidefinito positivo.

Trasformazioni ortogonali. Caratterizzazione ed esempi. Gruppo ortogonale. Teorema di decomposizione polare. Classificazione delle trasformazioni ortogonali nel piano e nello spazio. Teorema di Eulero.

Movimenti (isometrie). Caratterizzazione ed esempi. Classificazione dei movimenti nel piano e nello spazio. 

Coniche e curve algebriche piane. Piano proiettivo. Riferimento proiettivo. Coordinate proiettive omogenee. Trasformazioni proiettive. Gruppo proiettivo generale lineare 3-dimensionale. Coniche: definzione e proprietà proiettive. Rango di una conica. Classificazione proiettiva delle coniche in un piano proiettvo su un campo algebricamente chiuso e sul campo dei numeri reali. Polarità definita da una conica. Teorema di reciprocità. Punti interni ed esterni di una conica reale. Centro e diametri di una conica. Piano affine. Trasformazioni affini. Gruppo affine 2-dimensionale. Classificazione affine delle coniche in un campo algebricamente chiuso ed in R. Gruppo delle isometrie (movimenti) nel piano. Classificazione metrica delle coniche. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica. Fasci di coniche. Curve algebriche piane. Riducibilità. Significato geometrico dell’ordine. Teorema di Bezout (enunciato). Punti semplici, punti multipli e loro caratterizzazione. Punti di flesso e curva Hessiana. Esistenza di punti multipli e massimo numero di punti doppi. Studio di un punto cuspidale. Genere di una curva e curve razionali.

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Bilinear forms. definition, properties and examples. The vector space of bilinear forms. Matrix associated to a bilinear form and matrix representations with respect to different bases. Rank of a bilinear form. Symmetric bilinear forms. Orthogonal vectors, isotropic vectors. Orthogonal subspaces. The  kernel of a symmetric bilinear form. Degenerate and non-degenerate symmetric bilinear forms. The Riesz representation theorem for vector spaces with a non-degenerate symmetric bilinear form.  Quadratic form and polarization formula. Orthogonal bases. Theorems of existence of orthgonal bases: the algebraically closed field case and on the real case. The Sylvester's theorem and signature of a real symmetric bilinear form. Classification of real metric spaces.

Scalar product and Euclidean vector space. Properties and examples. Norm of a vector. The Schwarz's inequality, the triangular inequality. Convex angle (not oriented) between non-zero vectors. Orthonormal bases. The Gram-Schmidt ortonormalization. Orthogonal projections.

Adjoint map and symmetric endomorphisms in a Euclidean vector space. Eigenvalues ​​and eigenvectors of a symmetric endomorphism. Relation between bilinear, symmetrical and symmetrical endomorphisms. Square root of a positive semidefinite symmetric endomorphism.

Orthogonal maps. Characterization and examples. Orthogonal group. The polar decomposition theorem. Classification of orthogonal transformations in dimension 2 and 3. The Euler's theorem.

Isometries. Characterization and examples. Classification of the isometries in dimension 2 and 3.

Conics and plane algebraic curves. Projective plane. Projective frame. Homogeneous projective coordinates. Projective maps. The 3-dimensional linear general projective group. Conics: definition and projective properties. Rank of a conic. The projective classification of the conics:  the algebraically closed field case and the real case. Polarity determined by a conic. The reciprocity theorem. Internal and external points of a real conic. Center and diameters of a conic. The affine plane. The affine maps. The 2-dimensional affine group. Affine classifications of conics in an algebraically closed field and in R. The Group of isometries in the plane. Metric classification of conics. Canonical form of a conic. Conic bundles. Plane algebraic curves. Reducibility. Geometric meaning of the order. The Bezout's theorem (statement). Simple points, multiple points and their characterization. Flex points and the Hessian curve. The existence of multiple points and the maximum number of double points. The study of a cuspidal point. Curve type and rational curves.

 

  1. Dispense del corso (course notes)
  2. A. Sanini, Lezioni di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  3. A. Sanini, Esercizi di Geometria, Editrice Levriotto & Bella.
  4. M. Stoka, Corso di Geometria Cedam, Terza edizione, 1995.
  5. M. Stoka, V. Pipitone, Esercizie problemi di Geometria 1, Cedam 1999.
  6. E. Sernesi, Geometria 1, Bollati boringhioeri 1999.
  7. C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri 1994
  8. S. Ronan, Advanced Linear Algebra, Springer, 2nd. ed. 2005.Appunti del Corso.
GEOMETRIA II (MAT/03)

Tesi

  1. Test di Primalità per i numeri di Mersenne basati sulle curve ellittiche (laureanda Silvia Carmen Conversano, Laurea Triennale, a.a. 2008-2009). 
  2. Metodi di attacco al crittosistema dello zaino (laureanda Federica Verdicchia, Laurea Triennale, a.a. 2009-2010). 
  3. Firma digitale basata sulle curve ellittiche (laureanda Barbara Campilongo, Laurea Triennale, a.a. 2009-2010). 
  4. La quadrica di Klein e l'applicazione di Plücker (laureanda Alessandra Colazzo, Laurea Triennale, a.a. 2011-2012).
  5. Schemi di costruzione delle chiavi di cifratura (laureanda Beatrice Pagliara, Laurea Triennale, a.a. 2011-2012). 
  6. Gruppi classici (laureando Antonio Eros Ponzo, Laurea Specialistica, a.a. 2012-2013).
  7. Corso di Crittografia  (laureanda Maria Stella Mancino, Laurea Specialistica, a.a. 2012-2013).
  8. Codici correttori di errori (laureando Salvatore Zecca, Laurea Specialistica, a.a. 2012-2013).
  9. Corso di Geometria II (laureanda Barbara Campilongo, Laurea Specialistica, a.a. 2013-2014).
  10. L'Unital Classico (laureanda Gianira Alfarano, Laurea Triennale, a.a. 2014-2015). 
  11. Sottoinsiemi Notevoli nei Piani di Figueroa (laureando Pierluigi Rizzo, Laurea Magistrale, a.a. 2014-2015).
  12. I Piani di Moulton (laureando Gabriele Presta, Laurea Triennale, a.a. 2015-2016).
  13. Projective planes of order q^3 admitting PGL(3,q) as a collineation group (dottorando Eros Ponzo, Tesi di Dottorato di Ricerca, Ciclo XXIX)
  14. Advanced Encryption Standard (laureanda Erica Elia, Laurea Triennale, a.a. 2016-2017). 
  15. Protocolli per la distribuzione di chiavi e protocollo di accordo sulle chiavi(laureanda Daniela Gallo, Laurea Triennale, a.a. 2018-2019). 

Pubblicazioni

  1. M. Biliotti, E. Francot, A. Montinaro, Non-symmetric 2-(v,k,λ) designs, with (r,λ)=1, admitting a non-solvable flag-transitive automorphism group of affine type, (submitted).
  2. M. Biliotti, A. Montinaro, P. Rizzo, Non-symmetric 2-(v,k,λ) designs, with (r,λ)=1, admitting a solvable flag-transitive automorphism group of affine type, J. Combin. Des. 27 (2019) 701--800. 
  3. E. Francot, A. Montinaro, P. Rizzo, A new characterization of the desarguesian and the Figueroa plane, Finite Fields Appl. 60 (2019) Article 101580.
  4. M. Biliotti, A. Montinaro, A characterization of the desarguesian and the Figueroa planes of order q^3, Journal Algebraic Combin. 48 (2018) 549--563.
  5. M. Biliotti, A. Montinaro, On flag-transitive symmetric designs of affine type, J .Combin. Des. 25 (2017) 85--97.
  6. M. Biliotti, A. Montinaro, On the rigidity of the Figueroa replacement, Combinatorica  37 (2017) 375--395.
  7. A. Montinaro, 2-(v,k,1) designs admitting a primitive rank 3 automorphism group of affine type: the extraspecial and the exceptional classes, J. Combin. Des. 23 (2015) 481--498. 
  8. M. Biliotti, A. Montinaro, E. Francot, 2-(v, k, 1) designs with a point-primitive rank 3 automorphism group of affine type, Des. Code. Cryptogr. 75 (2015) 135--171.
  9. M. Biliotti, A. Montinaro, An infinite class of 2-designs with λ=1 containing a PSU(3,q)-invariant oval, Discrete Math. 313 (2013) 790--1792.
  10. M. Biliotti, A. Montinaro, On PGL(2,q)-invariant unitals embedded in Desarguesian or in Hughes planes, Finite Fields Appl. 24 (2013) 66--87.
  11. M. Biliotti, A. Montinaro, On the automorphism group of inversive planes of odd order, J. Algebra 354 (2012) 49--70.
  12. N.L. Johnson, A. Montinaro, The Doubly-Transitive Focal-Spreads, Results Math. 62 (2012) 1--11.
  13. N.L. Johnson, A. Montinaro, The transitive t-parallelisms of a finite projective space, Adv. Geom. 12 (2012) 401--429.
  14. M. Biliotti, A. Montinaro, Transitive groups on the line at infinity of a finite affine plane, Finite Fields Appl. 17 (2011) 148--156.
  15. M. Biliotti, A. Montinaro, Affine planes admitting a collineation group with a transitive action on the line at infinity,  J. Algebra  323 (2010) 2779--2797.
  16. E. Diaz, N.L. Johnson, A. Montinaro, Elation switching in real parallelisms, Innov. Incidence Geom. 11 (2010) 115--137.
  17. M. Biliotti, A. Montinaro, Variation on them of Cofman, Note Mat. 29 (2009) 11-22.
  18. M. Biliotti,  N.L. Johnson, V. Jha, A. Montinaro, Classification of projective translation planes of order q^2 admitting a two-transitive orbits of length q+1, J. Geom. 90 (2008) 100--140.
  19. E. Diaz, N.L. Johnson, A. Montinaro, Coset Switching Parallelisms, Finite Fields Appl. 14 (2008) 766--784.
  20.  A. Montinaro, Finite Projective planes of order n admitting a 2-transitive orbit of length n/2-1, Aequationes Math. 76 (2008) 112--139.
  21. A. Montinaro, Flag-transitive and almost simple orbits in finite projective planes, Innov. Incidence Geom. 8 (2008) 1--37.
  22. A. Montinaro, On the Ree Unital, Des. Codes. Cryptogr. 46 (2008) 199--209.
  23. M. Biliotti, A. Montinaro, On the finite projective planes of order up to q^4, q odd, admitting PSL(3,q) as a collineation group, Innov. Incidence Geom. 6-7 (2008) 73--94.
  24. E. Diaz, N.L. Johnson, A. Montinaro, Transitive deficiency one partial parallelisms. Adv. Appl. Discrete Math. 1 (2008) 1--34.
  25. N.L. Johnson, A. Montinaro, The Doubly Transitive t-Parallelisms, Results Math. 52 (2008) 75--89.
  26. M. Biliotti,  N.L. Johnson, V. Jha, A. Montinaro, The Hall Plane of order 9 Revisited, Note Mat. 28 (2008) 105--117.
  27. M. Biliotti,  N.L. Johnson, V. Jha, A. Montinaro, Two-transitive groups on a hyperbolic unital, J. Combin. Theory Ser. A 115 (2008) 526--533.
  28. A. Montinaro, Large 2-transitive arcs, J. Combin. Theory Ser. A 114 (2007) 993--1023.
  29. A. Montinaro, Large doubly transitive orbits on a line, J. Aust. Math. Soc. 83 (2007) 227--269.
  30. A. Montinaro, Projective Planes with a Doubly Transitive Projective Subplanes. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 14 (2007) 117--134.
  31. A. Montinaro, The general structure of projective planes admitting PSL(2,q), Innov. Incidence Geom.  5 (2007) 35-116.
  32. M. Biliotti,  N.L. Johnson, V. Jha, A. Montinaro, Translation planes of order q^2 admitting a two-transitive orbit of length q+1 on the line at infinity, Des. Codes. Cryptogr. 44  (2007) 69--86.
  33. M. Biliotti, A. Montinaro, Finite projective planes of order n with a 2-transitive orbit of length n-3, Adv. Geom. 6 (2005) 15--37.

Temi di ricerca

- Piani proiettivi e loro gruppi di automorfismi: caratterizzazione dei piani proiettivi con ampi gruppi di collineazioni aventi una prescritta azione locale.

- Spazi lineari e loro gruppi di automorfismi: spazi lineari con parallelismo e relazioni con le partizioni dei gruppi.

- t-spreads e t-parallelismi di uno spazio proiettivo su un campo di Galois.