GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Insegnamento
GEOMETRIA DIFFERENZIALE
Insegnamento in inglese
DIFFERENTIAL GEOMETRY
Settore disciplinare
MAT/03
Corso di studi di riferimento
MATEMATICA
Tipo corso di studio
Laurea Magistrale
Crediti
9.0
Ripartizione oraria
Ore Attività frontale: 63.0
Anno accademico
2019/2020
Anno di erogazione
2020/2021
Anno di corso
2
Lingua
ITALIANO
Percorso
GENERALE

Descrizione dell'insegnamento

Il programma dell'insegnamento è provvisorio e potrebbe subire delle modifiche

Contenuto dei corsi di Geometria e Analisi  della laurea triennale in Matematica, e nozioni di base della teoria dei gruppi.

Scopo principale del corso è  introdurre lo studente a concetti e metodi di base della geometria differenziale delle varietà differenziabili e in particolare della geometria riemanniana. Particolare attenzione è data alla scelta di esempi significativi e alla comprensione delle argomentazioni (anche enfatizzando possibili applicazioni alla Fisica).
 

Conoscenze e comprensione: possedere una solida  preparazione sulle conoscenze di base della geometria  delle varietà differenziabili e in particolare delle varietà riemanniane; conoscere le proprietà fondamentali delle varietà Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: essere in grado di formalizzare matematicamente problemi   correlati ad argomenti svolti nel corso;  essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di  geometria  delle varietà differenziabili e  delle varietà riemanniane.                                                                                         

Autonomia di giudizio:  l’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare l'autonomia di giudizio dello studente.

Abilità comunicative: la presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi e  idee   riguardanti le varietà differenziabili e  in particolare le varietà riemanniane.

Capacità di apprendimento: saranno indicati argomenti da approfondire,  correlati con l’insegnamento, al fine di migliorare la capacità di apprendimento
 autonomo dello studente

Lezioni frontali. Durante le lezioni verranno inoltre discussi   esempi significativi ed esercizi.

Prova orale o scritta (dipende dalla situazione Covid-19). Tale prova consiste nella verifica dell’abilità di esporre in modo chiaro e  rigoroso alcuni contenuti del corso.

Nozioni di base sulle varietà differenziabili.  Varietà  differenziabili e applicazioni differenziabili. Esempi. Spazio tangente in un punto a una varietà differenziabile. Campi di vettori. Il  fibrato  tangente.  Il  differenziale    di un'applicazione differenziabile. Tensori  su una varietà differenziabile.  Immersioni  e  sottovarietà con esempi.  

Gruppi di Lie.   Concetti di base su gruppi di  Lie  ed algebre di Lie . Esempi. 

Varietà Riemanniane.  Metriche riemanniane.  Gli spazi modello della geometria riemanniana. Altri esempi.  Immersioni e sottovarietà riemanniane.
 Struttura di  spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie. I gruppi di isometrie dello  spazio euclideo, della sfera canonica e  dello spazio iperbolico.  Connessione lineare su una varietà differenziabile. Derivata covariante. Trasporto parallelo. Curve geodetiche. La connessione di Levi-Civita. Curve geodetiche dal punto di vista riemanniano. Connessione di Levi-Civita di sottovarietà riemanniane.   Esempi di curve geodetiche. Curvatura riemanniana e spazi a curvatura sezionale costante.
 

D. Perrone, Un’introduzione alla geometria riemanniana,  Aracne  Editrice, Roma, 2011. 


M. P. do Carmo, Riemannian Geometry,    Birkhauser,  Boston-Basel - Berlin, 1993.
 

Semestre
Primo Semestre (dal 21/09/2020 al 18/12/2020)

Tipo esame
Non obbligatorio

Valutazione
Orale - Voto Finale

Orario dell'insegnamento
https://easyroom.unisalento.it/Orario

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