I corsi della Laurea triennale e il corso di Analisi reale

Richiami sulle misure. Convergenza di variabili aleatorie.  Convergenze vaga e stretta  di misure di probabilità. Funzioni caratteristiche. Teoremi limite: Teoremi del Limite Centrale (TLC) e Leggi dei Grandi Numeri (LGN). Speranze condizionate. Martingale e sottomartingale (decomposizione di Doob),  convergenza. Martingale rovesciate. Applicazioni (Teorema di Radon-Nikodym, Legge 0-1 di Kolmogorov, serie aleatorie).

Il corso si prefigge di fornire agli studenti gli strumenti classici indispensabili per affrontare i modelli stocastici.

Lezioni alla lavagna

Esame orale

Gli studenti possono chiedere spiegazioni e chiarimenti per appuntamento all’indirizzo di posta elettronica carlo.sempi@unisalento.it

Misure. Spazî misurabili e di misura. Funzioni semplici, funzioni misurabili. Definizione d’integrale. Proprietà dell’integrale. Misura immagine. Misure definite da una densità e Teorema di Radon-Nikodym.

Misura prodotto. Convergenza di variabili aleatorie. Lemmi di Borel-Cantelli. Convergenze quasi certa, in probabilità, in Lp . Convergenza debole. Convergenze vaga e stretta.

Funzioni caratteristiche: definizione, teorema d’inversione. Funzioni caratteristiche e momenti; legge della somma di variabili aleatorie indipendenti.

Teoremi limite: Teoremi del Limite Centrale (TLC): condizioni sufficienti (teorema di Lindeberg-Lévy), cenno alle condizioni necessarie. Leggi dei Grandi Numeri deboli e forti (teoremi di Rajchamn, di Kolmogorov, di Khinchin-Kolmogorov).

Speranze condizionate: definizione e proprietà.

Martingale: definizione, esempî. Tempio d’arresto. Arresto di martingale. Convergenza in Lp  e quasi certa. Sottomartingale (decomposizione di Doob) e convergenza. Martingale rovesciate. Applicazioni (Teorema di Radon-Nikodym, Legge 0-1 di Kolmogorov, serie aleatorie).

Oltre agli appunti del corso disponibili in rete

Jean Jacod, Philip Protter, Probability essentials, Springer, Berlin-Heidelberg, 2000

David Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press, 1991