Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore: insiemi, numeri, operazioni algebriche, rappresentazioni nel piano cartesiano, sistemi di coordinate, soluzione di equazioni e disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

MATEMATICA:  Numeri reali e complessi. Funzioni. Limiti e continuità.  Calcolo differenziale. Calcolo integrale. Funzioni reali di due variabili reali (cenni). Equazioni differenziali: generalità e metodi di risoluzione per alcuni tipi. Matrici e sistemi lineari.

GEOMETRIA: Strutture algebriche e spazi vettoriali. Matrici. Sistemi Lineari. Applicazioni Lineari.

L'obiettivo e' di fare in modo che gli studenti acquisiscano le basi del calcolo per funzioni di una variabile, in modo da essere in grado di risolvere autonomamente semplici problemi nel campo. Gli studenti dovranno essere in grado di tracciare e saper leggere grafici di funzioni di una variabile, di studiare le funzioni di variabile reale. Inoltre dovranno saper calcolare alcuni tipi di integrali.

Inoltre si devono conoscere i concetti di strutture algebriche, spazi vettoriali e gli elementi base dell'algebra lineare utili ai fini della risoluzione dei sistemi lineari.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe.

L'esame consiste di una prima prova scritta (mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi) e una seconda orale (mirata a valutare le conoscenze teoriche). Il superamento della prova scritta da' l'accesso a quella orale; il voto finale e' mediato fra le due prove.

ANALISI MATEMATICA

Equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni razionali, con radici, con valore assoluto e metodo grafico.

Numeri reali e complessi. Insiemi numerici N;Z;Q. Descrizione assiomatica di R. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale e sue proprietà (*). Sottoinsiemi di R: sottoinsiemi limitati, intervalli, intorni. Maggiorante, minorante, massimo, minimo per un insieme. Estremo superiore, estremo inferiore e loro caratterizzazioni (*). Assioma di completezza. Esistenza in R della radice quadrata di 2 e sua irrazionalità(*). Proprietà archimedea. Densità di Q in R . Principio di induzione. Esempi (tra cui: disuguaglianze di Bernoulli (*), formula del binomio di Newton (*)).

Funzioni: definizioni generali (definizione di funzione, immagine, grafico, funzione composta, funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva, funzione inversa). Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone, funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: potenze intere e loro inverse, potenze razionali. Funzione esponenziale e logaritmo, funzioni iperboliche, funzioni trigonometriche e loro inverse. Numeri complessi: introduzione. Definizione di C come RXR con le operazioni somma e prodotto in C; C non

ammette ordinamento totale. Modulo e coniugato di un numero complesso. Identificazione di R con il sottoinsieme delle coppie (a;0). L'unità immaginaria (0; 1). Parte reale e parte immaginaria; un numero complesso z = (a; b) = (Re z; Im z) può essere scritto come Re z + i Im z dove i denota (0; 1). Forma trigonometrica e forma esponenziale; significato geometrico di somma e prodotto. Radici n-esime di un numero complesso (*). Radici (o zeri) di un polinomio e loro molteplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Un polinomio a coefficienti reali ha le radici complesse a due a due coniugate.

Successioni. Definizione, definizione di limite, unicità del limite (*), esempi di limiti, definizione di sottosuccessione, se una successione ammette limite ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite, teorema della permanenza del segno (*). Operazioni con i limiti. Teorema del confronto (*). Ogni successione convergente è limitata (*). Teorema dei due carabinieri (*). Le successioni monotone sono regolari (*). Esercizi e calcolo di limiti di alcune successioni, limite per n che tende a infinito per un polinomio in n, e per il rapporto tra due polinomi. Andamento all'infinito per a^n, n^k, a e k fissati.

Calcolo del limite di log n/n. Monotonia della successione di Nepero e sua limitatezza (*). Numero e. Limiti notevoli per le successioni (*). Teorema di Bolzano-Weierstrass (*). Criterio di Cauchy.

Limiti e continuità. Punto di accumulazione per un insieme. Definizione di limite. Limite di funzioni: caratterizzazione del limite tramite successioni (*), esempi, unicità, limiti destro e sinistro, esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone, teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei due carabinieri; limite di una somma, di un prodotto, di un rapporto. Limiti notevoli. Forme indeterminate: casi del rapporto tra la funzione esponenziale e un polinomio e tra il logaritmo e un polinomio all'infinito, prodotto tra logaritmo e una potenza in zero. Limiti notevoli (*).

Funzioni continue: definizione ed esempi. Punti di discontinuità: classificazione ed esempi. Teorema della permanenza del segno (*). La somma, il prodotto, il rapporto (quando ha senso) di due funzioni continue è continua, la composizione di due funzioni continue è continua. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette massimo e minimo (*). Teorema di esistenza degli zeri (*). Una funzione continua trasforma intervalli in intervalli (teorema dei valori intermedi) (*). Controesempi. Una funzione continua trasforma intervalli chiusi e limitati in intervalli chiusi e limitati. Continuità della funzione inversa (*). Esempi e controesempi. Uniforme continuità: definizione, commenti, esempi. Una funzione uniformemente continua in X è continua in ogni punto di X, funzioni lipschitziane. Teorema di Heine-Cantor: una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua in tale intervallo (*).

Calcolo differenziale. Funzioni derivabili: rapporto incrementale, definizione di derivata, derivate destra e sinistra. Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente ad un grafico. Derivate: esempi di funzioni derivabili e non derivabili, derivata della funzione f(x) = x^n; n in N e di f(x) = |x|. Se una funzione è derivabile in un punto è continua in tale punto (*). Date due funzioni derivabili in un punto: derivata della loro somma, del loro prodotto (*), del loro rapporto, derivata della funzione composta (*), derivata dell'inversa di una funzione (*), derivate delle funzioni elementari (*). Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat (*). Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle (*), Cauchy (*), Lagrange (*). Una funzione derivabile è crescente (decrescente) in un intervallo se e solo se la sua derivata è non negativa (non positiva)(*). Se una funzione ha la derivata positiva (negativa) in un intervallo allora è strettamente crescente (decrescente) (*). Teorema di de l'Hopital (*). Applicazioni. Derivate successive: funzioni di classe C^k con k in N. Convessità e concavità: definizione, definizione per le funzioni non derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante derivate prime e seconde (*). Asintoti. Flessi. Grafici di funzioni. Confronto locale tra funzioni: funzioni asintotiche, o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor con resto di Peano (*), con resto di Lagrange. Sviluppi di alcune funzioni elementari (*). Applicazioni della formula di Taylor: calcolo dello sviluppo di alcune funzioni, calcolo di limiti, calcolo dell'ordine di infinitesimo di alcune funzioni. Condizioni sulle derivate di ordine superiore affinché un punto sia di estremo relativo interno (*).

Calcolo integrale. Primitive e loro proprietà. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; funzioni integrabili secondo Riemann. Caratterizzazione dell'integrabilità (*).

Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue (*), delle funzioni continue a tratti, delle funzioni monotone (*). Proprietà delle funzioni integrabili, teorema della media integrale (*), teorema fondamentale del calcolo integrale (*), integrale indefinito, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita: integrazione per parti (*) e per sostituzione (*). Integrale delle funzioni razionali, trigonometriche, irrazionali. Calcolo di integrali definiti. Integrali impropri di prima e seconda specie: convergenza e convergenza assoluta. Criteri d'integrabilità.

GEOMETRIA

Strutture algebriche e spazi vettoriali. Leggi di composizione. Gruppi. Anelli. Campi. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali: somma e somma diretta di sottospazi, intersezione di sottospazi. Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza, insieme di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Basi di spazi vettoriali: proprietà ed esistenza, completamento ed estrazione, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassman (*).

Matrici. Definizioni. Operazioni su matrici. Definizione di determinante. Teorema di Laplace. Proprietà del determinante e regole di calcolo. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Caratterizzazione di matrici invertibili (*). Rango di una matrice e proprietà. Rango di un insieme di vettori.

Sistemi lineari. Compatibilità, numero delle soluzioni e calcolo esplicito. Teorema di Rouché-Capelli(*). Teorema di Cramer. Metodo di eliminazione di Gauss.

Applicazioni lineari. Funzioni tra spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Caratterizzazione di iniettività e suriettività. Teorema fondamentale(*). Isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Sistemi e applicazioni lineari. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico: polinomi caratteristici di matrici simili(*), realzione tra autovalori e radici del polinomio caratteristico (*). Endomorfismi semplici. Criterio di semplicità.

(*)Gli asterischi indicano quali risultati sono stati dimostrati a lezione che possono essere oggetto di verifica durante la prova orale.

Si consiglia di utilizzare le dispense LEZIONI-AM1 (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara per la parte di matematica e le dispense Note di Geometria e Algebra (disponibili alla sezione Materiale Didattico) dei proff. G. De Cecco e R. Vitolo.

Altri testi di riferimento sono i seguenti

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, Napoli

P. Marcellini- C.Sbordone: “Esercitazioni di matematica”, vol.1 parte 1ª e 2ª e vol.2 parte 1ª, Liguori Editore