Elementi di Analisi matematica.

Elementi di Algebra lineare.

Elementi di Calcolo numerico (sistemi lineari, zeri di funzioni).

Elementi di Programmazione in Matlab.

Lo scopo del corso è fornire agli studenti strumenti adeguati per la risoluzione numerica dei principali problemi dell’algebra lineare come le forme canoniche delle matrici, le fattorizzazioni QR e SVD, il metodo dei minimi quadrati, la risoluzione di sistemi lineari e non lineari mediante metodi iterativi, la ricerca di autovalori. Durante il corso si descriveranno i relativi metodi, analizzandone sia la costruzione che le specifiche caratteristiche e proprietà. L’implementazione al computer permetterà di verificarne la funzionalità e testarne la validità nel descrivere efficacemente svariati fenomeni riscontrabili nelle scienze applicate e nell’ingegneria.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo numerico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: #Essere capaci di implementare alcuni metodi in un linguaggio di programmazione in ambito scientifico #essere in grado di produrre semplici programmi al calcolatore, applicarli con senso critico anche a problemi semplici di tipo applicativo

#essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Calcolo Numerico

Autonomia di giudizio. Il corso sarà svolto in modo da favorire e sviluppare nello studente capacità di: problem solving, rappresentazione grafica di dati, discussione e confronto di risultati numerici.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali in aula ed in Laboratorio Informatico. Circa metà del corso si svolge al calcolatore, con interazione continua fra studenti e docente.

La prova, soltanto orale, verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.

-Forme canoniche delle matrici: Schur, Jordan.

-Fattorizzazioni di matrice: QR, SVD.

-Metodi iterativi per sistemi lineari: Metodo di Richardson, precondizionatori, metodo del gradiente coniugato.

-Approssimazione numerica di autovalori ed autovettori: metodo delle potenze, metodi basati sulla decomposizione QR.

-Matrici sparse: esempio delle matrici derivanti da discretizzazioni di ODE o PDE.

-Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari: metodi di punto fisso, metodo di Newton per sistemi.

-Applicazioni: compressione delle immagini, Matrice di Google, Page Rank.

A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco: Matematica numerica, Ed. Springer Italia

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi. Metodi Numerici per l’algebra lineare. Zanichelli, 1993

Nessuno

Rudimenti di teoria della probabilità ("problemi diretti", prima parte), rudimenti di inferenza statistica ("problemi inversi", seconda parte) ed applicazioni di modelli matematici semplici a problemi biologici (terza parte).

Il corso vuole fornire allo studente gli strumenti cardine per permettere allo stesso una rappresentazione del fenomeno sperimentale in termini probabilistici (prima parte) e, parimenti, dotarlo di tecniche di inferenza per poter opportunamente raccogliere i dati in un esperimento (seconda parte). Il corso si chiude (terza parte) mostrando allo studente come  usare semplici modelli matematici per descrivere quantitativamente semplici fenomeni biologici.

Lezioni frontali sia alla lavagna che con il proiettore (per le applet grafiche)

L'esame consta nel superamento di una prova orale (gemellata con il modulo "Metodi Matematici per la Biologia 1" gestito dalla Professoressa Elisabetta Mangino) e di una succinta verifica orale

-Introduzione alla probabilità. Probabilità Discreta. Assiomi della Probabilità 
-Legge di Hardy-Weinberg, Probabilità Condizionata, Teorema di Bayes
-Test diagnostici, Calcolo Combinatorio, Distribuzione Binomiale e di Poisson
-Rappresentazione dei dati, diagrammi Cartesiani, istogrammi
-Media, Moda, Mediana, Varianza, Minimi Quadrati
-Probabilità continua: concetti fondamentali
-Distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale e distribuzione Gaussiana
-Legge dei Grandi Numeri & Teorema del Limite Centrale

-Inferenza statistica: generalità degli stimatori 

-Inferenza statistica: il principio di massima verosimiglianza
-Test di ipotesi: test del Chi^2, test T di Student, test F (ANOVA) 

-Comunicazione lungo una linea rumorosa (link youtube https://www.youtube.com/watch?v=rzg_CavQI_M&ab_channel=MITOpenCourseWare )

-il Teorema di Shannon: la definizione di entropia come misura di informazione ed il principio di massima entropia in teoria dell'informazione

-Dinamica di popolazione, modelli di Malthus e logistici generalizzati, modello preda-predatore di Lotka-Volterra.

M. Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita. McGraw-Hill, Milano.

Elementi di Analisi matematica.

Elementi di Algebra lineare.

Elementi di Calcolo numerico (sistemi lineari, zeri di funzioni).

Elementi di Programmazione in Matlab.

Lo scopo del corso è fornire agli studenti strumenti adeguati per la risoluzione numerica dei principali problemi dell’algebra lineare come le forme canoniche delle matrici, le fattorizzazioni QR e SVD, il metodo dei minimi quadrati, la risoluzione di sistemi lineari e non lineari mediante metodi iterativi, la ricerca di autovalori. Durante il corso si descriveranno i relativi metodi, analizzandone sia la costruzione che le specifiche caratteristiche e proprietà. L’implementazione al computer permetterà di verificarne la funzionalità e testarne la validità nel descrivere efficacemente svariati fenomeni riscontrabili nelle scienze applicate e nell’ingegneria.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo numerico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: #Essere capaci di implementare alcuni metodi in un linguaggio di programmazione in ambito scientifico #essere in grado di produrre semplici programmi al calcolatore, applicarli con senso critico anche a problemi semplici di tipo applicativo

#essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Calcolo Numerico

Autonomia di giudizio. Il corso sarà svolto in modo da favorire e sviluppare nello studente capacità di: problem solving, rappresentazione grafica di dati, discussione e confronto di risultati numerici.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali in aula ed in Laboratorio Informatico. Circa metà del corso si svolge al calcolatore, con interazione continua fra studenti e docente.

La prova, soltanto orale, verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.

-Forme canoniche delle matrici: Schur, Jordan.

-Fattorizzazioni di matrice: QR, SVD.

-Metodi iterativi per sistemi lineari: Metodo di Richardson, precondizionatori, metodo del gradiente coniugato.

-Approssimazione numerica di autovalori ed autovettori: metodo delle potenze, metodi basati sulla decomposizione QR.

-Matrici sparse: esempio delle matrici derivanti da discretizzazioni di ODE o PDE.

-Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari: metodi di punto fisso, metodo di Newton per sistemi.

-Applicazioni: compressione delle immagini, Matrice di Google, Page Rank.

A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco: Matematica numerica, Ed. Springer Italia

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi. Metodi Numerici per l’algebra lineare. Zanichelli, 1993

Elementi di Analisi matematica.

Elementi di Algebra lineare.

Elementi di Calcolo numerico (sistemi lineari, zeri di funzioni).

Elementi di Programmazione in Matlab.

Lo scopo del corso è fornire agli studenti strumenti adeguati per la risoluzione numerica dei principali problemi dell’algebra lineare come le forme canoniche delle matrici, le fattorizzazioni QR e SVD, il metodo dei minimi quadrati, la risoluzione di sistemi lineari e non lineari mediante metodi iterativi, la ricerca di autovalori. Durante il corso si descriveranno i relativi metodi, analizzandone sia la costruzione che le specifiche caratteristiche e proprietà. L’implementazione al computer permetterà di verificarne la funzionalità e testarne la validità nel descrivere efficacemente svariati fenomeni riscontrabili nelle scienze applicate e nell’ingegneria.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo numerico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: #Essere capaci di implementare alcuni metodi in un linguaggio di programmazione in ambito scientifico #essere in grado di produrre semplici programmi al calcolatore, applicarli con senso critico anche a problemi semplici di tipo applicativo

#essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Calcolo Numerico

Autonomia di giudizio. Il corso sarà svolto in modo da favorire e sviluppare nello studente capacità di: problem solving, rappresentazione grafica di dati, discussione e confronto di risultati numerici.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali in aula ed in Laboratorio Informatico. Circa metà del corso si svolge al calcolatore, con interazione continua fra studenti e docente.

La prova, soltanto orale, verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.

-Forme canoniche delle matrici: Schur, Jordan.

-Fattorizzazioni di matrice: QR, SVD.

-Metodi iterativi per sistemi lineari: Metodo di Richardson, precondizionatori, metodo del gradiente coniugato.

-Approssimazione numerica di autovalori ed autovettori: metodo delle potenze, metodi basati sulla decomposizione QR.

-Matrici sparse: esempio delle matrici derivanti da discretizzazioni di ODE o PDE.

-Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari: metodi di punto fisso, metodo di Newton per sistemi.

-Applicazioni: compressione delle immagini, Matrice di Google, Page Rank.

A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco: Matematica numerica, Ed. Springer Italia

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi. Metodi Numerici per l’algebra lineare. Zanichelli, 1993

Nessuno

Elementi di analisi: dal concetto di limite a quello di derivata ed integrale, volti allo studio di funzione e alla soluzione di elementari equazioni differenziali.

Elementi di probabilità distribuzioni salienti, leggi dei grandi numeri e teoremi del limite centrale (con attenzione alle loro violazioni per distribuzioni a potenza)

Elementi di inferenza statistica: principalmente principio di massima verosimiglianza ed inferenza Bayesiana

Fornire allo studente gli strumenti matematici indispensabili per poter proseguire nel percorso di studi. In particolare, da un lato, sviluppando la capacità di fare modelli (quindi volgendo attenzione ad elementi di analisi matematica ed algebra lineare), dall'altro intelaiando in esso le competenze per poter raccogliere ed analizzare dati sul campo (quindi focalizzandoci su rudimenti di probabilità ed inferenza statistica).

Lezioni frontali erogate in modalità ibrida (in presenza e in remoto)

Prova scritta

-Numeri, misure, errori e loro propagazione.

-Insiemi e loro proprietà.

-Introduzione elementare alla probabilità e definizioni salienti.

-Elementi di Probabilità discreta, lancio di dadi e monete (e relativa combinatoria)

-Elementi di Probabilità discreta: quantificatori e distribuzioni (e.g. Bernoulli)

-Teorema di Bayes e sue applicazioni

-Elementi di Analisi Matematica necessari per lo studio di funzione (e.g. limiti e derivate)

-Elementi di Analisi Matematica necessari per la risoluzione di ODE (e.g. integrali elementari)

-Probabilità Continua: densità di probabilità, funzione di  ripartizione, etc.

-Teorema del Limite Centrale e Legge dei Grandi Numeri: la distribuzione di Gauss (ed i suoi limiti) 

-Elementi di statistica: momenti campionari e massima verosimiglianza in casi elementari.

-Il metodo dei minimi quadrati e sue generalizzazioni.

Mario Abate, Matematica & Statistica (McGraw Hill Publisher)

ANALISI I e II, GEOMETRIA I e II, ALGEBRA, PROGRAMMAZIONE

Il corso consiste nello studio di metodi numerici per la risoluzione di alcuni problemi matematici relativi ad argomenti dei primi anni del corso di Laurea. A tal fine, oltre a fornire gli algoritmi di calcolo, si dà rilievo all’analisi delle problematiche connesse all’uso della aritmetica finita. Si prevedono esercitazioni al calcolatore per sperimentare i vari concetti visti nella parte teorica del corso e per l’implementazione dei metodi numerici studiati. Per tale scopo l’ambiente di lavoro sarà il programma di Calcolo Scientifico Matlab.

Numerical Computing is the branch of mathematics that develops, analyzes and applies algorithms to solve with the aid of computer several problems included in basic courses of Mathematics (such as analysis, linear algebra, geometry). In this course, the focus is on numerical techniques for the solution of linear systems of any dimension and for rootfinding of nonlinear equations. Questions arising by the use of finite arithmetic on a computer, that is stability, accuracy and computational complexity, will be carefully analysed. Part of the course consists in the implementation of the methods, in order to demonstrate their performances on examples and counterexamples on a computer. For this goal, the students will learn the MatLab program for scientific calculus.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base di tipo numerico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: # Essere capaci di implementare alcuni metodi in un linguaggio di programmazione in ambito scientifico # essere in grado di produrre semplici programmi al calcolatore, applicarli con senso critico anche a problemi semplici di tipo applicativo # essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Calcolo Numerico

Autonomia di giudizio. Il corso sarà svolto in modo da favorire e  sviluppare nello studente capacità di: problem solving, rappresentazione grafica di dati, discussione e confronto di risultati numerici.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali erogate per via telematica. Circa metà del corso si svolge al calcolatore, con interazione continua fra studenti e docente.

L’esame consiste di norma in una prova scritta ed una prova orale, che verranno somministrate per via telematica fino all'abolizione delle misure anti-contagio. La prova scritta consiste in tre tracce, due su argomenti teorici del corso che includono ognuna un esercizio da svolgere carta e penna, la terza riguarda argomenti svolti in Laboratorio e la programmazione di semplici pezzi di codice. Il compito è da svolgere in tre ore in caso di svolgimento in presenza, un'ora e mezza in caso di somministrazione telematica. La prova orale, che verte essenzialmente sullo scritto, verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso. Se lo studente non supera la prova orale è tenuto a rifare la prova scritta.

Gli studenti dovranno prenotarsi all'esame utilizzando esclusivamente le modalità on-line previste dal sistema VOL.

Teoria degli errori: Insieme dei numeri di macchina. Rappresentazione dei numeri sul calcolatore: semplice e doppia precisione. Troncamento e Arrotondamento. Errore assoluto e relativo. Condizionamento di un problema. Propagazione degli errori e fenomeno di cancellazione. Analisi del costo computazionale. Metodo di Ruffini-Horner.
Elementi di algebra lineare: Operazioni fra matrici. Definizioni e proprietà di: matrici simmetriche, ortogonali e ortonormali; matrici a predominanza diagonale, matrici definite positive. Autovalori e autovettori: cenni. Norme vettoriali e norme indotte su matrici. Numero di condizionamento di una matrice.

Risoluzione di sistemi lineari: Studio del condizionamento di un sistema lineare. Teorema di perturbazione.

Metodi diretti: Fattorizzazioni di una matrice. Risoluzione di sistemi triangolari (inferiori e superiori). Aspetti implementativi. Matrici elementari. Metodo di eliminazione di Gauss e fattorizzazione LU. Pivot parziale e pivot totale. Analisi dell’errore e della stabilità degli algoritmi. Complessità del metodo di Gauss. Calcolo della matrice inversa. Risoluzione di sistemi tridiagonali: metodo di Thomas. Fattorizzazione di Cholesky. Cenni sulla risoluzione di sistemi sovradeterminati: le equazioni normali e il problema lineare dei minimi quadrati.
Metodi iterativi: definizioni e teoremi di convergenza per metodi iterativi lineari. Stime dell’errore. Criteri di stop e loro validità. Metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel: risultati di convergenza. Metodo di rilassamento e stima del parametro ottimale
Calcolo degli zeri di funzioni non lineari: Metodo delle bisezioni: convergenza, criteri di stop. Metodi di iterazione funzionale o di punto fisso: studio della convergenza; criteri di arresto e stime dell'errore; ordine di convergenza. Metodo delle corde e metodo di Newton: interpretazione geometrica, proprietà e ordine di convergenza. Aspetti computazionali.
Per il Laboratorio: Principali comandi di manipolazione di vettori e matrici in ambiente Matlab; Elementi di grafica. Principali funzioni predefinite del Matlab (es: lu, qr, svd, eig, chol, etc). Cenni di programmazione: uso dei comandi for e while; M-file di tipo function e di tipo script. Algoritmi e programmi dei metodi implementati durante le lezioni in Laboratorio.

Programma delle lezioni (in English):

Foundations of Numerical Mathematics. Sources of Error in Computational Models; machine representation of numbers; the Floating-Point Number System: simple and double precision; rounding and truncating a real number; machine Floating-Point Operations.
Elements of matrix analysis. Operations with Matrices; trace, determinant, rank; special matrices: triangular, tridiagonal, banded, diagonally predominant, positive definite; eigenvalues and eigenvectors; spectral radius of a matrix; the Singular Value Decomposition (SVD); vector and matrix norms and their properties.
Solution of Linear Systems. Stability analysis of linear systems and the condition number of a matrix.
Direct Methods: Factorizations of a matrix. Solution of triangular systems and their implementation. The Gaussian Elimination Method (GEM) and LU Factorization: partial and total pivoting; stability analysis and computational complexity. Calculation of the inverse. Tridiagonal systems: Thomas algorithm. Symmetric and Positive Definite Matrices: Cholesky Factorization. Solution of rectangular systems: normal equations and the linear least square problem, QR factorization and SVD solution.
Iterative Methods: definitions and convergence of Linear Iterative Methods. Stopping criteria. Jacobi, Gauss-Seidel and Relaxation Methods: convergence results, estimate of relaxation optimal parameter; convergence results for some class of matrices.
Rootfinding methods for Nonlinear Equations. Bisection method: algorithm and convergence result. Fixed-Point Iterations for Nonlinear Equations: theorems of convergence, rate of convergence. Stopping Criteria and their validity. Methods of Chord, Secant and Newton: geometric meaning, properties and convergence order. Computational aspects.
For Computer Laboratory: Main commands in the Matlab environment for manipulating vectors and matrices and graphical representations. Main built-in functions in Matlab (eg: lu, qr, svd, eig, chol, etc..). How to write and apply M-files like “script” and “function”. Implementation of most of the methods studied in the theory.

• D. Bini, M. Capovani, O. Menchi. Metodi Numerici per l’algebra lineare. Zanichelli, 1993. (Cap 1-2-3 Cenni, Cap.4, par.1—10,16—18, Cap.5, escluso par.5 e 7)
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer Italia, 2000.(Cap. 1-2-3 parti indicate a lezione; Cap.4, par.1,2; Cap.6,par. 2,3,7.)
• Appunti forniti dal docente
• PER MATLAB: Quarteroni-Saleri: Introduzione al Calcolo Scientifico, Esercizi e problemi risolti con Matlab, Springer – CAP 1 e appunti del docente.