Il corso richiede le conoscenze previste nei test di ingresso alle Facoltà di Ingegneria e in particolare nozioni elementari di logica, teoria degli insiemi, algebra elementare, geometria euclidea, operazioni con polinomi e radici, i principali concetti di trigonometria, funzioni elementari (polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche) e lo studio di equazioni e disequazioni, in particolare razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.

Cenni di logica e teoria degli insiemi. 

Insiemi numerici.

La retta reale. 

Funzioni reali.

Funzioni elementari. 

Numeri complessi. 

Successioni. 

Limiti. 

Continuità. 

Calcolo differenziale.

Calcolo integrale. 

Strutture algebriche e spazi vettoriali. 

Matrici. 

Applicazioni lineari. 

Autovalori e autovettori. 

Sistemi di equazioni lineari. 

L'obiettivo del corso è quello di fornire una solida preparazione di base sui concetti fondamentali dell'analisi matematica e della geometria e in particolare per i capitoli che riguardano lo studio delle funzioni reali, i loro limiti, il calcolo differenziale, le strutture algebriche e l'algebra delle matrici. Le basi fornite sono finalizzate sia ai corsi successivi di matematica che ai corsi di ingegneria. Rispetto a tali conoscenze lo studente deve acquisirein particolare:

Knowledge and understanding. dovrà conoscere le definizioni e risultati fondamentali dell'analisi matematica in una variabile, della geometria e dell'algebra lineare ed essere in grado di comprendere come questi possono essere utilizzati nella risoluzione di problemi

Applying knowledge and understanding. dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.

Making judgements. dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti o fornitigli.

Communication. dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.

Learning skills. Lo studente dovrà essere in grado di impostare matematicamente e risolvere problemi riconducibili a conoscenze relative ai contenuti del corso.

Lezione frontale e esercitazione

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale e tali prove si svolgono in giorni distinti e prefissati; le date sono disponibili nel calendario degli esami del proprio Corso di Studi. La prova orale viene sostenuta solo dopo aver superato la prova scritta. Per accedere ad entrambe le prove bisogna prenotarsi sull’apposito portale degli studenti. Non è possibile sostenere la prova scritta se è stato assegnato un debito formativo in Analisi Matematica o in Geometria e questi non sono stati ancora superati.

Prova scritta – Consiste nello svolgimento di esercizi relativi ai contenuti del corso.

Prova orale – Riguarda contenuti di carattere teorico (definizioni, teoremi e proprietà svolte a lezione); il contenuto è precisato dal programma del corso disponibile nella Scheda del corso (nell’elenco dei documenti disponibili nella sezione Corsi). Vengono richiesti solo gli argomenti effettivamente trattati a lezione (comprese le dimostrazioni svolte).

Gli argomenti contrassegnati con * indicano che per essi è stata fornita una dimostrazione durante le lezioni che può essere oggetto di verifica durante la prova orale.

Cenni di logica e teoria degli insiemi. Proposizioni ed enunciati. Connettivi logici. Quantificatori. Insiemi, sottoinsiemi, intersezione, unione, complementare e differenza. Prodotto cartesiano.

Insiemi numerici. L’insieme dei numeri naturali. Principio di induzione completa e applicazioni (fattoriale e coefficienti binomiali, formula di Newton). L'insieme dei numeri interi. L'insieme dei numeri razionali. Non completezza dell'insieme dei numeri razionali. L'insieme dei numeri reali: descrizione assiomatica. Proprietà di completezza e conseguenze. Esistenza della radice n-esima.

La retta reale. Intervalli limitati, non limitati e centrati. Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Massimo e minimo di un sottoinsieme. Estremi inferiore e superiore. Caratterizzazione di sup e inf(*) Valore assoluto e proprietà (*)

Funzioni reali. Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzioni composte. Funzioni inverse. Equivalenza tra funzioni invertibili e biiettive. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni limitate superiormente e inferiormente. Massimi e minimi relativi ed assoluti. Estremi di una funzione. Funzioni monotone e proprietà.  Funzioni pari, dispari, periodiche.

Funzioni elementari. Definizioni e grafici e funzioni inverse. Operazioni con i grafici.

Numeri complessi. Forma algebrica e operazioni. Modulo e coniugato. Coordinate polari. Forma trigonometrica ed operazioni in forma trigonometrica. Forma di De Moivre. Forma esponenziale. Funzioni esponenziali, logaritmo, potenza, trigonometriche in C. Polinomi in C. Radici di un numero complesso (*). Teorema fondamentale dell’algebra e corollari(*).

Successioni. Successioni reali. Unicità del limite(*)Limitatezza delle successioni convergenti.(*). Limite di successioni e relazioni d’ordine(*) Teorema del confronto(*)Teorema sul limite delle successioni monotone(*)  Teorema sulla regolarità di estratte di successioni regolari. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti notevoli di successioni. Confronto tra infiniti. Successione geometrica(*). Teorema di Cesaro. Successione di Nepero(*)

Limiti. Punto di accumulazione e punto isolato. Definizione di limite. Teorema di caratterizzazione del limite mediante successioni(*).Unicità(*) e prime proprietà. Limiti destri e sinistri e proprietà. Teoremi di confronto per i limiti. Operazioni sui limiti: limite della somma, del prodotto, della reciproca e del quoziente. Limite delle funzioni composte. Limiti delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate. Limiti notevoli(*). Infinitesimi ed infiniti e regola di sostituzione.

Continuità. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Proprietà locali delle funzioni continue. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità eliminabili, di prima e di seconda specie. Teorema di Weierstrass(*). Teorema di esistenza degli zeri(*). Teorema dei valori intermedi (*)  Applicazioni alla risoluzione di equazioni. Uniforme continuità e teorema di Heine Cantor. Funzioni lipschitziane e relazioni con la uniforme continuità e la continuità.

Calcolo differenziale. Funzioni dotate di derivata e funzioni derivabili. Derivate sinistre e destre. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Punti di non derivabilità. Continuità delle funzioni derivabili(*). Regole di derivazione(*) e derivate delle funzioni elementari. Studio della derivabilità di una funzione reale. Estremi relativi. Teorema di Fermat(*) Teorema di Rolle(*), Cauchy(*) e Lagrange(*) e conseguenze.  Teorema di monotonia(*) Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Caratterizzazione della convessità(*): condizione necessaria perché un punto sia di flesso. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio del grafico di una funzione reale. Teorema di De L'Hopital(*) e applicazioni. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano(*). Condizioni sufficienti di estremalità(*) Applicazioni al calcolo dei limiti.

Calcolo integrale. Primitiva di una funzione. Funzioni integrabili secondo Riemann. Funzione di Dirichlet. Caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone e continue(*). Proprietà degli integrali. Interpretazione geometrica dell'integrale. Teorema della media integrale(*). Primitive di una funzione e proprietà. Integrale indefinito. Integrale definito e funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale(*) Metodi di integrazione. Integrali impropri. Esempio modello. Criteri di confronto e integrabilità.

Strutture algebriche e spazi vettoriali. Gruppi. Campi. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi. Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali. Somma e somma diretta di sottospazi, intersezione di sottospazi. Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza, insieme di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Basi di spazi vettoriali. Caratterizzazione di una base.  Metodo degli scarti successivi(*) Completamento ad una base. Esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale (*). Calcolo della dimensione di uno spazio vettoriale mediante il rango di una matrice Formula di Grassmann(*).

Matrici. Definizione, classi particolari di matrici. Operazioni tra matrici e proprietà. Matrici invertibili. Teorema della matrice inversa. Matrici ortogonali. Definizione di determinante e proprietà. Teorema di Laplace. Definizione di rango di una matrice. Calcolo del determinante e del rango mediante l’algoritmo di Gauss. Criterio dei minori orlati.

Applicazioni lineari. Definizioni, esempi e controesempi. Applicazioni lineari che associano ai vettori di una base dei vettori fissati(*). Nucleo e immagine.  Caratterizzazione di funzioni iniettive(*). Relazione fondamentale(*). Isomorfismi. Caratterizzazione di spazi isomorfi(*) Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. Cambiamento di base e matrici simili.

Autovalori e autovettori. Endomorfismi semplici. Matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico di un endomorfismo o di una matrice. Autovalori e autovettori di una matrice o di un endomorfismo. Caratterizzazione degli autovalori di una matrice(*) e di un endomorfismo(*). Matrici simili e loro caratterizzazione(*). Autospazi, molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criterio di semplicità. Teorema spettrale.

Sistemi di equazioni lineari. Definizione, matrice associata. Soluzioni (esistenza, numero e calcolo). Teorema di Rouché-Capelli(*). Dimensione dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Metodo di Cramer. Algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.

Libri e dispense

• Dispensa di "Analisi Matematica" di Albanese, Leaci e Pallara.
• Dispensa di Geometria ed Algebra di Chirivì e Vitolo.
• "AM1 - Analisi Matematica 1" di Addona, Gariboldi e Lorenzi (ed. Esculapio).
• "Algebra lineare e geometria" di Schlesinger (ed. Zanichelli).
• "Analisi Matematica 1" di Pagani e Salsa (ed. Zanichelli).
• "Analisi Matematica e Geometria 1" di Munarini (ed. Esculapio).

Eserciziari

• Dispensa di Eserciziario di Matematica 1 di Miranda e Paronetto.
• Dispensa di esercizi di Geometria e Algebra Lineare di Calvaruso e Vitolo.
• "Esercizi di algebra lineare e geometria" di Mauri e Schlesinger (ed. Zanichelli).
• "Esercizi di Analisi Matematica 1" di Salsa e Squellati (ed. Zanichelli).
• "Esercizi di Analisi Matematica e Geometria 1" di Munarini (ed. Esculapio).
• "Primo corso di Analisi Matematica" di Acerbi e Buttazzo (ed. Pitagora Editrice Bologna).
• "Esercizi e quesiti di Analisi Matematica 1" di Callegari e Marini (ed. Esculapio).

Analisi Matematica I.

Sarà senza dubbio utile aver frequentato Analisi Matematica II.

Conoscenze di base del calcolo delle probabilità.

Obiettivo del corso l'acquisizione da parte dello studente di conoscenze di base nell'ambito del calcolo delle probabilità. Al termine, lo studente sarà in grado di costruire e studiare semplici modelli probabilistici di fenomeni aleatori.

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Primo esame scritto, con quattro esercizi. La prova è superata con un voto maggiore o uguale a 18. 

Una seconda prova scritta con tre domande di teoria da svolgere in un'ora ed eventuale discussione contestuale sulle risposte fornite. La seconda prova deve essere sostenuta nella stessa sessione in cui è stata superata la prima prova. La valutazione finale tiene conto dei risultati conseguiti nelle due prove. 

Si consiglia ai non frequentanti di mettersi in contatto con il docente per avere indicazioni precise sulle tipologie di domande chieste all'esame.
Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Richiami di operazioni tra insiemi.

Spazi di probabilità generali:

Spazio campionario, sigma-algebra degli eventi. Definizione assiomatica di probabilità e prime conseguenze. Probabilità condizionata. Formula della probabilità totale e di Bayes. Indipendenza di eventi.

Spazi di probabilità e variabili aleatorie discrete:

Spazi di probabilità discreti, finiti, uniformi. Calcolo combinatorio. Variabili aleatorie. Densità di probabilità, funzione di ripartizione, legge. Valore atteso, varianza, covarianza, momenti. Retta di regressione lineare. 

Esempi: distribuzione uniforme, di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson. 

Teorema limite di Poisson. Vettori aleatori. Leggi congiunte e marginali. Variabili aleatorie indipendenti. Trasformazioni vettori aleatori. 

Variabili aleatorie assolutamente continue:

Variabili aleatorie reali assolutamente continue. Densità di probabilità, funzione di distribuzione, legge (nel caso a.c.). Valore atteso, varianza, covarianza, momenti (nel caso a.c.). 

Esempi: distribuzione uniforme, esponenziale, gamma, normale, chi quadro

Vettori aleatori assolutamente continui. Trasformazioni di vettori aleatori assolutamente continui; convoluzione. Disuguaglianze. 

Definizione di densità congiunta. Definizione di densità marginale e formula per il suo calcolo, con esempi. Definizione di indipendenza per vettori aleatori.

Disuguaglianze, convergenze, teoremi limite classici:

Funzione caratteristica. Teorema di unicità. Disuguaglianze di Markov-Chebychev, di Jensen, di Cauchy-Schwarz, di Chernoff, di Hoeffding. Convergenze. Legge dei grandi numeri. Teorema del limite centrale

Elementi di statistica.

Definizione di varianza e deviazione standard campionaria. Calcolo della media e della varianza campionaria. Distribuzione della varianza campionaria per una popolazione normale (chi-quadro). Distribuzione della media campionaria rispetto alla deviazione standard campionaria per una popolazione normale (t di Student). Stimatori di massima verosimiglianza (per la media della Bernoulli, per la media della Poisson, per la media della distribuzione uniforme e per la media e la deviazione standard della normale). Intervalli di confidenza per la deviazione standard di una normale, Intervalli di confidenza per la differenza tra le medie di due normali. Intervalli di confidenza per il parametro di una Bernoulli,

Test di ipotesi bilaterali con varianza nota. Test di ipotesi unilaterali con varianza nota. Test di ipotesi con varianza incognita.

Il programma potrà subire modifiche durante lo svolgimento del corso.

Testi di riferimento: 
Baldi, P., Introduzione alla probabilità con elementi di statistica, 2nd ed., McGraw-Hill, Milano 2012.

Per ulteriori esempi, discussioni ed esercizi, si consiglia:

Ross, S.M., Calcolo delle probabilità, 3rd ed., Apogeo, Milano 2013. 

Appunti online (accesso riservato).

Gli argomenti del Corso di Analisi Matematica e Geometria I

Funzione di più variabili reali.  Successioni e serie di funzioni.  Integrazione multipla.  Equazioni differenziali. Curve e superfici. Geometria analitica e algebra lineare.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di nell'ambito dell'Analisi Matematica (funzioni di più variabili reali, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali) e completare la formazione nell'ambito della Geometria e dell'Algebra Lineare di base.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

• essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Matematica.
•  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica e Geometria.
• essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica II e Geometria (studi di funzione di più variabili,  studi di  successioni e serie di funzioni,  integrazione multipla, equazioni differenziali, geometria analitica e algebra lineare). 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica e la Geometria, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Una prova scritta con esercizi e una prova orale su argomenti di teoria. La prova orale può essere sostenuta dopo aver superato con la votazione di almeno 18/30 la prova scritta. Inoltre la prova orale deve essere sostenuta nello stessa sessione di quella scritta. Se lo studente non supera la prova orale, dovrà ripetere anche la prova scritta.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Serie numeriche. Serie convergenti e condizione di Cauchy. Serie divergenti positivamente e negativamente. Condizione necessaria per la convergenza. Convergenza della serie armonica e della serie geometrica. Serie a termini positivi. Carattere delle serie a termini positivi. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Criterio integrale. Criterio del rapporto e della radice. Serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti e proprietà. Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz.

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Studio della convergenza puntuale ed uniforme.  Continuità del limite uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata.

Serie di funzioni.  Convergenza puntuale, uniforme ed assoluta di una serie di funzioni. Continuità della somma di una serie,teorema di integrazione termine a termine e di derivazione termine a termine. Convergenza totale di una serie di funzioni. Convergenza uniforme di una serie totalmente convergente. Criterio di Weierstrass.

Serie di potenze. Proprietà di convergenza assoluta.Raggio di convergenza. Proprietà del raggio di convergenza. Teorema di Abel. Calcolo del raggio di convergenza. Serie ottenute per derivazione e integrazione e loro raggio di convergenza.

Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor e sviluppi delle funzioni elementari. 

Serie di Fourier. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppabilità in serie di Fourier. Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario.

Struttura di Rn. Base canonica di Rn. Rappresentazione geometrica. Sfere aperte e chiuse. Distanza, intervalli e plurintervalli. Intorni di un punto e punti di accumulazione in Rn. Insiemi aperti, chiusi e insiemi limitati in Rn. Chiusura e proprietà. Interno e derivato di un sottoinsieme di Rn. Frontiera di un sottoinsieme di Rn. Direzioni, rette e segmenti in Rn. Rappresentazioni parametriche. Insiemi connessi, insiemi connessi per archi, insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Funzioni di più variabili. Determinazione dell'insieme di definizione. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi.

Differenziabilità. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili. Gradiente. Relazioni tra differenziabilità ed esistenza di derivate direzionali. Teorema del differenziale totale. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz sull'inversione dell'ordine di derivazione. Formula di Taylor al secondo ordine. 

Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Componenti di una funzione a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivate direzionali, differenziale delle funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Teorema sulla differenziabilità delle funzioni composte. 

Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Massimi e minimi relativi (propri), assoluti e vincolati. Matrice Hessiana e sue proprietà. Punti stazionari. Condizione necessaria sul gradiente.Studio dei punti di massimo e minimo relativi ed assoluti utilizzando la matrice Hessiana. Condizioni necessarie e sufficienti sui minori dell'Hessiano. Caso particolare delle funzioni di due variabili. Punti di sella. Studio di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati. Massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrali multipli. Misura di insiemi normali nel piano e nello spazio. Definizione di integrale di una funzione continua di più variabili. Suddivisioni, somme inferiori e superiori, Definizione di integrabilità. Formule di riduzione. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Cambiamento di variabili in coordinate polari in R2. Cambiamento di variabili in coordinate sferiche e cilindriche in R3.

Curve e superfici. Curve ed equazioni parametriche. Curve semplici e curve chiuse. Curve regolari. Curve, rettificabili e relativa lunghezza. Rettificabilità delle curve regolari. Lunghezza del grafico di una funzione. Integrale curvilineo di una funzione reale. Superfici regolari, integrali di superficie e area di una superficie regolare.

Campi vettoriali. Integrale curvilineo di  un campo vettoriale. Potenziali. Campi conservativi e caratterizzazione mediante gli integrali curvilinei. Irrotazionalità dei campi conservativi. Campi irrotazionali in domini stellati e semplicemente connessi. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza. Formule di Gauss-Green. 

Equazioni differenziali. Definizione di soluzione e problema di Cauchy. Riduzione di un'equazione differenziale di ordine m ad un sistema di m equazioni differenziali del primo ordine. Riduzione di un sistema del primo ordine ad un'unica equazione differenziale vettoriale. Equivalenza del problema di Cauchy con il problema di Liouville. Lemma di Gronwall. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale. Prolungamenti e soluzioni massimali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e di ordine nomogenee e complete. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine n. Wronskiano di n soluzioni e teorema del Wronskiano. Determinazione della soluzione particolare nel caso di termine noto particolare e nel caso generale con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Altri tipi di equazioni differenziali (a variabili separabili, di Bernoulli, omogenee, mancanti della x o della y).

Forme quadratiche: Definizioni. Matrici definite, semidefinite e indefinite.

Spazi euclidei. Definizione, norma, distanza e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e di Minkowski.

Complementi di Geometria analitica del piano:  Trasformazioni del piano. Coniche e loro classificazione 

Geometria analitica dello spazio.  Rette, piani e sfere: equazioni cartesiane e parametriche e posizioni reciproche. Cenni sulle quadriche. Trasformazioni nello spazio.

Testi consigliati:

• A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, disponibile in rete

• G. De Cecco, R. Vitolo, Note di Algebra e Geometria, disponibile in rete.

• P.Marcellini-C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica 2, parte I e II, Liguori Editore,Napoli,1991.

• G. Calvaruso, R.Vitolo, Esercizi di Geometria e Algebra, disponibile in rete

• N.Fusco-P.Marcellini-C.Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori, Napoli, 1996.

• Cosimo De Mitri, Raccolta di Esercizi di Analisi Matematica, Unisalento Press

Analisi Matematica I.

Sarà senza dubbio utile aver frequentato Analisi Matematica II.

Conoscenze di base del calcolo delle probabilità.

Obiettivo del corso l'acquisizione da parte dello studente di conoscenze di base nell'ambito del calcolo delle probabilità. Al termine, lo studente sarà in grado di costruire e studiare semplici modelli probabilistici di fenomeni aleatori.

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Primo esame scritto, con quattro esercizi. La prova è superata con un voto maggiore o uguale a 18. 

Una seconda prova scritta con tre domande di teoria da svolgere in un'ora ed eventuale discussione contestuale sulle risposte fornite. La seconda prova deve essere sostenuta nella stessa sessione in cui è stata superata la prima prova. La valutazione finale tiene conto dei risultati conseguiti nelle due prove. 

Si consiglia ai non frequentanti di mettersi in contatto con il docente per avere indicazioni precise sulle tipologie di domande chieste all'esame.
Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Richiami di operazioni tra insiemi.

Spazi di probabilità generali:

Spazio campionario, sigma-algebra degli eventi. Definizione assiomatica di probabilità e prime conseguenze. Probabilità condizionata. Formula della probabilità totale e di Bayes. Indipendenza di eventi.

Spazi di probabilità e variabili aleatorie discreti:

Spazi di probabilità discreti, finiti, uniformi. Calcolo combinatorio. Variabili aleatorie. Densità di probabilità, funzione di ripartizione, legge. Valore atteso, varianza, covarianza, momenti

Esempi: distribuzione uniforme, di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson. 

Teorema limite di Poisson. Vettori aleatori. Leggi congiunte e marginali. Variabili aleatorie indipendenti. Trasformazioni vettori aleatori. 

Variabili aleatorie assolutamente continue:

Variabili aleatorie reali assolutamente continue. Densità di probabilità, funzione di distribuzione, legge (nel caso a.c.). Valore atteso, varianza, covarianza, momenti (nel caso a.c.). 

Esempi: distribuzione uniforme, esponenziale, gamma, normale, chi quadro

Vettori aleatori assolutamente continui. Trasformazioni di vettori aleatori assolutamente continui; convoluzione. Disuguaglianze.

Funzione caratteristica e generatrice dei momenti, disuguaglianze, convergenze, teoremi limite classici:

Funzione caratteristica. Teorema di unicità. Disuguaglianze di Markov-Chebychev, di Jensen, di Cauchy-Schwarz, di Chernoff, di Hoeffding. Convergenze quasi certa, in probabilità, in legge: definizioni, caratterizzazioni, implicazioni. Legge dei grandi numeri. Teorema del limite centrale

Elementi di catene di Markov

Il programma potrà subire modifiche durante lo svolgimento del corso.

Testi di riferimento: 
Baldi, P., Introduzione alla probabilità con elementi di statistica, 2nd ed., McGraw-Hill, Milano 2012.

Per ulteriori esempi, discussi ed esercizi, si consiglia:

Ross, S.M., Calcolo delle probabilità, 3rd ed., Apogeo, Milano 2013. 

Appunti online (accesso riservato).

Algebra dei polinomi, equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano.

Corso di base di Analisi I. A partire dalle proprieà elementari degli insiemi fino alla risoluzione di equazioni differenziali.

Conoscenze e comprensione: Scopo del corso è l'acquisizione del metodo matematico e delle conoscenze di base dell'analisi matematica, in vista delle applicazioni in campo bio-medico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: Al termine del corso lo studente

- avrà acquisito la conoscenza di concetti matematici con la corretta terminologia, nonché la capacità di darne interpretazioni in altri ambiti disciplinari
- sarà in grado di risolvere esercizi di base sul calcolo differenziale ed integrale
- avrà acquisito gli strumenti per il successivo studio dell'analisi statistica di dati
- sarà in grado di interpretare semplici modelli matematici di fenomeni biomedici 

Lezioni frontali ed esercitazioni

Prova scritta con esercizi e domande di teoria e discussione
sulla stessa prova.

I numeri reali: il sistema dei numeri reali; operazioni algebriche, ordinamento ed assioma di completezza; funzione valore assoluto; definizione di massimo e di minimo; unicità del
massimo e del minimo; insiemi numerici limitati inferiormente,superiormente, limitati; estremo inferiore/superiore e caratterizzazione. Alcune proprietà dei numeri reali.

I numeri complessi: forma algebrica; forma trigonometrica; piano di Gauss; radici n-esime, teorema fondamentale dell’Algebra.

Successioni: definizione; successioni monotone, limitate inferiormente/superiormente, limitate; successione estratta, limite di una successione reale; unicità del limite; regolarità delle
successioni monotone e delle successioni estratte da una regolare ; successioni di Cauchy e proprietà ; operazioni con i limiti di successioni e forme indeterminate ; teoremi di confronto. Teorema di Bolzano Weierstrass . Il numero di Nepero.

Funzioni reali di variabile reale: Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni composte e inverse. Alcune classificazioni (monotone, limitate, ...); punti di massimo/minimo, assoluti/relativi; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione. Funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche Limiti delle funzioni reali; l concetto di intorno e proprietà; punto di accumulazione.unicità del limite; caratterizzazione del limite mediante successioni dei
valori; limite da destra e da sinistra; limiti delle funzioni monotone ; operazioni con i limiti teoremi di confronto per i limiti di funzioni; limite di funzioni composte. Limiti notevoli;
infinitesimi ed infiniti.

Funzioni continue: definizione di funzione continua in un punto, in un insieme; funzioni uniformemente continue, lipschitziane; operazioni con le funzioni continue; caratterizzazione delle funzioni continue; punti di discontinuità: eliminabile, di 1^ e 2^ specie; teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi; teorema di Weierstrass ; teorema di Heine-Cantor; continuità dell’inversa di una funzione continua (en); continuità e monotonia. Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui.

Derivazione: Rapporto incrementale e definizione di derivata; algebra e derivazione; derivazione di funzioni composte; derivazione della funzione inversa; teorema di Fermat; teoremi
di Rolle, Cauchy, Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; teorema di de l’Hopital; derivate successive; derivata seconda e punti di massimo/di minimo; polinomio di Taylor;
formula di Taylor con il resto di Peano; formula di Taylor con il resto di Lagrange; applicazione della formula di Taylor alla determinazione dei punti di massimo/minimo.

Funzioni convesse/concave su un intervallo; punti di flesso.

Teoria dell’integrazione:Partizioni di un intervallo, somme integrali superiori ed inferiori, integrale superiore ed inferiore, funzioni integrabili secondo Riemann; criteri di integrabilità; algebra delle funzioni integrabili; Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue, proprietà dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione; teoremi sullamedia integrale; primitiva di una funzione; proprietà delle primitive; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti; per sostituzione. Calcolo di aree. Integrale in senso improprio:per funzioni limitate definite su una semiretta; per funzioni illimitate definite su un intervallo; per funzioni illimitate definite su una semiretta; alcuni teoremi di confronto.

Serie numeriche: definizione; serie convergenti e regolari; la serie geometrica; criterio di Cauchy; condizione necessaria per le serie convergenti (con dim.); convergenza assoluta; criteri di convergenza per confronto per le serie a termini non negativi ; la serie armonica e la serie armonica generalizzata; criteri della radice e del rapporto; criterio del confronto con l'integrale improprio; Criterio di Leibniz per le serie di segno alternato. Sviluppi in serie di Taylor e in serie di Fourier (cenni).

Cenni sulle funzioni reali di più variabili reali . Derivate parziali, gradiente, campi vettoriali, potenziale, integrali curvilinei, integrali mulitpli.

Equazioni differenziali. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, omogenee e lineari. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

A.Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica 1, dispense disponibili online
Benedetto, Degli Esposti, Maffei, Matematica per le scienze della vita, Zanichelli
Marcellini, Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I, Liguori, Parte 1 e 2

Gli argomenti del Corso di Analisi Matematica e Geometria I.

Funzione di più variabili reali. Successioni e serie di funzioni. Integrazione multipla. Equazioni differenziali. Curve e superfici.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di nell'ambito dell'Analisi Matematica (funzioni di più variabili reali, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali).

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:

• essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Matematica.

• essere in grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.

• essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica II (studi di funzione di più variabili, studi di successioni e serie di funzioni, integrazione multipla, equazioni differenziali).

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento. La capacità di apprendimento dello studente sarà stimolata proponendo esercizi da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Una prova scritta su esercizi, una prova scritta su argomenti di teoria con eventuali domande orali. La prova di teoria può essere sostenuta dopo aver superato con la votazione di almeno 18/30 la prova di esercizi. Inoltre la prova di teoria deve essere sostenuta nello stessa sessione di quella scritta. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Serie numeriche. Serie convergenti e condizione di Cauchy (con dim.). Serie divergenti positivamente e negativamente. Condizione necessaria per la convergenza (con dim.). Convergenza della serie armonica e della serie geometrica (con dim.). Serie a termini positivi. Carattere delle serie a termini positivi. Criterio del confronto (con dim.) e del confronto asintotico. Criterio dell'integrale improprio.Criterio del rapporto (con dim.). Criterio della radice (con dim.). Serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti e proprietà (con dim.). Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz (con dim.).

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Studio della convergenza puntuale ed uniforme. Continuità del limite uniforme (con dim.). Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (con dim.) e di derivata (con dim.)

Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme ed assoluta di una serie di funzioni. Continuità della somma di una serie (con dim.),teorema di integrazione termine a termine (con dim.) e di derivazione termine a termine (con dim.). Convergenza totale di una serie di funzioni. Convergenza uniforme di una serie totalmente convergente. Criterio di Weierstrass.

Serie di potenze. Proprietà di convergenza assoluta (con dim.). Raggio di convergenza. Proprietà del raggio di convergenza (con dim.). Teorema di Abel. Calcolo del raggio di convergenza; criterio del rapporto e della radice. Serie ottenute per derivazione e integrazione e loro raggio di convergenza (con dim.).

Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor (con dim.) e sviluppi delle funzioni elementari.

Serie di Fourier. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppabilità in serie di Fourier. Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario.

Struttura di Rn. Base canonica di Rn. Rappresentazione geometrica. Sfere aperte e chiuse. Distanza, intervalli e plurintervalli. Intorni di un punto e punti di accumulazione in Rn. Insiemi aperti, chiusi e insiemi limitati in Rn. Chiusura e proprietà. Interno e derivato di un sottoinsieme di Rn. Frontiera di un sottoinsieme di Rn. Direzioni, rette e segmenti in Rn. Rappresentazioni parametriche. Insiemi connessi, insiemi connessi per archi, insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Funzioni di più variabili. Determinazione dell'insieme di definizione. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi.

Differenziabilità. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili (con dim.). Gradiente. Relazioni tra differenziabilità ed esistenza di derivate direzionali. Teorema del differenziale totale (con dim.). Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz sull'inversione dell'ordine di derivazione. Formula di Taylor al secondo ordine.

Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Componenti di una funzione a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivate direzionali, differenziale delle funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Teorema sulla differenziabilità delle funzioni composte.

Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Massimi e minimi relativi (propri), assoluti e vincolati. Matrice hessiana e sue proprietà. Punti stazionari. Condizione necessaria sul gradiente (con dim.). Studio dei punti di massimo e minimo relativi ed assoluti utilizzando la matrice Hessiana (con dim.). Condizioni necessarie e sufficienti sui minori dell'Hessiano. Caso particolare delle funzioni di due variabili. Punti di sella. Studio di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati. Massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrali multipli. Misura di insiemi normali nel piano e nello spazio. Definizione di integrale di una funzione continua di più variabili. Suddivisioni, somme inferiori e superiori, Definizione di integrabilità. Formule di riduzione. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Cambiamento di variabili in coordinate polari in R2. Cambiamento di variabili in coordinate sferiche e cilindriche in R3.



Curve e superfici. Curve ed equazioni parametriche. Curve semplici e curve chiuse. Curve regolari. Curve, rettificabili e relativa lunghezza. Rettificabilità delle curve regolari. Lunghezza del grafico di una funzione. Integrale curvilineo di una funzione reale. Superfici regolari, integrali di superficie e area di una superficie regolare.

Campi vettoriali. Integrale curvilineo di un campo vettoriale. Potenziali. Campi conservativi e caratterizzazione mediante gli integrali curvilinei (con dim.). Irrotazionalità dei campi conservativi (con dim.). Campi irrotazionali in domini stellati e semplicemente connessi. 

Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza. Formule di Gauss-Green.

Equazioni differenziali. Definizione di soluzione e problema di Cauchy. Riduzione di un'equazione differenziale di ordine m ad un sistema di m equazioni differenziali del primo ordine. Riduzione di un sistema del primo ordine ad un'unica equazione differenziale vettoriale. Equivalenza del problema di Cauchy con il problema di Liouville (con dim.). Lemma di Gronwall (con dim.) Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza globale (con dim.). Prolungamenti e soluzioni massimali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e di ordine n omogenee e complete. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine n. Wronskiano di n soluzioni e teorema del Wronskiano. Determinazione della soluzione particolare nel caso di termine noto particolare e nel caso generale con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Altri tipi di equazioni differenziali (a variabili separabili, di Bernoulli, omogenee, mancanti della x o della y).

Testi consigliati:

• A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, disponibile in rete

• P.Marcellini-C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica 2, parte I e II, Liguori Editore,Napoli,1991.

• N.Fusco-P.Marcellini-C.Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori, Napoli, 1996.

• Cosimo De Mitri, Raccolta di Esercizi di Analisi Matematica, Unisalento Press

Il corso richiede la conoscenza di nozioni elementari di logica, teoria degli insiemi, algebra elementare, geometria euclidea, operazioni con polinomi e radici, i principali concetti di trigonometria, funzioni elementari (polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche) e lo studio di equazioni e disequazioni.

Insiemi e strutture algebriche. Funzioni. Insiemi numerici. La retta reale. Numeri complessi. Funzioni reali. Funzioni elementari. Equazioni e disequazioni. Limiti. Successioni. Continuità. Calcolo differenziale. Studio del grafico di una funzione reale. Calcolo integrale.

L'obiettivo del corso è quello di fornire una solida preparazione di base sui concetti fondamentali dell'analisi matematica con particolare riguardo allo studio delle funzioni reali, i loro limiti, il calcolo differenziale e il calcolo integrale. Le basi fornite sono finalizzate sia ai corsi successivi di matematica che ai corsi di ingegneria.

Conoscenze e comprensione. Lo studente dovrà conoscere le definizioni e risultati fondamentali di analisi matematica in una variabile ed essere in grado di comprendere come questi possono essere utilizzati nella risoluzione di problemi.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:

• essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Matematica.

• essere in grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.

• essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica I (calcolo di limiti, calcolo di derivate, studi di funzione di una variabili, calcolo di integrali).

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento. La capacità di apprendimento dello studente sarà stimolata proponendo esercizi da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Una prova scritta su esercizi, e un orale su argomenti di teoria. La prova di teoria può essere sostenuta dopo aver superato con la votazione di almeno 18/30 la prova di esercizi. Inoltre la prova di teoria deve essere sostenuta nello stessa sessione di quella scritta. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Insiemi e strutture algebriche. Sottoinsiemi, intersezione, unione, complementare e differenza. Prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza e d’ordine.

Funzioni. Relazioni funzionali. Definizione di funzione. Immagini dirette e reciproche. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzioni composte. Funzioni inverse. Equivalenza tra funzioni invertibili e biiettive.

Insiemi numerici. Proprietà algebriche e d'ordine. Numerabilità degli insiemi numerici. Proprietà di buon ordine dei numeri naturali. Principio di induzione completa e applicazioni. L'insieme dei numeri interi. L'insieme dei numeri razionali. Rappresentazione decimale. Insiemi separati. Non completezza dell'insieme dei numeri razionali. L'insieme dei numeri reali. Proprietà di completezza. Esistenza della radice n-esima. Proprietà di non numerabilità.

La retta reale. Intervalli limitati, non limitati e centrati. Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Massimo e minimo di un sottoinsieme. Estremi inferiore e superiore. Seconda forma dell'assioma di completezza. Intorni e punti di accumulazione. L'insieme ampliato dei numeri reali. Intorni e punti di accumulazione nella retta ampliata. Valore assoluto e distanza nell'insieme dei numeri reali. Rappresentazione geometrica.

Numeri complessi. Forma geometrica ed operazioni algebriche. Modulo e coniugato. Coordinate polari. Forma trigonometrica ed operazioni in forma trigonometrica. Radici di un numero complesso.

Funzioni reali. Proprietà algebriche. Funzioni limitate superiormente e inferiormente. Massimi e minimi relativi ed assoluti. Estremi di una funzione. Seconda forma dell'assioma di completezza. Funzioni monotone e proprietà. Funzioni monotone in un punto e relazioni con la proprietà globale. Funzioni pari, dispari, periodiche. Successioni e numero di Nepero. Funzioni elementari. Definizioni e grafici.

Equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni razionali, con radici, con valore assoluto e metodo grafico.

Limiti. Unicità e prime proprietà. Limiti destri e sinistri e proprietà. Teoremi di confronto per i limiti. Operazioni sui limiti: limite della somma, del prodotto, della reciproca e del quoziente. Limite delle funzioni composte. Limiti delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti e regola di sostituzione.

Successioni. Limitatezza delle successioni convergenti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Caratterizzazione del limite mediante successioni e applicazioni. Esistenza di estratte regolari e di estratte convergenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e criterio di convergenza di Cauchy.

Continuità. Punti di discontinuità. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità eliminabili, di prima e di seconda specie. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema di Bolzano. Applicazioni alla risoluzione di equazioni. Uniforme continuità e teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane e relazioni con la uniforme continuità e la continuità.

Calcolo differenziale. Funzioni dotate di derivata e funzioni derivabili. Derivate sinistre e destre.

Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Punti angolosi e punti cuspidali. Continuità delle funzioni derivabili. Regole di derivazione e derivate delle funzioni elementari. Studio della derivabilità di una funzione reale. Teorema di Rolle, Cauchy e Lagrange. Regole di L'Hopital e applicazioni. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Applicazioni al calcolo dei limiti. Relazioni tra derivata e crescenza. Condizione necessaria per massimi e minimi relativi. Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo ed assoluto. Caratterizzazione della crescenza e della stretta crescenza. Criteri per punti di massimo e minimo relativo. Convessità, concavità e punti di flesso: nozione globale e locale. Studio della convessità e dei punti di flesso: condizioni necessarie e criteri. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio del grafico di una funzione reale.

Calcolo integrale. Funzioni integrabili secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone e continue. Proprietà degli integrali. Interpretazione geometrica dell'integrale. Teorema della media integrale. Primitive di una funzione e proprietà. Integrale indefinito. Integrale definito e funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione. Applicazioni.

Testi consigliati:

• Dispensa di "Analisi I" dei proff Albanese, Leaci, Pallara (disponibili online)

• Analisi matematica (Vol. 1) di Marcellini e Sbordone.